Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Périmètre et aire

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Le périmètre est la longueur du tour, l'aire la place occupée à l'intérieur. Deux questions différentes, deux unités différentes — et deux figures peuvent avoir le même périmètre sans avoir la même aire. Confondre les deux est l'erreur la plus répandue de tout le collège.

Deux mesures, deux unités

Définition — périmètre et aire :

Les formules

Propriété

Règle

Piège

Utiliser le diamètre à la place du rayon dans $π r^{2}$ .

souligner le mot diamètre dans l'énoncé et écrire la division par 2 sur une ligne à part, avant de commencer.

Exemple

Un disque a un diamètre de 12 cm. Calculer sa circonférence et son aire.

Résultat :

Les conversions

11.

Les unités agraires servent pour les terrains : 1 a (are) $= 100$ m², et 1 ha (hectare) $= 10000$ m². Un hectare est donc un carré de 100 m de côté — à peu près un terrain de football et demi.

Des problèmes concrets

Un énoncé de la vie courante ne dit jamais « calcule le périmètre ». Il parle de plinthes, de clôture, de ruban, de bordure — c'est le tour, donc un périmètre. Ou bien il parle de peinture, de moquette, de gazon, de carrelage — c'est la surface, donc une aire. Reconnaître lequel des deux est demandé règle la moitié de l'exercice.

Exemple

Une chambre rectangulaire mesure 4,50 m sur 3,20 m. On veut poser des plinthes tout autour — sauf sur la porte, large de 0,90 m — et peindre le sol. Que faut-il acheter ?

Résultat :

Périmètre ou aire ? Longueur du tour, ou place à l'intérieur ?
Mon unité est-elle en cm ou en cm² selon la question ?
L'énoncé donne-t-il le rayon ou le diamètre ?
Toutes mes longueurs sont-elles dans la même unité avant de calculer ?
Conversion d'aire : ai-je bien utilisé 100 et non 10 ?
L'énoncé parle-t-il d'un tour (périmètre, en m) ou d'une surface (aire, en m²) ?

Corrigé · à détacher

Périmètre et aire

1. Le périmètre se mesure en cm, l’aire en cm² — jamais l’inverse.
2. Le périmètre est la longueur du contour : on l'exprime en unités de longueur — mm, cm, m, km. L'aire est la surface intérieure : on l'exprime en unités carrées — cm², m². Une réponse dont l'unité est fausse est une réponse fausse.
3. Quatre figures suffisent au programme. Le rectangle et le carré se déduisent l'un de l'autre ; le triangle est un demi-rectangle ; le disque introduit $π$ .
4. $P_{rect} = 2 (L + ℓ) A_{rect} = L \times ℓ A_{tri} = \frac{b \times h}{2}$
5. Pour le cercle, le périmètre porte un nom particulier — la circonférence — et les deux formules ne se ressemblent pas : l'une utilise le rayon une fois, l'autre au carré.
6. $C = 2 \times π \times r A_{disque} = π \times r^{2}$
7. Le rayon vaut la moitié du diamètre :
8. La circonférence utilise le rayon une seule fois :
9. L'aire l'utilise au carré :
10. environ 37,7 cm et 113 cm²
11. Une aire a deux dimensions : chaque changement d’unité vaut 10 × 10.
12. Les plinthes suivent le tour : c'est le périmètre.
13. On retire la largeur de la porte.
14. La peinture couvre la surface : c'est l'aire.
15. Les deux nombres se ressemblent — 14,50 et 14,40 — mais ils ne mesurent pas la même chose : l'un est en mètres, l'autre en mètres carrés. C'est l'unité qui les distingue, jamais leur valeur.
16. 14,50 m de plinthes et de quoi peindre 14,40 m²