Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Bienaymé-Tchebychev — Concentration, loi des grands nombres

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Sur 180 lancers de dé, on attend 30 six ; on en obtient rarement 30, mais presque jamais 10 ou 50. L'écart type $σ$ est l'unité naturelle des écarts à l'espérance : un écart d'au moins $k σ$ a une probabilité au plus $\frac{1}{k ^{2}}$ (Bienaymé-Tchebychev). Pour la moyenne d'un échantillon de taille $n$ , cette unité devient $\frac{σ}{n}$  : la moyenne se concentre autour de l'espérance, c'est la loi des grands nombres.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Propriété

Preuve. $X$ prend les valeurs $x_{i}$ avec les probabilités $p_{i}$ . Dans $V = \sum p_{i} (x_{i} - μ)^{2}$ , somme de termes positifs, on ne garde que les termes où $∣ x_{i} - μ ∣ ⩾ δ$ , qui valent chacun au moins $p_{i} δ^{2}$  : $V ⩾ δ^{2} \sum_{∣ x_{i} - μ ∣ ⩾ δ} p_{i} = δ^{2} P (∣ X - μ ∣ ⩾ δ)$ , et l'on divise par $δ^{2} > 0$ .

Propriété

Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exemple

On lance 180 fois un dé équilibré ; $X$ est le nombre de six. Majorer $P (∣ X - 30∣ ⩾ 10)$ , puis minorer $P (20 < X < 40)$ .

Résultat :

10.

Universelle, donc large. Valable pour toute variable aléatoire, l'inégalité est en contrepartie loin d'être optimale : elle borne par $\frac{1}{4}$ un écart d'au moins $2 σ$ , probabilité souvent inférieure à 0,05 en simulation. Sans hypothèse de plus, on ne peut pas faire mieux : l'exercice 7 atteint la borne. Algorithme. proba_ecart ajoute les $(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ des $k$ tels que $∣ k - p n ∣ > n$  ; avec $V = n p (1 - p)$ et $δ = n$ , l'inégalité majore $P (∣ S_{n} - p n ∣ ⩾ n)$ , donc aussi cette probabilité, par $p (1 - p)$ , pour tout $n$ . Pour $p = 0, 5$ , $n = 2 σ$ .

11.

Piège

Écrire la borne $\frac{σ}{δ ^{2}}$ , ou $\frac{V}{δ}$ .

$\frac{V}{δ ^{2}} = (\frac{σ}{δ})^{2}$  : avec $δ = k σ$ , on doit retrouver $\frac{1}{k ^{2}}$ .

Concentration de la moyenne, loi des grands nombres

Définition — échantillon et moyenne (rappel) :

Propriété

Simuler N échantillons de taille n

20.

Exemple

On lance $n = 100$ fois un dé équilibré ( $μ = 3, 5$ ). Majorer $P (∣ M_{100} - 3, 5∣ ⩾ 0, 5)$ , puis confronter la théorie à la simulation ci-dessus.

Résultat :

Définition — marche aléatoire :

25.

Piège

« Dix pile de suite : d'après la loi des grands nombres, face est devenu plus probable. » Ou : «  $M_{n} = μ$ pour $n$ assez grand. »

énoncer la loi avec un $δ$ fixé et une probabilité, jamais sur le prochain tirage.

Choisir une taille d'échantillon

Trouver une taille d'échantillon suffisante

Exemple

Un institut estime la proportion $p$ de personnes favorables à un projet par la fréquence $F_{n}$ observée sur $n$ personnes choisies au hasard, de façon indépendante. Il veut $P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ 0, 05) ⩽ 0, 05$ . Quelle taille suffit ?

Résultat :

Piège

Résoudre $\frac{V}{n δ ^{2}} ⩽ α$ en $n ⩽ \frac{V}{α δ ^{2}}$ , ou arrondir $1562, 5$ à $1562$ .

remplacer $n$ par la valeur trouvée : la borne doit être au plus $α$ .

Majorer $P (∣ X - μ ∣ ⩾ δ)$ par $\frac{V}{δ ^{2}}$ , avec la variance, et minorer le contraire.
Ramener un intervalle à un écart centré en $μ$  ; démontrer concentration et loi des grands nombres.
Trouver une taille d'échantillon suffisante, arrondie par excès.
Lire une simulation : $n$ et $N$ , $s$ et $\frac{σ}{n}$ , garanties $1 - \frac{1}{k ^{2}}$ .

Corrigé · à détacher

Bienaymé-Tchebychev — Concentration, loi des grands nombres

1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (démontrée). Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $μ$ et de variance $V$ . Pour tout réel $δ > 0$  :
2. $P (∣ X - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{V}{δ ^{2}}$
3. Deux lectures. Par le contraire, $P (∣ X - μ ∣ < δ) ⩾ 1 - \frac{V}{δ ^{2}}$  : $X$ tombe dans $] μ - δ; μ + δ [$ avec une probabilité au moins $1 - \frac{V}{δ ^{2}}$ . Avec $δ = k σ$ ( $σ = V$ , $k > 0$ ), la borne devient $\frac{1}{k ^{2}}$  : $\frac{1}{4}$ au-delà de $2 σ$ , $\frac{1}{9}$ au-delà de $3 σ$ . Des écarts de quelques $σ$ sont improbables : $P (∣ X - μ ∣ ⩾ k σ) ⩽ \frac{1}{k ^{2}}$ . Pour $δ ⩽ σ$ , la borne vaut au moins 1 et n'apprend rien.
4. Calculer $μ$ et la variance $V$ , pas l'écart type. Rappel : pour la loi $B (n; p)$ , $μ = n p$ et $V = n p (1 - p)$ .
5. Écrire l'événement comme un écart à $μ$ , ${∣ X - μ ∣ ⩾ δ}$ ou son contraire : un intervalle centré en $μ$ . Si $X$ et $μ$ sont entiers, $∣ X - μ ∣ ⩽ 9$ équivaut à $∣ X - μ ∣ < 10$ .
6. Conclure par une inégalité, jamais par une égalité : on obtient une borne, pas la probabilité.
7. Lancers indépendants : $X$ suit $B (180; \frac{1}{6})$ , $μ = 30$ et
8. Avec $δ = 10$ , $P (∣ X - 30∣ ⩾ 10) ⩽ \frac{V}{δ ^{2}}$ , et :
9. $P (∣ X - 30∣ ⩾ 10) ⩽ 0, 25$ et $P (20 < X < 40) ⩾ 1 - 0, 25 = 0, 75$ . La loi binomiale donne la valeur exacte de l'écart, environ 0,057 : la borne est juste, mais large.
10. En rouge, les valeurs à au moins $2 σ = 10$ de $μ = 30$  : probabilité totale environ 0,057, quand l'inégalité garantit 0,25 au plus.
11. La probabilité exacte reste voisine de 0,04 quand $n$ varie ; la borne vaut $p (1 - p) = 0, 25$ pour tout $n$ .
12. Rappel du chapitre « Sommes de variables aléatoires ». Un échantillon de taille $n$ d'une loi est une liste $(X_{1}, \dots, X_{n})$ de variables aléatoires indépendantes suivant cette loi, d'espérance $μ$ et de variance $V$ . Avec $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ et $M_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ , la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance donnent $E (S_{n}) = n μ$ , $V (S_{n}) = nV$ , puis :
13. $E (M_{n}) = μ V (M_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \times nV = \frac{V}{n} σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$
14. Inégalité de concentration (démontrée). Si $M_{n}$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $μ$ et de variance $V$ , alors pour tout réel $δ > 0$ , l'inégalité ci-dessous a lieu. Preuve : Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_{n}$ , d'espérance $μ$ et de variance $\frac{V}{n}$ , donne la borne $\frac{V / n}{δ ^{2}}$ .
15. $P (∣ M_{n} - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{V}{n δ ^{2}}$
16. Loi des grands nombres (démontrée). Pour tout réel $δ > 0$ , $P (∣ M_{n} - μ ∣ ⩾ δ)$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ . Preuve : $0 ⩽ P (∣ M_{n} - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{V}{δ ^{2}} \times \frac{1}{n}$ , et $\frac{1}{n}$ tend vers 0 : le théorème des gendarmes conclut. Quelle que soit la précision $δ$ fixée à l'avance, un grand échantillon a une moyenne qui ne s'écarte de $μ$ d'au moins $δ$ qu'avec une probabilité aussi petite qu'on veut.
17. Fréquence et probabilité. Dans un schéma de Bernoulli, avec $X_{i} = 1$ en cas de succès et 0 sinon, $μ = p$ , $V = p (1 - p)$ et $M_{n} = F_{n}$ est la fréquence des succès. À $δ$ près, $F_{n}$ est proche de $p$ avec une probabilité qui tend vers 1 : c'est le « théorème d'or » de Jacques Bernoulli (1713), qui justifie d'estimer une probabilité par une fréquence. Comme $p (1 - p) = \frac{1}{4} - (p - \frac{1}{2})^{2} ⩽ \frac{1}{4}$ , on a, quel que soit $p$ , $P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ δ) ⩽ \frac{1}{4 n δ ^{2}}$ .
18. Distinguer $n$ et $N$  : $n$ est la taille d'un échantillon, $N$ le nombre d'échantillons. Les $N$ moyennes forment une série, d'écart type $s$ .
19. Comparer $s$ à $\frac{σ}{n}$ , et non à $\frac{σ}{N}$  : c'est $n$ qui fixe la dispersion d'une moyenne. Compter les moyennes à au plus $k s$ , ou $k \frac{σ}{n}$ , de $μ$ ( $k = 1$ , 2, 3), et confronter à la garantie $1 - \frac{1}{k ^{2}}$  : 0,75 pour $k = 2$ , environ 0,889 pour $k = 3$ .
20. Graine 2026 : sortie 0.1796 0.1708, puis 1 0.667 0.667, 2 0.954 0.945, 3 0.996 0.995.
21. Pour un lancer, $E (X^{2}) = \frac{91}{6}$ , donc $V = \frac{91}{6} - 3, 5^{2} = \frac{35}{12}$ . Concentration avec $δ = 0, 5$  :
22. Écart type théorique de $M_{100}$  : $\frac{σ}{100} \approx 0, 1708$ , proche de $s \approx 0, 1796$  ; à au plus $\frac{2 σ}{n}$ de $μ$ , 94,5 % des moyennes, pour une garantie de 75 %.
23. $P (∣ M_{100} - 3, 5∣ ⩾ 0, 5) ⩽ 0, 117$  ; la simulation confirme le facteur $\frac{1}{n}$ , et des bornes justes mais larges.
24. Un pion part de 0 sur une droite graduée ; à chaque pas, il avance ou recule de 1, avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacun, indépendamment des pas précédents. Après $n$ pas, il est en $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ , où $X_{i}$ vaut $1$ ou $- 1$  : $E (X_{i}) = 0$ , $V (X_{i}) = 1$ , donc $E (S_{n}) = 0$ et $V (S_{n}) = n$ . Ainsi $P (∣ S_{n} ∣ ⩾ 2 n) ⩽ \frac{1}{4}$ , et $\frac{S _{n}}{n}$ se concentre autour de 0, mais pas $S_{n}$ .
25. Graine 2026, sortie -34 -0.085 0.065 : $S_{400}$ s'éloigne de 0, $\frac{S _{400}}{400}$ est petit, et 65 marches de 100 pas sur 1 000 finissent à au moins 20 de 0 (borne : 0,25).
26. Fixer la précision $δ$ et le risque $α$  : on veut $P (∣ M_{n} - μ ∣ ⩾ δ) ⩽ α$ .
27. Condition suffisante : par concentration, il suffit que $\frac{V}{n δ ^{2}} ⩽ α$ , soit $n ⩾ \frac{V}{α δ ^{2}}$ . Si $V$ est inconnue, on la majore : $\frac{1}{4}$ pour une fréquence.
28. Arrondir à l'entier supérieur et conclure « une taille de … suffit ».
29. $p$ est inconnue : $P (∣ F_{n} - p ∣ ⩾ 0, 05) ⩽ \frac{1}{4 n \times 0 , 0 5 ^{2}}$ , et il suffit que cette borne soit au plus 0,05, soit $n$ au moins
30. 2 000 personnes suffisent (contrôle : $\frac{1}{4 \times 2 000 \times 0 , 0 5 ^{2}} = 0, 05$ ). Il n'en faut pas forcément autant : pour $p = 0, 5$ et $n = 400$ , le calcul binomial exact donne déjà $P (∣ F_{400} - 0, 5∣ ⩾ 0, 05) \approx 0, 051$ .