Systèmes d'équations : méthode par substitution et par addition

🎯 L'essentiel en 30 secondes

• Un système d'équations : deux équations à deux inconnues (ex: x et y) qu’on résout ensemble.
• Méthode par substitution : on exprime une inconnue en fonction de l’autre, puis on remplace.
• Méthode par addition : on élimine une inconnue en additionnant/soustrayant les équations.
• Résolution graphique : on trace les droites et leur intersection donne la solution.
• Formule clé :

  Si ax + by = c et dx + ey = f, alors la solution est le couple (x ; y) vérifiant les deux.
  

💡 Le Concept Décrypté

Imagine que tu organises une fête avec ton ami. Vous avez acheté ensemble des bonbons et des sodas, mais vous ne vous souvenez plus des quantités exactes. Par contre, vous savez :

• Ensemble, vous avez payé 20 € pour 5 bonbons et 3 sodas.
• Toi seul, tu as acheté 2 bonbons et 1 soda pour 8 €.

Comment retrouver le prix d’un bonbon et d’un soda ? C’est là qu’intervient le système d’équations ! Chaque phrase donne une équation avec deux inconnues (prix du bonbon x et du soda y). En les combinant, tu trouves la solution, comme un détective qui croise deux indices pour résoudre une énigme. Ces méthodes servent à modéliser des situations réelles où plusieurs contraintes s’appliquent en même temps (budgets, mélanges, distances, etc.).

📐 La Méthode Pas-à-Pas

Exemple : Résoudre le système suivant par les deux méthodes.

(1)  2x + y = 8
(2)  x - y = 1

Méthode 1 : Par substitution

1. Exprimer y en fonction de x avec l’équation (2) (la plus simple) :

   x - y = 1  ⇒  y = x - 1
   

2. Remplacer y dans l’équation (1) :

   2x + (x - 1) = 8
   

3. Résoudre pour x :

   2x + x - 1 = 8  ⇒  3x = 9  ⇒  x = 3
   

4. Trouver y en remplaçant x dans y = x - 1 :

   y = 3 - 1 = 2
   

5. Solution : Le couple (3 ; 2) vérifie les deux équations.

Méthode 2 : Par addition

1. Additionner les deux équations pour éliminer y :

   (2x + y) + (x - y) = 8 + 1  ⇒  3x = 9
   

2. Résoudre pour x :

   x = 3
   

3. Remplacer x dans l’équation (2) pour trouver y :

   3 - y = 1  ⇒  y = 2
   

4. Solution : Même résultat (3 ; 2) !

Vérification graphique :

• Équation (1) : droite passant par (0 ; 8) et (4 ; 0).
• Équation (2) : droite passant par (0 ; -1) et (1 ; 0).
• Leur intersection est bien au point (3 ; 2).

❌ Le Piège du Prof

Erreur classique : Oublier de vérifier la solution dans les deux équations.

• Équation (1) : 2×3 + 2 = 8 ✔️
• Équation (2) : 3 - 2 = 1 ✔️ |

Pourquoi cette erreur ? Le cerveau cherche à économiser de l’énergie et s’arrête dès qu’une partie du problème semble résolue. Pourtant, un système d’équations exige que les deux conditions soient satisfaites simultanément.

🛠️ Fiche Technique & Mots-clés

Définitions

• Système d’équations : Ensemble de deux (ou plus) équations avec les mêmes deux inconnues (x et y).
• Solution : Couple (x ; y) qui vérifie toutes les équations du système.

Méthodes de résolution

1. Substitution :

   • Exprimer une inconnue en fonction de l’autre.
   • Remplacer dans la seconde équation.
   • Résoudre pour trouver la première inconnue, puis la seconde.

2. Addition (ou combinaison) :

   • Multiplier les équations pour avoir des coefficients opposés pour une inconnue.
   • Additionner/soustraire pour éliminer cette inconnue.
   • Résoudre pour trouver la première inconnue, puis la seconde.

3. Résolution graphique :

   • Tracer les droites correspondant à chaque équation.
   • Leur intersection donne la solution (x ; y).

Règles d’or

• Toujours simplifier les équations avant de résoudre.
• Vérifier la solution dans les deux équations.
• Si les droites sont parallèles (pas d’intersection), le système n’a pas de solution.
• Si les droites sont confondues, le système a une infinité de solutions.

Mots-clés intégrés

• Système d’équations : outil pour résoudre des problèmes à deux inconnues.
• Substitution : méthode où l’on remplace une inconnue par son expression.
• Addition : méthode où l’on élimine une inconnue en combinant les équations.
• Résolution graphique : visualisation des solutions via des droites.
• Deux inconnues : variables x et y à déterminer simultanément.