Intégration — Primitive et intégrale définie

Définitions clés

• Primitive : Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Exemple : F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x.

• Intégrale définie : Soit f une fonction continue sur [a, b]. L'intégrale définie de f entre a et b est notée ∫[a→b] f(x) dx et représente l'aire algébrique sous la courbe de f entre a et b.

Théorème fondamental de l'analyse

Si F est une primitive de f sur [a, b], alors :

∫[a→b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Exemple : Calculer ∫[0→2] 2x dx

• Primitive de 2x : F(x) = x²
• Résultat : F(2) - F(0) = 4 - 0 = 4

Propriétés des intégrales

1. Linéarité : Pour k ∈ ℝ, ∫[a→b] (k·f(x) + g(x)) dx = k·∫[a→b] f(x) dx + ∫[a→b] g(x) dx
2. Relation de Chasles : ∫[a→c] f(x) dx = ∫[a→b] f(x) dx + ∫[b→c] f(x) dx
3. Positivité : Si f(x) ≥ 0 sur [a, b], alors ∫[a→b] f(x) dx ≥ 0

Calcul pratique

• Méthode : Trouver une primitive F de f, puis appliquer le théorème fondamental.
• Techniques : Utiliser des formules de primitives (ex: ∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C), substitution ou intégration par parties.

Exemple : Calculer ∫[1→3] (3x² + 2x) dx

• Primitive : F(x) = x³ + x²
• Résultat : F(3) - F(1) = (27 + 9) - (1 + 1) = 34

Applications

• Calcul d'aires entre courbes.
• Résolution d'équations différentielles.
• Probabilités (densités de probabilité).