Géométrie vectorielle dans l'espace

1. Définitions fondamentales

Un vecteur de l'espace est défini par :

• Une direction (droite support)
• Un sens (flèche)
• Une norme (longueur, notée ||u||)

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

2. Opérations vectorielles

• Somme : u + v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
• Produit par un scalaire : k·u = (k·x, k·y, k·z)
• Colinéarité : u et v colinéaires ⇔ ∃k ∈ ℝ tel que u = k·v

Exemple : Soit u(2, -1, 3) et v(-4, 2, -6). v = -2u ⇒ u et v colinéaires.

3. Repérage dans l'espace

Un point M a pour coordonnées (x, y, z) dans un repère orthonormé (O, i, j, k). Le vecteur OM = x·i + y·j + z·k.

Distance entre deux points : AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]

4. Produit scalaire

u·v = x1x2 + y1y2 + z1z2 = ||u||·||v||·cos(θ)

Propriétés :

• u·v = 0 ⇔ u et v orthogonaux
• ||u||² = u·u

Exemple : u(1, 2, -1) et v(3, -1, 1). u·v = 3 - 2 - 1 = 0 ⇒ orthogonaux.

5. Produit vectoriel (hors programme mais utile)

u ∧ v = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)

Propriétés :

• u ∧ v orthogonal à u et v
• ||u ∧ v|| = ||u||·||v||·sin(θ)
• u ∧ v = -v ∧ u