Fonction logarithme népérien (ln)

1. Définition et propriétés de base

La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie comme la primitive de la fonction inverse sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1 :

• ln(1) = 0
• ln'(x) = 1/x pour tout x > 0.

Elle vérifie : ln(ab) = ln(a) + ln(b) pour a, b > 0.

2. Propriétés algébriques

• Puissance : ln(a^b) = b·ln(a) pour a > 0 et b ∈ ℝ.
• Inverse : ln(1/a) = -ln(a) pour a > 0.
• Quotient : ln(a/b) = ln(a) - ln(b) pour a, b > 0.

Exemple : ln(8) = ln(2³) = 3·ln(2).

3. Limites et comportement asymptotique

• En 0⁺ : lim(x→0⁺) ln(x) = -∞.
• En +∞ : lim(x→+∞) ln(x) = +∞.
• Croissance : ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

Exemple : ln(0.01) ≈ -4.6 et ln(1000) ≈ 6.9.

4. Équations et inéquations

• Équation : ln(x) = k ⇒ x = e^k (k ∈ ℝ).
• Inéquation : ln(x) > k ⇒ x > e^k.

Exemple : Résoudre ln(x) = 2 ⇒ x = e² ≈ 7.39.

5. Dérivée et étude de fonctions

• Dérivée : (ln(u))' = u'/u.
• Exemple : Si f(x) = ln(3x + 1), alors f'(x) = 3/(3x + 1).

6. Représentation graphique

• Passe par (1 ; 0) et (e ; 1).
• Asymptote verticale en x = 0.
• Croissance rapide pour x > 1, lente pour 0 < x < 1.

Exemple : Tracer ln(x) pour x ∈ [0.1 ; 5].