Statistiques : boîte à moustaches, écart-type et probabilités
🎯 L'essentiel en 30 secondes
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Boîte à moustaches : Représente la répartition des données en 4 parts égales (quartiles).
- Min |---[Q1]---[Médiane]---[Q3]---| Max
- 5 valeurs clés : Minimum, Q1, Médiane, Q3, Maximum.
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Écart-type (σ) : Mesure la dispersion des données autour de la moyenne.
σ = √(variance) = √[ (1/n) × Σ(xᵢ - x̄)² ] -
Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Variance = (1/n) × Σ(xᵢ - x̄)² -
Probabilités :
- Arbre de probabilités : Visualise les issues possibles (ex : lancer de dé).
- Formule : P(A) = (Nombre de cas favorables) / (Nombre de cas possibles).
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Chiffre-clé : Un écart-type élevé = données très dispersées !
💡 Le Concept Décrypté
Imagine que tu organises une soirée avec tes amis. Tu notes le nombre de messages reçus par chacun en une heure : 2, 5, 7, 10, 12, 15, 20.
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La boîte à moustaches, c’est comme découper ta liste en 4 groupes égaux : les 25% qui ont le moins parlé (Q1), les 50% autour de la médiane, et les 25% qui ont le plus envoyé de messages (Q3). Elle te montre d’un coup d’œil si tes amis sont plutôt bavards ou discrets, et qui sort du lot.
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L’écart-type, c’est l’outil qui te dit si tout le monde a envoyé à peu près le même nombre de messages (écart-type petit, ex : 2-5-7-10) ou si certains ont explosé les scores (écart-type grand, ex : 2-20-50). En statistiques, c’est crucial : une moyenne seule ne suffit pas ! Par exemple, deux classes peuvent avoir 12/20 de moyenne, mais si l’écart-type est de 2 dans l’une et de 8 dans l’autre, la première est beaucoup plus homogène.
Ces outils existent pour résumer des données complexes et prendre des décisions éclairées : choisir une stratégie en sport (écart-type des scores adverses), évaluer un risque en finance, ou même ajuster un traitement médical (dispersion des effets secondaires).
📐 La Méthode Pas-à-Pas
Exemple 1 : Construire une boîte à moustaches
Données : Notes d’une classe de 2nde en maths : 8, 10, 12, 12, 14, 15, 16, 18, 20.
- Ordonner les données (déjà fait ici).
- Trouver la médiane (Q2) :
- Nombre de valeurs : 9 (impair) → Médiane = 5ᵉ valeur = 14.
- Trouver Q1 (1er quartile) :
- Valeurs avant la médiane : 8, 10, 12, 12.
- Q1 = médiane de ces 4 valeurs = (10 + 12)/2 = 11.
- Trouver Q3 (3ᵉ quartile) :
- Valeurs après la médiane : 15, 16, 18, 20.
- Q3 = médiane de ces 4 valeurs = (16 + 18)/2 = 17.
- Identifier min et max : 8 et 20.
- Dessiner la boîte :
|----|----|----|----|----|----|----|----|----| 8 9 10 11 12 14 15 17 18 20 Min Q1 Médiane Q3 Max- Boîte de Q1 (11) à Q3 (17), trait vertical à la médiane (14).
- Moustaches de 8 à 11 et de 17 à 20.
Exemple 2 : Calculer l’écart-type
Données : Temps (en min) pour résoudre un exercice : 5, 7, 8, 10, 12.
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Calculer la moyenne (x̄) : x̄ = (5 + 7 + 8 + 10 + 12)/5 = 42/5 = 8,4 min.
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Calculer les écarts à la moyenne :
Valeur (xᵢ) Écart (xᵢ - x̄) Écart² (xᵢ - x̄)² 5 5 - 8,4 = -3,4 (-3,4)² = 11,56 7 7 - 8,4 = -1,4 (-1,4)² = 1,96 8 8 - 8,4 = -0,4 (-0,4)² = 0,16 10 10 - 8,4 = 1,6 (1,6)² = 2,56 12 12 - 8,4 = 3,6 (3,6)² = 12,96 -
Calculer la variance : Variance = (11,56 + 1,96 + 0,16 + 2,56 + 12,96)/5 = 29,2/5 = 5,84.
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Calculer l’écart-type (σ) : σ = √(variance) = √5,84 ≈ 2,42 min.
Exemple 3 : Arbre de probabilités
Problème : On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ou un nombre ≥ 5 ?
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Construire l’arbre :
- Issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Événements :
- A = « Nombre pair » = {2, 4, 6}.
- B = « Nombre ≥ 5 » = {5, 6}.
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Calculer P(A) et P(B) :
- P(A) = 3/6 = 0,5.
- P(B) = 2/6 ≈ 0,33.
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Calculer P(A ∩ B) (nombres pairs et ≥ 5) :
- A ∩ B = {6} → P(A ∩ B) = 1/6 ≈ 0,17.
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Appliquer la formule : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,5 + 0,33 - 0,17 ≈ 0,66 (soit 2/3).
❌ Le Piège du Prof
Erreur classique : Confondre médiane et moyenne dans une boîte à moustaches.
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❌ Faux : « La médiane est toujours au centre de la boîte. » → Pourquoi ? Le cerveau associe « médiane » à « milieu », mais la boîte représente les quartiles (Q1 à Q3), pas la moyenne !
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✅ Correct : La médiane est le trait dans la boîte, mais elle n’est pas forcément au centre. Exemple :
- Données : 1, 2, 3, 100.
- Médiane = (2 + 3)/2 = 2,5 (proche de Q1).
- Moyenne = 26,5 (très éloignée de la médiane).
Autre piège : Oublier de mettre les données dans l’ordre avant de calculer les quartiles. Résultat : Q1 et Q3 faux, et la boîte est complètement décalée !
🛠️ Fiche Technique & Mots-clés
1. Boîte à moustaches
- Définition : Représentation graphique résumant une série statistique avec 5 valeurs : minimum, Q1 (1er quartile), médiane, Q3 (3ᵉ quartile), maximum.
- Utilité : Visualiser la dispersion et les valeurs extrêmes.
- À retenir : 50% des données sont dans la boîte (entre Q1 et Q3).
2. Écart-type et variance
- Variance : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Formule :
Variance = (1/n) × Σ(xᵢ - x̄)² - Écart-type (σ) : Racine carrée de la variance. Mesure la dispersion dans la même unité que les données.
σ = √(variance) - Interprétation : Plus σ est grand, plus les données sont dispersées autour de la moyenne.
3. Probabilités
- Arbre de probabilités : Schéma ramifié pour lister les issues d’une expérience aléatoire (ex : lancer de pièce, tirage de boules).
- Formule de base :
P(A) = (Nombre de cas favorables) / (Nombre de cas possibles) - Événements incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Événements compatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
4. Mots-clés à maîtriser
- Quartiles : Valeurs qui divisent les données en 4 parts égales (Q1 = 25%, Q2 = médiane, Q3 = 75%).
- Dispersion : Écart entre les valeurs (mesuré par l’écart-type ou l’étendue).
- Expérience aléatoire : Situation dont on ne peut prédire le résultat avec certitude (ex : lancer de dé).
Astuce finale : Pour vérifier ta boîte à moustaches, compte le nombre de données dans chaque section : 25% avant Q1, 25% entre Q1 et médiane, etc. Si les proportions ne correspondent pas, recommence !