Fiche à trous · 5ème · Mathématiques

Cercle — Angle inscrit, diamètre et propriétés

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Le cercle est la figure la plus simple à tracer et la plus riche en propriétés. Une seule d'entre elles suffit à faire apparaître un angle droit sans équerre : tout point du cercle voit le diamètre sous un angle de 90°. C'est le résultat le plus utile de l'année.

Le vocabulaire, qui n'est pas décoratif

Définition — distance d'un point à une droite :

L'angle inscrit dans un demi-cercle

Propriété

La réciproque est aussi utile que la propriété : elle donne le centre d'un cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle rectangle. Ce centre est le milieu de l'hypoténuse — un résultat qui ressert en 4ème et en 3ème.

La médiatrice

Définition — médiatrice :

Construire une médiatrice au compas

Construire le cercle circonscrit à un triangle

Ce centre porte un nom, le circumcentre, et il ne tombe pas toujours à l'intérieur du triangle : il est dedans pour un triangle à trois angles aigus, exactement sur l'hypoténuse pour un triangle rectangle — ce qu'on savait déjà —, et à l'extérieur dès qu'un angle dépasse 90°.

Ai-je bien distingué rayon, corde et diamètre dans mon énoncé ?
Le point est-il sur le cercle de diamètre le segment considéré ?
Ai-je nommé la propriété — angle inscrit, ou sa réciproque — avant de conclure ?
Médiatrice ou médiane ? Perpendiculaire, ou vers le sommet ?

Piège

Confondre médiatrice et médiane.

médiatrice → perpendiculaire ; médiane → sommet. Les deux mots se ressemblent, les deux droites non.

Corrigé · à détacher

Cercle — Angle inscrit, diamètre et propriétés

1. Le diamètre est la plus longue corde possible : toutes les autres sont plus courtes.
2. C'est la plus courte de toutes les distances entre ce point et les points de la droite. Elle se mesure toujours perpendiculairement : tout autre segment serait l'hypoténuse d'un triangle rectangle, donc plus long.
3. Une équerre gratuite : trois points suffisent, et l’un d’eux est libre.
4. Si $[A B]$ est un diamètre du cercle et si $M$ est un point du cercle distinct de $A$ et $B$ , alors le triangle $A M B$ est rectangle en $M$ . La réciproque est vraie : si $A M B$ est rectangle en $M$ , alors $M$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ .
5. $A M B = 90$
6. La médiatrice d'un segment $[A B]$ est la droite perpendiculaire à $[A B]$ passant par son milieu. Sa propriété caractéristique : un point appartient à la médiatrice si et seulement si il est à égale distance de $A$ et de $B$ .
7. Pointer en $A$ , écarter le compas de plus de la moitié de $A B$ , tracer un arc de part et d'autre.
8. Sans changer l'écartement, pointer en $B$ et tracer deux arcs qui coupent les premiers.
9. Tracer la droite passant par les deux intersections : c'est la médiatrice, et elle est perpendiculaire sans qu'on ait touché l'équerre.
10. Tracer la médiatrice de deux côtés du triangle — deux suffisent.
11. Leur point d'intersection est à égale distance des trois sommets : c'est le centre.
12. Écarter le compas jusqu'à un sommet et tracer. La médiatrice du troisième côté passera par ce centre : c'est le contrôle.