Intégration — Primitive et intégrale définie
Définitions clés
-
Primitive : Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Exemple : F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x.
-
Intégrale définie : Soit f une fonction continue sur [a, b]. L'intégrale définie de f entre a et b est notée ∫[a→b] f(x) dx et représente l'aire algébrique sous la courbe de f entre a et b.
Théorème fondamental de l'analyse
Si F est une primitive de f sur [a, b], alors :
∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Exemple : Calculer ∫[0→2] 2x dx
- Primitive de 2x : F(x) = x²
- Résultat : F(2) - F(0) = 4 - 0 = 4
Propriétés des intégrales
- Linéarité : Pour k ∈ ℝ, ∫[a→b] (k·f(x) + g(x)) dx = k·∫[a→b] f(x) dx + ∫[a→b] g(x) dx
- Relation de Chasles : ∫[a→c] f(x) dx = ∫[a→b] f(x) dx + ∫[b→c] f(x) dx
- Positivité : Si f(x) ≥ 0 sur [a, b], alors ∫[a→b] f(x) dx ≥ 0
Calcul pratique
- Méthode : Trouver une primitive F de f, puis appliquer le théorème fondamental.
- Techniques : Utiliser des formules de primitives (ex: ∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C), substitution ou intégration par parties.
Exemple : Calculer ∫[1→3] (3x² + 2x) dx
- Primitive : F(x) = x³ + x²
- Résultat : F(3) - F(1) = (27 + 9) - (1 + 1) = 34
Applications
- Calcul d'aires entre courbes.
- Résolution d'équations différentielles.
- Probabilités (densités de probabilité).