Limites de fonctions : calcul, formes indéterminées et continuité

🎯 L'essentiel en 30 secondes

• Limite finie : Si (f(x)) se rapproche de (L) quand (x) tend vers (a), on écrit (\lim_{x \to a} f(x) = L).
• Formes indéterminées : (0/0), (\infty/\infty), (0 \times \infty), (\infty - \infty). À lever avec factorisation, développement ou théorème des gendarmes.
• Théorème des gendarmes : Si (g(x) \leq f(x) \leq h(x)) et (\lim g(x) = \lim h(x) = L), alors (\lim f(x) = L).
• Asymptote horizontale : Si (\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L), la droite (y = L) est asymptote.
• Continuité : Une fonction est continue en (a) si (\lim_{x \to a} f(x) = f(a)).

Formule clé : (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1) (à connaître par cœur !).

💡 Le Concept Décrypté

Imagine que tu es en voiture et que tu approches d’un feu rouge. Plus tu te rapproches, plus ta vitesse diminue, jusqu’à t’arrêter exactement au niveau du feu. La limite, c’est ça : observer où « atterrit » une fonction quand sa variable (ici, ta position) se rapproche d’un point précis (le feu rouge).

En maths, les limites servent à étudier le comportement d’une fonction aux bords de son domaine : quand (x) devient très grand ((\infty)), ou quand il s’approche d’une valeur interdite (comme (0) pour (1/x)). Elles permettent aussi de définir la continuité : une fonction est continue si elle ne fait pas de « saut » (comme une route sans nid-de-poule).

Les formes indéterminées sont comme des carrefours où plusieurs routes se croisent : sans indication, impossible de savoir où aller. Par exemple, (0/0) peut valoir (1) (pour ((x^2)/x) en (0)) ou (\infty) (pour (x/x^2) en (0)). C’est là que les techniques de calcul entrent en jeu !

📐 La Méthode Pas-à-Pas

Exemple : Calculer (\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}).

1. Étape 1 : Remplacement direct On essaie de remplacer (x) par (2) : (\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}). Forme indéterminée !

2. Étape 2 : Factorisation Le numérateur est une identité remarquable : (x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)). Donc : (\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}).

3. Étape 3 : Simplification Pour (x \neq 2), on peut simplifier par (x - 2) : (x + 2).

4. Étape 4 : Nouvelle limite (\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4). La limite est donc (4).

5. Vérification graphique La fonction (f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}) a un « trou » en (x = 2), mais sa courbe se rapproche de (y = 4) quand (x) tend vers (2).

# Code Python pour visualiser la limite
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 4, 400)
x = x[x != 2]  # Exclut x=2 pour le trou
y = (x**2 - 4) / (x - 2)

plt.plot(x, y, label="f(x) = (x²-4)/(x-2)")
plt.scatter(2, 4, color='red', label="Limite = 4")
plt.axvline(x=2, color='gray', linestyle='--')
plt.legend()
plt.show()

❌ Le Piège du Prof

Erreur classique : Oublier de vérifier si la simplification est valide.

Pourquoi cette erreur ? Le cerveau voit (0/0) et pense « zéro », car il associe (0) à « rien ». Mais en réalité, (0/0) est une forme indéterminée : le résultat dépend du comportement relatif du numérateur et du dénominateur quand (x) tend vers (2).

🛠️ Fiche Technique & Mots-clés

1. Règles de calcul des limites

• Somme : (\lim (f + g) = \lim f + \lim g).
• Produit : (\lim (f \times g) = \lim f \times \lim g).
• Quotient : (\lim (f/g) = (\lim f) / (\lim g)) si (\lim g \neq 0).
• Composition : (\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x))) si (f) est continue.

2. Formes indéterminées

Les 4 formes indéterminées à connaître :

• (\frac{0}{0}) → Factoriser ou utiliser la règle de l’Hôpital (hors programme Terminale).
• (\frac{\infty}{\infty}) → Diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de (x).
• (0 \times \infty) → Réécrire sous forme de quotient.
• (\infty - \infty) → Factoriser ou mettre au même dénominateur.

3. Théorème des gendarmes

Si (g(x) \leq f(x) \leq h(x)) au voisinage de (a) et (\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L), alors (\lim_{x \to a} f(x) = L). Exemple : (\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x}) = 0) car (-x^2 \leq x^2 \sin(\frac{1}{x}) \leq x^2).

4. Continuité

Une fonction (f) est continue en (a) si :

1. (f(a)) existe,
2. (\lim_{x \to a} f(x)) existe,
3. (\lim_{x \to a} f(x) = f(a)). Exemple : Les fonctions polynômes, exponentielles et sinus sont continues sur (\mathbb{R}).

5. Asymptotes

• Horizontale : Si (\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L), la droite (y = L) est asymptote.
• Verticale : Si (\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty), la droite (x = a) est asymptote.
• Oblique : Si (\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + p)] = 0), la droite (y = mx + p) est asymptote.

Mots-clés : limites, formes indéterminées, théorème des gendarmes, continuité, asymptote.