Cercle — Angle inscrit, diamètre et propriétés

Définir et employer la distance d'un point à une droite

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment se mesure la distance d’un point à une droite ?

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   Perpendiculairement à la droite.

   C’est la plus courte de toutes : tout segment oblique serait plus long.

2. 2.Pourquoi un segment oblique serait-il plus long ?

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   Parce qu’il serait l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

   L’hypoténuse est toujours le plus grand côté d’un triangle rectangle.

3. 3.Un point appartient à la droite. Quelle est sa distance à cette droite ?

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   Zéro

   Le pied de la perpendiculaire est le point lui-même.

4. 4.Qu’appelle-t-on une corde d’un cercle ?

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   Un segment joignant deux points du cercle.

   Le diamètre est la corde particulière qui passe par le centre, et c’est la plus longue.

Appliquer la propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle

Réponds en nommant la propriété utilisée.

1. 1.$[AB]$ est un diamètre d’un cercle et $M$ un point de ce cercle, distinct de $A$ et $B$. Que peut-on dire du triangle $AMB$ ?

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   Il est rectangle en $M$.

   C’est la propriété directe : tout point du cercle voit le diamètre sous un angle droit.

2. 2.Quelle est alors la mesure de l’angle $\widehat{AMB}$ ?

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   90°

   Le triangle est rectangle en $M$ : l’angle en $M$ est l’angle droit.

3. 3.Le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. Que peut-on dire du point $M$ ?

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   $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.

   C’est la réciproque de la propriété, et elle sert à démontrer qu’un point est sur un cercle.

4. 4.Dans ce cas, où se trouve le centre du cercle ?

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   Au milieu de $[AB]$.

   Le centre est toujours le milieu du diamètre.

5. 5.Si $AB=10$ cm, quel est le rayon de ce cercle ?

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   5 cm

   Le rayon vaut la moitié du diamètre : $10÷2=5$.

Définir la médiatrice et employer sa propriété caractéristique

Réponds à chaque question.

1. 1.Donne la définition de la médiatrice d’un segment $[AB]$.

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   La droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu.

   Les deux conditions ensemble : une perpendiculaire qui ne passe pas par le milieu n’est pas la médiatrice.

2. 2.Un point $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$. Que peut-on dire de $MA$ et $MB$ ?

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   $MA=MB$

   C’est la propriété caractéristique : appartenir à la médiatrice, c’est être à égale distance des deux extrémités.

3. 3.On sait que $MA=MB$. Que peut-on en conclure sur $M$ ?

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   $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.

   La propriété fonctionne dans les deux sens — c’est ce que signifie « si et seulement si ».

4. 4.Pourquoi, en traçant la médiatrice au compas, faut-il garder le même écartement depuis $A$ et depuis $B$ ?

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   Pour que les points d’intersection soient à égale distance de $A$ et de $B$.

   C’est ce qui garantit qu’ils sont sur la médiatrice, et deux points suffisent à tracer une droite.

5. 5.Quelle est la différence entre une médiatrice et une médiane ?

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   La médiatrice est perpendiculaire au milieu d’un côté ; la médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.

   Les deux mots se ressemblent, les deux droites non : l’une part d’un sommet, l’autre presque jamais.

Construire et justifier le cercle circonscrit à un triangle

Réponds à chaque question.

1. 1.Comment construit-on le centre du cercle circonscrit à un triangle ?

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   En traçant les médiatrices de deux côtés : leur point d’intersection est le centre.

   La troisième médiatrice y passe aussi, mais elle ne sert qu’à vérifier.

2. 2.Pourquoi deux médiatrices suffisent-elles ?

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   Le point est équidistant de deux sommets par la première, de deux autres par la seconde — donc des trois.

   C’est la propriété caractéristique de la médiatrice appliquée deux fois.

3. 3.Que vaut le rayon de ce cercle ?

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   La distance du centre à n’importe lequel des trois sommets.

   Les trois distances sont égales : c’est précisément ce qui définit le centre.

Repérer une confusion et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1. 1.« Une corde qui passe par le centre s’appelle un rayon. »

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   C’est un diamètre.

   Le rayon joint le centre à un point du cercle ; le diamètre joint deux points en passant par le centre.

2. 2.« Entre un point et une droite, deux segments différents peuvent être aussi courts l’un que l’autre. »

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   Non : la perpendiculaire est la seule plus courte, et elle est unique.

   Tout autre segment est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, donc strictement plus long.

3. 3.« $M$ est sur le cercle, donc le triangle $AMB$ est rectangle en $M$. »

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   Il faut de plus que $[AB]$ soit un diamètre du cercle.

   Sans cette hypothèse, la propriété ne s’applique pas et la conclusion est fausse.