Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Lancer dix fois une pièce, répondre au hasard à un QCM, vendre plus de billets que de places : chaque fois, on répète la même expérience à deux issues, sans que les essais s'influencent. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale $B (n, p)$ : pour tout entier $k$ de 0 à $n$ , $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Le coefficient binomial compte les chemins à $k$ succès, la puissance donne la probabilité de chacun.

Succession d'épreuves, arbres et indépendance

Définition — succession d'épreuves indépendantes :

Propriété

Modéliser une succession d'épreuves

Exemple

Une urne contient 3 boules rouges ( $R$ ) et 2 vertes ( $V$ ). On tire deux boules l'une après l'autre. Probabilité d'obtenir deux rouges, puis que la seconde soit rouge, avec et sans remise ?

Résultat :

Piège

Sans remise, écrire $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}$ .

avant de multiplier, se demander si la première épreuve change les conditions de la seconde.

Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

Définition — épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli :

Définition — schéma de Bernoulli :

12.

Reconnaître un schéma de Bernoulli

Exemple

On lance trois fois un dé équilibré ; le succès est « obtenir 6 ». Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux 6.

Résultat :

Piège

Donner $(\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6}$ comme probabilité d'obtenir deux 6 en trois lancers.

compter les chemins qui réalisent l'événement : c'est le rôle du coefficient binomial.

La loi binomiale

Définition — coefficient binomial (rappel) :

Définition — loi binomiale :

Propriété

Calculer avec une loi binomiale

Exemple

Un QCM compte 10 questions, chacune à quatre propositions dont une seule juste. Un candidat répond au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. Calculer la probabilité qu'il ait exactement 3 bonnes réponses, puis au moins 5.

Résultat :

28.

Piège

Calculer $P (X ⩾ 5)$ par $1 - P (X ⩽ 5)$ .

écrire l'événement contraire en toutes lettres avant d'utiliser le cumul.

Seuils, intervalles et algorithmes

Résoudre un problème de seuil ou d'intervalle

Exemple

On lance 20 fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de « pile ». Déterminer le plus petit intervalle $I$ centré en 10 tel que $P (X \in I) ⩾ 0, 95$ .

Résultat :

35.

36.

Simuler un schéma de Bernoulli en Python

39.

Schéma de Bernoulli justifié (succès nommé, $p$ , $n$ répétitions identiques et indépendantes) ; sinon, retour à l'arbre ?
Coefficient $(k n)$ devant $p^{k} (1 - p)^{n - k}$  ? Contraire de ${X ⩾ k}$ écrit ${X ⩽ k - 1}$  ?
Seuil : sens changé en divisant par $ln (1 - p) < 0$ , entier conclu par excès, phrase en contexte ?

Corrigé · à détacher

Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli

1. On réalise successivement $n$ épreuves, d'univers $Ω_{1}, \dots, Ω_{n}$ , sans que le résultat de l'une influe sur les suivantes. Une issue est un $n$ -uplet $(x_{1}, \dots, x_{n})$ du produit cartésien $Ω_{1} \times \dots \times Ω_{n}$ , c'est-à-dire un chemin de l'arbre. Dans ce modèle, la probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses composantes, $P ((x_{1}, \dots, x_{n})) = P (x_{1}) \times \dots \times P (x_{n})$ : dans l'arbre, chaque épreuve porte les mêmes pondérations, quel que soit le chemin suivi.
2. Rappel de première : l'arbre pondéré. Pour des épreuves quelconques, une branche du deuxième niveau porte une probabilité conditionnelle $P_{A} (B)$  ; les branches issues d'un nœud ont pour somme 1. Un chemin a pour probabilité le produit de ses branches, $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . Si $A_{1}, \dots, A_{m}$ partitionnent l'univers, probabilités totales : $P (B) = P (A_{1} \cap B) + \dots + P (A_{m} \cap B)$ . $A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .
3. Découper l'expérience en épreuves et décider si elles sont indépendantes : lancers successifs, tirages avec remise… Sans remise, la composition de l'urne change : les pondérations du deuxième niveau sont des probabilités conditionnelles.
4. Construire l'arbre, multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins qui réalisent l'événement (probabilités totales).
5. Avec remise, tirages indépendants : chaque branche $R$ porte $\frac{3}{5}$ , et $P (R_{2}) = \frac{3}{5}$ .
6. Sans remise, après une rouge il reste 2 rouges sur 4 boules :
7. Probabilités totales, selon la première boule :
8. $\frac{9}{25}$ avec remise, $\frac{3}{10}$ sans remise, où $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{1}{2} \neq = P (R_{2})$ : les tirages ne sont pas indépendants.
9. Avec remise, les deux niveaux portent les mêmes pondérations. Sans remise, celles du second niveau (en rouge) dépendent du premier tirage. En vert, le chemin « deux rouges ».
10. Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues, le succès $S$ et l'échec $\overline{S}$ , avec $P (S) = p$ et $P (\overline{S}) = 1 - p$ . La variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Calcul direct : $E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ et, comme $X^{2} = X$ , $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)$ .
11. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$ . Son univers est ${S, \overline{S}}^{n}$ , ou ${0, 1}^{n}$ : une issue est un mot de $n$ lettres, un chemin de l'arbre. Par le modèle des épreuves indépendantes, une issue à $k$ succès, donc à $n - k$ échecs, a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , quel que soit l'ordre des lettres.
12. Schéma de Bernoulli pour $n = 3$ : chaque branche haute porte $p$ , chaque branche basse $q = 1 - p$ . Les trois issues bleues ont 2 succès et la même probabilité $p^{2} q$ .
13. Nommer l'épreuve répétée et le succès (« obtenir 6 », « la pièce est défectueuse »), puis lire $p$ .
14. Vérifier les conditions : deux issues ; les mêmes conditions à chaque essai, donc $p$ constant ; des essais indépendants. Un prélèvement dans une très grande population est parfois assimilé à un tirage avec remise : c'est alors l'énoncé qui le dit.
15. Compter les répétitions : $n$ est fixé à l'avance.
16. Schéma de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = \frac{1}{6}$ . Trois chemins ont deux succès, $S S \overline{S}$ , $S \overline{S} S$ et $\overline{S} S S$ , chacun de probabilité $p^{2} (1 - p)$ :
17. la probabilité d'obtenir exactement deux 6 est $\frac{5}{72} \approx 0, 069$ .
18. Pour $0 ⩽ k ⩽ n$ , $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, donc le nombre de mots de $n$ lettres contenant exactement $k$ lettres $S$ , ou de chemins à $k$ succès dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli. On a $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = n$ , $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , la symétrie $(n - k n) = (k n)$ et, pour $k ⩽ n - 1$ , la relation de Pascal $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ . Tout est établi dans la fiche « Dénombrement ».
19. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $B (n, p)$  ; elle prend les valeurs $0, 1, \dots, n$ . Si $X_{i}$ vaut 1 quand la $i$ -ième épreuve est un succès et 0 sinon, $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ : une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, de même paramètre $p$ . On en déduit $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ : voir la fiche « Sommes de variables aléatoires ».
20. Probabilité de $k$ succès (démontrée). Si $X$ suit $B (n, p)$ , pour tout entier $k$ tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ , on a la formule ci-dessous. Démonstration. L'événement ${X = k}$ est formé des issues comportant exactement $k$ succès. Par indépendance, chacune a pour probabilité le produit de $k$ facteurs $p$ et de $n - k$ facteurs $1 - p$ , soit $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Une telle issue est déterminée par les rangs de ses $k$ succès, c'est-à-dire par une partie à $k$ éléments de ${1, \dots, n}$ : il y en a $(k n)$ . On additionne donc $(k n)$ fois la même probabilité.
21. $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
22. Justifier le modèle : « on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de succès … de probabilité $p$  ; $X$ compte les succès, donc suit $B (n, p)$ ».
23. Calculer $P (X = k)$ par la formule ou la calculatrice (probabilité ponctuelle), et $P (X ⩽ k)$ par la probabilité cumulée, somme des $P (X = i)$ pour $i$ de 0 à $k$ .
24. Se ramener au cumul : $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ , $P (k ⩽ X ⩽ k^{'}) = P (X ⩽ k^{'}) - P (X ⩽ k - 1)$  ; au moins un succès : $P (X ⩾ 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
25. Chaque question est une épreuve de Bernoulli (succès : « bonne réponse », $p = 0, 25$ ), répétée 10 fois de façon indépendante : $X$ suit $B (10; 0, 25)$ . Avec $(3 10) = 120$ :
26. « Au moins 5 » est le contraire de « au plus 4 » ; la calculatrice donne $P (X ⩽ 4) \approx 0, 9219$ :
27. $P (X = 3) \approx 0, 25$ et $P (X ⩾ 5) \approx 0, 078$ .
28. En bleu, $P (X = 3)$  ; en rouge, les bâtons dont la somme est $P (X ⩾ 5)$ .
29. Au moins un succès : le plus petit $n$ tel que $1 - (1 - p)^{n} ⩾ s$ vérifie $(1 - p)^{n} ⩽ 1 - s$  ; passer au logarithme népérien, en changeant le sens quand on divise par $ln (1 - p) < 0$ , ou tabuler $(1 - p)^{n}$ . Pour $p = 0, 1$ et $s = 0, 95$ : $0, 9^{n} ⩽ 0, 05 ⟺ n ⩾ \frac{ln 0 , 05}{ln 0 , 9} \approx 28, 4$ , donc $n = 29$ .
30. Seuil sur $k$ : pour le plus petit $k$ tel que $P (X > k) ⩽ α$ , calculer $P (X ⩽ k)$ pour $k = 0, 1, 2, \dots$ jusqu'à $1 - P (X ⩽ k) ⩽ α$ : $J =] k; n]$ vérifie $P (X \in J) ⩽ α$ .
31. Intervalle : pour $P (X \in I) ⩾ 1 - α$ , retirer de part et d'autre des valeurs peu probables, puis vérifier $P (a ⩽ X ⩽ b) = P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1) ⩾ 1 - α$ : $X$ tombe hors de $I$ avec une probabilité au plus $α$ .
32. $X$ suit $B (20; 0, 5)$ . La calculatrice donne $P (X ⩽ 5) \approx 0, 0207$ , $P (X ⩽ 6) \approx 0, 0577$ , $P (X ⩽ 13) \approx 0, 9423$ et $P (X ⩽ 14) \approx 0, 9793$ . Pour $I = [6; 14]$ :
33. Pour $[7; 13]$ , plus étroit, $0, 9423 - 0, 0577 = 0, 8846 < 0, 95$ .
34. $I = [6; 14]$ , avec $P (X \in I) \approx 0, 96$ .
35. En vert, de 6 à 14 : environ 0,959 ; les deux queues grises : environ 0,041.
36. seuil cumule les $P (X = k)$ jusqu'à $P (X > k) ⩽ α$  ; echantillon construit sa liste en compréhension.
37. Simuler : bernoulli(p) renvoie 1 si random(), tiré dans $[0; 1 [$ , est inférieur à $p$ , donc avec la probabilité $p$  ; binomiale(n, p) additionne $n$ appels indépendants et simule $B (n, p)$  ; echantillon(N, n, p) renvoie un échantillon de taille $N$ .
38. La planche de Galton : à chacun des $n$ clous, la bille part à droite avec la probabilité 0,5, indépendamment ; sa case, le nombre de rebonds à droite, suit $B (n; 0, 5)$ , que simule binomiale(n, 0.5).
39. Le chemin DGDD mène à la case 3 ; $(k 4)$ chemins sur 16 mènent à la case $k$ .