Suites arithmétiques et géométriques : terme général et somme
🎯 L'essentiel en 30 secondes
- Suite arithmétique : chaque terme augmente d’une raison constante r → uₙ = u₀ + n×r ou uₙ = u₁ + (n-1)×r.
- Suite géométrique : chaque terme est multiplié par une raison constante q → uₙ = u₀ × qⁿ ou uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
- Somme des termes :
- Arithmétique : Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2
- Géométrique : Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) si q ≠ 1
- Suite croissante : si r > 0 (arithmétique) ou q > 1 (géométrique).
- Chiffre-clé : La somme des 100 premiers entiers naturels est 5050 (arithmétique, r=1).
💡 Le Concept Décrypté
Imagine que tu économises de l’argent de poche chaque mois. Deux stratégies s’offrent à toi :
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Suite arithmétique : Tu ajoutes toujours la même somme (ex. 5 € par mois). C’est comme un escalier régulier où chaque marche a la même hauteur (r). Le terme général uₙ te dit combien tu auras après n mois. La somme Sₙ calcule ton épargne totale.
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Suite géométrique : Tu multiplies ton épargne par un facteur (ex. ×1,1 chaque mois pour +10%). C’est comme une boule de neige qui grossit exponentiellement. Ici, la raison q est le facteur multiplicatif. Une petite q > 1 peut mener à des sommes énormes sur le long terme (effet « intérêt composé »).
Ces suites modélisent des phénomènes linéaires (arithmétiques) ou exponentiels (géométriques) : salaires, dettes, croissance de populations, etc. Elles sont partout en économie, en biologie, et même dans les algorithmes informatiques !
📐 La Méthode Pas-à-Pas
Exemple : On considère une suite arithmétique (uₙ) de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 2.
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Trouver le terme général :
- Formule : uₙ = u₀ + n×r
- Application : uₙ = 3 + 2n
- Vérification : u₁ = 3 + 2×1 = 5 (correct, car u₁ = u₀ + r = 3 + 2 = 5).
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Calculer u₁₀ :
- u₁₀ = 3 + 2×10 = 23
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Calculer la somme des 11 premiers termes (S₁₀) :
- Formule : Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2
- Ici, n = 10 (car on va de u₀ à u₁₀), donc S₁₀ = 11 × (3 + 23)/2 = 11 × 13 = 143.
- Vérification : Liste des termes u₀ à u₁₀ = [3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23]. Somme = 143 (correct).
Exemple géométrique : Suite (vₙ) avec v₀ = 1 et q = 3.
- Terme général : vₙ = 1 × 3ⁿ = 3ⁿ.
- Calculer v₅ : v₅ = 3⁵ = 243.
- Somme des 6 premiers termes (S₅) :
- Formule : Sₙ = v₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)
- S₅ = 1 × (1 - 3⁶)/(1 - 3) = (1 - 729)/(-2) = 728/2 = 364.
❌ Le Piège du Prof
Erreur classique : Confondre n et n+1 dans les formules de somme.
| ❌ Erreur | ✅ Correction |
|---|---|
| Sₙ = n × (u₀ + uₙ)/2 (arithmétique) | Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2 (car n+1 termes de u₀ à uₙ) |
| Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ)/(1 - q) (géométrique) | Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) (car n+1 termes) |
Pourquoi cette erreur ? Le cerveau compte naturellement les termes à partir de 1 (u₁ à uₙ), mais en maths, on commence souvent à u₀. Pour n=10, il y a 11 termes de u₀ à u₁₀ ! Toujours vérifier en listant les premiers termes.
🛠️ Fiche Technique & Mots-clés
Définitions
- Suite arithmétique : Suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une raison r au précédent. Exemple : 2, 5, 8, 11... (r=3).
- Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une raison q. Exemple : 3, 6, 12, 24... (q=2).
- Terme général : Formule permettant de calculer uₙ directement sans connaître les termes précédents.
Formules clés
| Type de suite | Terme général | Somme des n+1 premiers termes (Sₙ) |
|---|---|---|
| Arithmétique | uₙ = u₀ + n×r | Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2 |
| Géométrique (q ≠ 1) | uₙ = u₀ × qⁿ | Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) |
Règles de croissance
- Suite arithmétique : Croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
- Suite géométrique : Croissante si q > 1 et u₀ > 0, décroissante si 0 < q < 1 et u₀ > 0.
Mots-clés à retenir
- suite arithmétique, suite géométrique, terme général, raison, somme des termes, suite croissante.