Variables aléatoires et loi normale

1. Variable aléatoire (VA)

Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. On distingue :

• VA discrète : valeurs dénombrables (ex : nombre de piles en 3 lancers de pièce).
• VA continue : valeurs dans un intervalle (ex : taille d'une personne).

Notation : On note souvent une VA par une lettre majuscule (X, Y) et ses valeurs par une minuscule (x, y).

2. Loi de probabilité discrète

Pour une VA discrète X, la loi de probabilité donne P(X = x) pour chaque valeur x possible.

Exemple : Lancer un dé équilibré. X = "nombre obtenu". P(X=1) = P(X=2) = ... = P(X=6) = 1/6.

Espérance : E(X) = Σ x * P(X=x). Variance : V(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - [E(X)]².

3. Loi normale (ou gaussienne)

La loi normale modélise des phénomènes symétriques autour d'une moyenne μ, avec un écart-type σ.

Fonction de densité : f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)²/(2σ²)).

Propriétés :

• Symétrie autour de μ.
• 68% des valeurs dans [μ-σ, μ+σ], 95% dans [μ-2σ, μ+2σ], 99,7% dans [μ-3σ, μ+3σ].

Exemple : Taille moyenne des hommes en France : μ = 175 cm, σ = 7 cm. P(168 ≤ X ≤ 182) ≈ 0,68.

4. Loi normale centrée réduite

Pour simplifier, on utilise la loi normale centrée réduite (μ=0, σ=1), notée N(0,1).

Table de la loi normale : Donne P(Z ≤ z) pour Z ~ N(0,1).

Exemple : P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975.

Pour une VA X ~ N(μ, σ²), on standardise : Z = (X - μ)/σ ~ N(0,1).

5. Applications

• Intervalle de fluctuation : Pour X ~ N(μ, σ²), P(μ - 1,96σ ≤ X ≤ μ + 1,96σ) ≈ 0,95.
• Tests statistiques : Comparaison de moyennes (test de Student).

Exemple : Un échantillon de 100 personnes a une taille moyenne de 176 cm (σ=7 cm). Intervalle de fluctuation à 95% : [176 - 1,960,7 ; 176 + 1,960,7] ≈ [174,6 ; 177,4].

À retenir : Une VA transforme une expérience aléatoire en nombre. La loi normale est omniprésente en statistiques grâce à son universalité.