Second degré : signe du trinôme, inéquations et polynômes
🎯 L'essentiel en 30 secondes
- Un trinôme du second degré s’écrit ax² + bx + c (avec a ≠ 0).
- Son signe dépend du discriminant Δ = b² – 4ac et de ses racines (solutions de ax² + bx + c = 0).
- Formule clé :
Si Δ > 0 : deux racines x₁ et x₂ → signe de *a* à l’extérieur des racines. Si Δ = 0 : une racine x₀ → signe de *a* partout sauf en x₀ (où le trinôme s’annule). Si Δ < 0 : pas de racine → signe de *a* partout. - Inéquation du second degré : résoudre f(x) > 0 revient à étudier le signe du trinôme.
- Astuce : toujours mettre le trinôme sous forme factorisée (si possible) pour simplifier l’étude du signe.
💡 Le Concept Décrypté
Imagine que tu lances une balle en l’air. Sa trajectoire suit une courbe en forme de « U » (ou de « ∩ » si tu la lances vers le bas) : c’est exactement la représentation graphique d’un trinôme du second degré ! Cette courbe, appelée parabole, a une propriété magique : elle ne change de direction qu’une seule fois (son sommet), et son signe (au-dessus ou en dessous de l’axe des abscisses) dépend de deux choses :
- La hauteur à laquelle tu lances la balle (le coefficient a : si a > 0, la parabole « sourit » ; si a < 0, elle « fait la tête »).
- Les points où elle touche le sol (les racines du trinôme, calculées grâce au discriminant Δ).
Pourquoi c’est utile ? Parce que dans la vraie vie, les trinômes modélisent des situations où une grandeur varie en fonction d’une autre de façon non linéaire : bénéfice d’une entreprise en fonction du prix de vente, distance parcourue par un objet en chute libre, ou même la forme d’un pont suspendu ! Savoir étudier le signe d’un trinôme, c’est donc répondre à des questions du type : « À partir de quel prix mon bénéfice devient-il positif ? » ou « Dans quel intervalle de temps la balle est-elle au-dessus de 2 mètres ? ».
📐 La Méthode Pas-à-Pas
Exemple : Étudier le signe du trinôme f(x) = –2x² + 8x – 6 et résoudre l’inéquation f(x) ≥ 0.
Étape 1 : Identifier les coefficients
- a = –2 (attention au signe !), b = 8, c = –6.
Étape 2 : Calculer le discriminant Δ
Δ = b² – 4ac = 8² – 4 × (–2) × (–6) = 64 – 48 = 16
→ Δ > 0 : le trinôme a deux racines distinctes.
Étape 3 : Calculer les racines x₁ et x₂
x₁ = (–b – √Δ) / (2a) = (–8 – √16) / (–4) = (–8 – 4) / (–4) = (–12) / (–4) = 3
x₂ = (–b + √Δ) / (2a) = (–8 + 4) / (–4) = (–4) / (–4) = 1
Étape 4 : Factoriser le trinôme (si possible)
f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) = –2(x – 3)(x – 1)
Étape 5 : Construire le tableau de signes
| x | –∞ | 1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x – 1 | – | 0 | + | + |
| x – 3 | – | – | 0 | + |
| (x–1)(x–3) | + | 0 | – | 0 |
| –2 | – | – | – | – |
| f(x) | – | 0 | + | 0 |
Interprétation :
- Le trinôme est positif entre ses racines, c’est-à-dire sur l’intervalle [1 ; 3].
- Il est négatif à l’extérieur de cet intervalle.
Étape 6 : Résoudre l’inéquation f(x) ≥ 0
D’après le tableau de signes, f(x) ≥ 0 pour x ∈ [1 ; 3].
❌ Le Piège du Prof
Erreur classique : Oublier le signe de a dans le tableau de signes !
Exemple d’erreur :
- Élève : « Pour f(x) = –2(x–1)(x–3), le produit (x–1)(x–3) est positif entre 1 et 3, donc f(x) aussi. »
- ❌ Faux : Le coefficient a = –2 est négatif, donc il inverse le signe du produit !
Correction :
- ✅ f(x) est négatif entre 1 et 3 (car a < 0), et positif à l’extérieur.
Pourquoi cette erreur ? Le cerveau a tendance à se focaliser sur les racines et à oublier le coefficient dominant a, qui détermine l’orientation de la parabole. Règle d’or : Toujours multiplier par a en dernier dans le tableau de signes !
🛠️ Fiche Technique & Mots-clés
Définitions clés
- Trinôme du second degré : Polynôme de la forme ax² + bx + c (a ≠ 0).
- Discriminant : Δ = b² – 4ac → Détermine le nombre de racines (solutions de f(x) = 0).
- Forme factorisée : f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) (si Δ ≥ 0).
Règles de signe du trinôme
| Δ | Racines | Signe de f(x) |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux racines x₁, x₂ | Signe de a à l’extérieur des racines |
| Δ = 0 | Une racine x₀ | Signe de a partout sauf en x₀ |
| Δ < 0 | Pas de racine | Signe de a partout |
Méthode pour résoudre une inéquation du second degré
- Écrire l’inéquation sous la forme f(x) > 0 (ou < 0, ≥ 0, ≤ 0).
- Calculer le discriminant Δ et les racines (si elles existent).
- Factoriser f(x) (si possible) et construire un tableau de signes.
- Lire les intervalles solutions dans le tableau.
Mots-clés à retenir
- trinôme du second degré : base de l’étude.
- signe : dépend de a et des racines.
- discriminant : outil clé pour trouver les racines.
- racines : points où le trinôme s’annule.
- inéquation du second degré : résolution via l’étude du signe.
- forme factorisée : simplifie l’étude du signe.