Les vecteurs : définition, opérations et colinéarité
🎯 L'essentiel en 30 secondes
- Définition : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Noté 𝑢⃗ ou AB⃗.
- Coordonnées : Dans un repère, 𝑢⃗ = (x ; y). La norme se calcule avec : [ |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]
- Addition de vecteurs : Si 𝑢⃗ = (x ; y) et 𝑣⃗ = (x' ; y'), alors 𝑢⃗ + 𝑣⃗ = (x + x' ; y + y').
- Colinéarité : Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires si 𝑢⃗ = k × 𝑣⃗ (k ∈ ℝ). Condition pratique : [ x \cdot y' - y \cdot x' = 0 ]
- Produit scalaire (introduction) : 𝑢⃗ · 𝑣⃗ = x × x' + y × y' (sera approfondi en 1ère).
💡 Le Concept Décrypté
Imagine que tu es en voiture sur une route droite. Pour décrire ton déplacement, dire "J’ai roulé 5 km" ne suffit pas : il faut préciser dans quelle direction (vers Paris ou Marseille ?) et dans quel sens (allersimple ou retour ?). Un vecteur, c’est exactement ça : une flèche qui modélise un déplacement, une force (comme le vent qui pousse un voilier), ou même la vitesse d’un ballon lancé en l’air.
En maths, les vecteurs servent à quantifier des grandeurs qui ont une orientation. Par exemple :
- En physique, pour décrire la trajectoire d’un avion soumis au vent.
- En informatique, pour animer des personnages dans un jeu vidéo (calculer leur position après un mouvement).
- En géométrie, pour prouver que trois points sont alignés (grâce à la colinéarité).
Sans les vecteurs, on ne pourrait pas modéliser des phénomènes aussi variés que le tir d’un penalty, la construction d’un pont, ou le vol d’une fusée. Ils sont le langage universel pour parler de tout ce qui bouge ou agit dans une direction précise.
📐 La Méthode Pas-à-Pas
Exemple : Dans un repère, on donne les points A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(7 ; 10). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Étape 1 : Calculer les vecteurs AB⃗ et AC⃗ Pour trouver les coordonnées d’un vecteur, on soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité :
- AB⃗ = (x_B - x_A ; y_B - y_A) = (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ; 4)
- AC⃗ = (x_C - x_A ; y_C - y_A) = (7 - 1 ; 10 - 2) = (6 ; 8)
Étape 2 : Vérifier la colinéarité Deux vecteurs sont colinéaires s’il existe un réel k tel que AB⃗ = k × AC⃗. On cherche donc k :
- Pour la coordonnée x : 3 = k × 6 ⇒ k = 3/6 = 0,5
- Pour la coordonnée y : 4 = k × 8 ⇒ k = 4/8 = 0,5
Conclusion : Comme k est le même pour les deux coordonnées, AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires. Donc A, B et C sont alignés.
Méthode alternative (condition pratique) : On utilise la formule x × y' - y × x' = 0 : 3 × 8 - 4 × 6 = 24 - 24 = 0 → Les vecteurs sont colinéaires.
❌ Le Piège du Prof
Erreur classique : Confondre vecteur nul et colinéarité.
| Ce que l’élève écrit | Ce qu’il faut écrire |
|---|---|
| "Les vecteurs 𝑢⃗ = (0 ; 0) et 𝑣⃗ = (1 ; 2) sont colinéaires car 0 = k × 1 et 0 = k × 2." | "Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, car pour tout 𝑣⃗, on a 0⃗ = 0 × 𝑣⃗." |
Pourquoi cette erreur ? Le cerveau cherche un k unique pour les deux coordonnées, mais avec le vecteur nul, tout k fonctionne (0 = 0 × 1, 0 = 0 × 2, etc.). Cela crée une fausse impression de colinéarité « évidente ». En réalité, le vecteur nul est un cas particulier : il n’a ni direction ni sens, mais il est colinéaire à tous les autres vecteurs par convention.
🛠️ Fiche Technique & Mots-clés
Définitions clés
- Vecteur : Objet défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Notation : 𝑢⃗ ou AB⃗.
- Coordonnées d’un vecteur : Dans un repère, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors AB⃗ = (x_B - x_A ; y_B - y_A).
- Norme d’un vecteur : [ |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} ] (où 𝑢⃗ = (x ; y)).
Opérations sur les vecteurs
- Addition de vecteurs : Si 𝑢⃗ = (x ; y) et 𝑣⃗ = (x' ; y'), alors 𝑢⃗ + 𝑣⃗ = (x + x' ; y + y').
- Multiplication par un réel k : k × 𝑢⃗ = (k × x ; k × y).
- Produit scalaire (introduction) : 𝑢⃗ · 𝑣⃗ = x × x' + y × y' (sera approfondi en 1ère).
Colinéarité
- Deux vecteurs 𝑢⃗ = (x ; y) et 𝑣⃗ = (x' ; y') sont colinéaires s’il existe un réel k tel que 𝑢⃗ = k × 𝑣⃗.
- Condition pratique : x × y' - y × x' = 0.
- Interprétation géométrique : Les vecteurs colinéaires ont la même direction (ils sont parallèles). Trois points A, B, C sont alignés si AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires.
À retenir
- Le vecteur nul 0⃗ = (0 ; 0) est colinéaire à tous les vecteurs.
- La colinéarité permet de prouver l’alignement de points ou le parallélisme de droites.
- L’addition de vecteurs suit la règle du parallélogramme (utile en physique).