Limites de fonctions et continuité

1. Notion de limite

La limite d'une fonction en un point décrit son comportement lorsque la variable s'approche de ce point. On note :

• lim_{x→a} f(x) = L : la fonction tend vers L quand x tend vers a.
• lim_{x→+∞} f(x) = L ou lim_{x→-∞} f(x) = L : la fonction admet une asymptote horizontale y = L.

Exemple : f(x) = (2x + 1)/(x - 3) a pour limite 2 quand x→+∞ (car on divise numérateur et dénominateur par x).

2. Opérations sur les limites

On utilise les opérations algébriques (somme, produit, quotient) pour calculer des limites, sauf en cas d'indétermination (ex: ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞).

Exemple : lim_{x→2} (x² - 4)/(x - 2) = lim_{x→2} (x + 2) = 4 (forme indéterminée 0/0 levée par factorisation).

3. Asymptotes

• Asymptote verticale : si lim_{x→a} f(x) = ±∞, la droite x = a est asymptote verticale.
• Asymptote horizontale : si lim_{x→±∞} f(x) = L, la droite y = L est asymptote horizontale.
• Asymptote oblique : si lim_{x→±∞} [f(x) - (ax + b)] = 0, la droite y = ax + b est asymptote oblique.

Exemple : f(x) = (x² + 1)/x a une asymptote oblique y = x (car f(x) - x = 1/x → 0).

4. Continuité

Une fonction est continue en un point a si :

1. f(a) existe,
2. lim_{x→a} f(x) existe,
3. lim_{x→a} f(x) = f(a).

Exemple : La fonction f(x) = x² est continue en tout point. La fonction f(x) = 1/x n'est pas continue en x = 0.

5. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a, b] et si k est entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Exemple : L'équation x³ - 3x + 1 = 0 admet une solution dans [0, 1] car f(0) = 1 et f(1) = -1.