Logique des ensembles — Diagrammes de Venn
Définitions clés
Un ensemble est une collection d'objets (éléments) bien définis. Les diagrammes de Venn représentent graphiquement ces ensembles et leurs relations à l'aide de cercles (ou autres formes) imbriqués ou séparés.
- Ensemble universel (U) : Contient tous les éléments du problème (ex : tous les élèves d'une classe).
- Sous-ensemble : Un ensemble entièrement contenu dans un autre (ex : les élèves qui étudient le latin).
- Ensemble vide (∅) : Aucun élément (ex : les élèves qui étudient le latin et le grec dans une classe où personne ne le fait).
Opérations de base
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Union (∪) : Tous les éléments présents dans au moins un des ensembles. Exemple : A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
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Intersection (∩) : Éléments communs aux deux ensembles. Exemple : A ∩ B = {3}.
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Complémentaire (A') : Éléments de l'universel non dans A. Exemple : Si U = {1, 2, 3, 4, 5}, A' = {4, 5}.
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Différence (A \ B) : Éléments dans A mais pas dans B. Exemple : A \ B = {1, 2}.
Règles et propriétés
- Inclusion : Si A ⊆ B, tous les éléments de A sont dans B.
- Disjonction : A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅.
- Loi de De Morgan : (A ∪ B)' = A' ∩ B' et (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
Exemple d'application
Dans une classe de 30 élèves :
- 15 étudient l'anglais (A), 10 le français (B), 5 les deux.
- Combien étudient au moins une langue ? → A ∪ B = 15 + 10 - 5 = 20.
- Combien n'étudient aucune ? → 30 - 20 = 10.
Astuces pour les diagrammes
- Toujours dessiner l'universel (U) en rectangle.
- Les cercles doivent se chevaucher pour montrer les intersections.
- Numéroter les zones pour éviter les erreurs (ex : zone 1 = A ∩ B, zone 2 = A \ B).