Suites numériques simples : les bases à connaître

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelée termes, définis par une règle. On la note souvent (u_n) où n est l'indice (position du terme).

1. Définition et notation

• Suite explicite : Chaque terme est calculé directement avec une formule. Exemple : u_n = 2n + 1 donne u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, etc.
• Suite récurrente : Chaque terme dépend du précédent. Exemple : u_{n+1} = u_n + 3 avec u_0 = 2 donne 2, 5, 8, 11...

2. Types de suites courantes

• Suite arithmétique : La différence entre deux termes consécutifs est constante (r). Formule : u_{n+1} = u_n + r. Exemple : u_n = 5 + 2n (ici r = 2).
• Suite géométrique : Le rapport entre deux termes consécutifs est constant (q). Formule : u_{n+1} = u_n * q. Exemple : u_n = 3 * 2^n (ici q = 2).

3. Calcul des termes

• Suite arithmétique : u_n = u_0 + n * r Exemple : Pour u_0 = 4 et r = -1, u_5 = 4 + 5*(-1) = -1.
• Suite géométrique : u_n = u_0 * q^n Exemple : Pour u_0 = 1 et q = 3, u_4 = 1 * 3^4 = 81.

4. Somme des termes (formules clés)

• Suite arithmétique : S_n = n/2 * (u_0 + u_n) Exemple : Somme des 5 premiers termes de 2, 5, 8, 11, 14 : S_5 = 5/2 * (2 + 14) = 40.
• Suite géométrique : S_n = u_0 * (1 - q^{n+1}) / (1 - q) (si q ≠ 1) Exemple : Somme des 4 premiers termes de 3, 6, 12, 24 : S_4 = 3 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 93.

5. Applications pratiques

Les suites modélisent des situations concrètes :

• Épargne : Un compte avec intérêts composés suit une suite géométrique.
• Décroissance radioactive : La quantité de matière restante suit une suite géométrique.
• Problèmes de pavage : Le nombre de carrés dans un damier croissant suit une suite arithmétique ou géométrique.

Astuce : Toujours vérifier si la suite est arithmétique ou géométrique avant d'appliquer les formules !