Le logarithme népérien : propriétés, dérivée et équations
🎯 L'essentiel en 30 secondes
- Définition : Le logarithme népérien, noté ln(x), est la fonction réciproque de l’exponentielle :
ln(eˣ) = x et e^{ln(x)} = x (pour x > 0) - Propriétés clés :
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1
- ln(ab) = ln(a) + ln(b) (produit → somme)
- ln(a/b) = ln(a) - ln(b) (quotient → différence)
- ln(aⁿ) = n·ln(a) (puissance → multiplication)
- Dérivée : La dérivée de ln(x) est 1/x pour x > 0.
- Équations : Pour résoudre ln(x) = k, on utilise x = eᵏ.
- Croissance comparée : À l’infini, eˣ domine xⁿ, qui domine ln(x).
💡 Le Concept Décrypté
Imagine que tu es un archéologue du temps. Tu découvres une vieille horloge dont les aiguilles ne tournent pas de manière linéaire, mais exponentielle : chaque seconde écoulée double la vitesse de l’aiguille. Pour retrouver l’heure exacte, tu as besoin d’un outil qui « inverse » ce mouvement fou. C’est exactement ce que fait le logarithme népérien : il démêle les phénomènes exponentiels pour les rendre compréhensibles.
Dans la vraie vie, les logarithmes servent à modéliser des situations où une quantité explose (comme les intérêts composés en économie, la croissance bactérienne en biologie, ou l’intensité des séismes sur l’échelle de Richter). Sans ln(x), impossible de résoudre des équations comme eˣ = 5 ou de dériver des fonctions comme ln(3x + 2). C’est l’outil indispensable pour maîtriser l’invisible : les taux de variation, les échelles non linéaires, ou les comportements asymptotiques.
En Terminale, le logarithme népérien est aussi un pont entre l’analyse (dérivées, limites) et l’algèbre (équations, inégalités). Il te permet de traduire des problèmes complexes en calculs simples, à condition de bien connaître ses règles du jeu.
📐 La Méthode Pas-à-Pas
Exemple : Résoudre l’équation ln(2x - 1) + ln(x + 3) = ln(5).
-
Vérifier le domaine de définition :
- 2x - 1 > 0 ⇒ x > 0,5
- x + 3 > 0 ⇒ x > -3 → x ∈ ]0,5 ; +∞[ (seule la première condition compte ici).
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Appliquer les propriétés de ln :
- ln(a) + ln(b) = ln(ab) ⇒ ln[(2x - 1)(x + 3)] = ln(5)
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Simplifier l’équation :
- Si ln(A) = ln(B), alors A = B (car ln est bijective). → (2x - 1)(x + 3) = 5
-
Développer et résoudre :
- 2x² + 6x - x - 3 = 5 ⇒ 2x² + 5x - 8 = 0
- Calcul du discriminant : Δ = 25 - 4·2·(-8) = 89
- Solutions : x = [-5 ± √89] / 4
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Vérifier les solutions dans le domaine :
- x₁ = (-5 + √89)/4 ≈ 1,1 (valide, car > 0,5)
- x₂ = (-5 - √89)/4 ≈ -3,6 (invalide, car < 0,5)
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Conclusion : La seule solution est x = (-5 + √89)/4.
❌ Le Piège du Prof
| Erreur classique | Correction | Pourquoi ça arrive ? |
|---|---|---|
| ln(a + b) = ln(a) + ln(b) | ln(a + b) ≠ ln(a) + ln(b) | Le cerveau confond avec la propriété ln(ab) = ln(a) + ln(b). La somme à l’intérieur de ln ne se distribue jamais ! |
| Dériver ln(x) comme une puissance : ln(x) → 1/x² | ln(x) → 1/x | On applique machinalement la règle des puissances (xⁿ → n·xⁿ⁻¹) sans retenir que ln est une fonction spéciale. |
| Oublier le domaine de définition : Résoudre ln(x - 2) = 3 sans vérifier x - 2 > 0. | x - 2 > 0 ⇒ x > 2 puis x = e³ + 2. | On se précipite sur la résolution sans penser aux contraintes de ln (toujours strictement positif). |
🛠️ Fiche Technique & Mots-clés
Définition et propriétés du logarithme népérien (ln)
- Définition : Pour x > 0, ln(x) est l’unique solution de eʸ = x.
- Propriétés ln :
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1
- ln(ab) = ln(a) + ln(b) (logarithme d’un produit)
- ln(a/b) = ln(a) - ln(b) (logarithme d’un quotient)
- ln(aⁿ) = n·ln(a) (logarithme d’une puissance)
- ln(√a) = (1/2)·ln(a)
Dérivée de ln
- Dérivée ln(x) : f(x) = ln(x) ⇒ f’(x) = 1/x (pour x > 0).
- Dérivée de ln(u(x)) : Si u(x) > 0, alors f(x) = ln(u(x)) ⇒ f’(x) = u’(x)/u(x).
Équations avec ln
- Résolution de ln(x) = k : x = eᵏ (car ln et exp sont réciproques).
- Inéquations : ln(x) > k ⇒ x > eᵏ (car ln est croissante).
Croissance comparée
- À l’infini, ln(x) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de x ou que eˣ.
- Limites clés :
- lim (x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 (pour n > 0)
- lim (x→0⁺) xⁿ·ln(x) = 0 (pour n > 0)
- lim (x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞
Mots-clés : logarithme népérien, ln, propriétés ln, dérivée ln, équation avec ln, croissance comparée.