Dérivation avancée — Composition et applications
1. Composition de fonctions et dérivation
La dérivée d'une fonction composée (u ∘ v)(x) = u(v(x)) est donnée par la formule de dérivation en chaîne :
(u ∘ v)'(x) = u'(v(x)) × v'(x)
Exemple : Soit f(x) = sin(3x² + 2x). Posons u(x) = sin(x) et v(x) = 3x² + 2x.
- u'(x) = cos(x)
- v'(x) = 6x + 2
- f'(x) = cos(3x² + 2x) × (6x + 2)
À retenir : Toujours dériver l'intérieur avant l'extérieur !
2. Dérivée de fonctions exponentielles et logarithmes
- Exponentielle : (e^u(x))' = u'(x) × e^u(x)
- Logarithme : (ln(u(x)))' = u'(x)/u(x) (avec u(x) > 0)
Exemple : g(x) = e^(4x³ - x)
- g'(x) = (12x² - 1) × e^(4x³ - x)
3. Applications : tangentes et variations
Équation de la tangente
En un point a, la tangente à f en a a pour équation :
y = f'(a)(x - a) + f(a)
Exemple : Tangente à f(x) = ln(x) en x = 1
- f(1) = 0
- f'(x) = 1/x ⇒ f'(1) = 1
- Équation : y = 1(x - 1) + 0 ⇒ y = x - 1
Étude des variations
Le signe de f'(x) détermine le sens de variation de f :
- f'(x) > 0 ⇒ f croissante
- f'(x) < 0 ⇒ f décroissante
4. Dérivées d'ordre supérieur
La dérivée seconde f''(x) est la dérivée de f'(x). Elle permet d'étudier la concavité :
- f''(x) > 0 ⇒ f convexe (courbe vers le haut)
- f''(x) < 0 ⇒ f concave (courbe vers le bas)
Exemple : f(x) = x³ - 3x²
- f'(x) = 3x² - 6x
- f''(x) = 6x - 6
- f''(x) > 0 pour x > 1 ⇒ convexe pour x > 1
5. Optimisation
Pour trouver les extremums (min/max) de f :
- Résoudre f'(x) = 0
- Étudier le signe de f'(x) autour des solutions
- Vérifier avec f''(x) si nécessaire
Exemple : f(x) = x³ - 3x
- f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⇒ x = ±1
- f''(x) = 6x ⇒ f''(1) = 6 > 0 (minimum local en x=1)
- f''(-1) = -6 < 0 (maximum local en x=-1)