Variables aléatoires : loi de probabilité, espérance et variance
🎯 L'essentiel en 30 secondes
- Variable aléatoire : Fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire (ex : gain à un jeu).
- Loi de probabilité : Tableau ou formule donnant les probabilités des valeurs possibles.
- Espérance (E) : Moyenne pondérée des valeurs, calculée par : $$E(X) = \sum x_i \cdot p_i$$ Interprétation : Gain moyen sur le long terme.
- Variance (V) et écart-type (σ) : Mesurent la dispersion autour de l'espérance. $$V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$ $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
- Loi binomiale : Cas particulier où $X$ compte le nombre de succès en $n$ essais identiques (probabilité $p$ de succès). $$E(X) = n \cdot p \quad \text{et} \quad V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$$
Chiffre-clé : Si $E(X) = 0$, le jeu est équitable (ni gain ni perte en moyenne).
💡 Le Concept Décrypté
Imagine que tu lances un dé truqué à 6 faces : les faces 1 et 2 sortent deux fois plus souvent que les autres. Tu gagnes 10 € si tu tombes sur un 6, 5 € sur un 5, et tu perds 2 € sinon. Ta question : Est-ce que ce jeu est intéressant sur le long terme ?
C’est exactement ce que répondent les variables aléatoires : elles transforment une expérience aléatoire (le lancer de dé) en nombres (tes gains), puis calculent des indicateurs clés comme l’espérance (ton gain moyen) ou la variance (à quel point tes gains varient).
- L’espérance te dit si le jeu est favorable : si $E(X) > 0$, tu gagnes en moyenne. Sinon, tu perds.
- La variance mesure le risque : une variance élevée signifie que tes gains peuvent fortement fluctuer (ex : gagner 100 € ou perdre 50 €).
Pourquoi ce concept existe ? Parce que dans la vie réelle, on prend des décisions sous incertitude : choisir un jeu, évaluer un risque financier, ou même prédire le nombre de clients dans un magasin. Les variables aléatoires sont l’outil mathématique pour quantifier cette incertitude et prendre des décisions éclairées.
📐 La Méthode Pas-à-Pas
Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces. On gagne 3 € si le résultat est pair, et on perd 2 € si le résultat est impair. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain.
Étape 1 : Définir la loi de probabilité
- Valeurs possibles de $X$ : 3 € (pair) ou -2 € (impair).
- Probabilités :
- $P(X = 3) = P({2,4,6}) = \frac{3}{6} = 0,5$
- $P(X = -2) = P({1,3,5}) = \frac{3}{6} = 0,5$
Tableau de la loi de probabilité :
| $x_i$ | -2 | 3 |
|---|---|---|
| $p_i$ | 0,5 | 0,5 |
Étape 2 : Calculer l’espérance $E(X)$
$$E(X) = \sum x_i \cdot p_i = (-2) \cdot 0,5 + 3 \cdot 0,5 = -1 + 1,5 = 0,5$$
Interprétation : En moyenne, tu gagnes 0,50 € par lancer sur le long terme.
Étape 3 : Calculer la variance $V(X)$
- Calcul de $E(X^2)$ : $$E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0,5 + 3^2 \cdot 0,5 = 4 \cdot 0,5 + 9 \cdot 0,5 = 2 + 4,5 = 6,5$$
- Formule de la variance : $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6,5 - (0,5)^2 = 6,5 - 0,25 = 6,25$$
Étape 4 : Calculer l’écart-type $\sigma(X)$
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{6,25} = 2,5$$
Interprétation : Tes gains varient en moyenne de 2,50 € autour de l’espérance (0,50 €).
Cas de la loi binomiale (exemple)
Exemple : On lance 10 fois une pièce équilibrée. $X$ compte le nombre de "pile".
- $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,5$.
- Espérance : $E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0,5 = 5$.
- Variance : $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 10 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 2,5$.
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{2,5} \approx 1,58$.
❌ Le Piège du Prof
Erreur classique : Confondre $E(X^2)$ et $[E(X)]^2$ dans le calcul de la variance.
| Erreur | Correction |
|---|---|
| $V(X) = E(X^2)$ | $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ |
| Exemple : $V(X) = 6,5$ | Exemple : $V(X) = 6,5 - 0,25 = 6,25$ |
Pourquoi cette erreur ? Le cerveau a tendance à oublier de soustraire le carré de l’espérance, car il se concentre sur le calcul de $E(X^2)$. Pourtant, la variance mesure bien la dispersion autour de la moyenne, d’où la nécessité de retrancher $[E(X)]^2$.
Astuce : Retiens la formule comme "moyenne des carrés moins carré de la moyenne".
🛠️ Fiche Technique & Mots-clés
Définitions clés
- Variable aléatoire : Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
- Loi de probabilité : Ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire et de leurs probabilités associées.
- Espérance : Valeur moyenne attendue d’une variable aléatoire, notée $E(X)$. C’est un indicateur de tendance centrale.
- Variance : Mesure de la dispersion des valeurs autour de l’espérance, notée $V(X)$. Plus elle est élevée, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne.
- Écart-type : Racine carrée de la variance, noté $\sigma(X)$. Il s’exprime dans la même unité que la variable aléatoire.
Formules essentielles
- Espérance : $$E(X) = \sum x_i \cdot p_i$$
- Variance : $$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$
- Écart-type : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
- Loi binomiale :
- Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors : $$E(X) = n \cdot p$$ $$V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$$ $$\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$$
Règles à retenir
- L’espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$.
- La variance n’est pas linéaire : $V(aX + b) = a^2V(X)$.
- Pour une loi binomiale, l’espérance et la variance dépendent uniquement de $n$ (nombre d’essais) et $p$ (probabilité de succès).
Mots-clés intégrés : variable aléatoire, loi de probabilité, espérance, variance, écart-type, loi binomiale.