Fiche à trous · Terminale · Mathématiques

Sommes de variables — Espérance, variance, échantillons

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Lancer cent dés et prévoir leur somme : sa loi est hors de portée d'un calcul à la main, et pourtant son espérance et sa variance s'obtiennent en une ligne. L'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances ; la variance d'une somme n'est la somme des variances que si les variables sont indépendantes. Pour la moyenne $M_{n}$ d'un échantillon de taille $n$ , il en découle $E (M_{n}) = μ$ et $σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$ .

Somme de variables aléatoires et linéarité de l'espérance

Rappels de première. Sur un univers fini $Ω$ , une variable aléatoire $X$ est une fonction de $Ω$ dans $R$  ; $E (X) = \sum p_{i} x_{i} = \sum_{ω \in Ω} P ({ω}) X (ω)$ (moyenne pondérée sur les issues), $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ et $σ (X) = V (X)$ .

Définition — somme de deux variables aléatoires :

Propriété

Calculer une espérance sans passer par la loi

Exemple

Une urne contient quatre boules numérotées 1, 2, 3 et 4. On tire successivement deux boules sans remise ; $X_{1}$ et $X_{2}$ sont leurs numéros, et $S = X_{1} + X_{2}$ . Calculer $E (S)$ .

Résultat :

10.

Piège

« Les tirages sont sans remise, donc $X_{1}$ et $X_{2}$ ne sont pas indépendantes : on ne peut pas écrire $E (X_{1} + X_{2}) = E (X_{1}) + E (X_{2})$ . »

espérance : linéarité, toujours ; variance : additivité, seulement pour des variables indépendantes.

Variance d'une somme de variables indépendantes

Définition — variables aléatoires indépendantes :

Propriété

16.

Calculer une variance par décomposition

Exemple

On lance un dé équilibré, puis une pièce équilibrée. Le score $G$ est le numéro du dé, plus 4 points si la pièce tombe sur pile. Calculer $E (G)$ et $σ (G)$ .

Résultat :

Piège

Écrire $E (X^{2}) = (E (X))^{2}$ .

calculer $E (X^{2}) = \sum p_{i} x_{i}^{2}$ avec la loi : on élève au carré les valeurs.

Piège

Écrire $V (X - Y) = V (X) - V (Y)$ .

un coefficient sort de la variance au carré, signe compris.

Piège

Écrire $σ (X + Y) = σ (X) + σ (Y)$ , ou $V (2 X) = 2 V (X)$ .

ajouter les variances, puis prendre une seule racine.

La loi binomiale, somme de variables de Bernoulli

Propriété

25.

Exemple

Un QCM compte 20 questions à quatre réponses, dont une seule juste. Un candidat répond au hasard à chacune, indépendamment ; $X$ est son nombre de bonnes réponses. Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise en retire $\frac{1}{3}$ . Calculer l'espérance et l'écart type de la note $N$ .

Résultat :

Piège

Utiliser $V (X) = n p (1 - p)$ pour des tirages sans remise.

avant d'écrire $B (n, p)$ , vérifier : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.

Échantillon d'une loi : somme et moyenne

Définition — échantillon de taille n :

Propriété

32.

Étudier la somme ou la moyenne d'un échantillon

Exemple

Une balance donne d'un objet une mesure aléatoire d'espérance $μ$ , sa masse exacte, et d'écart type 0,6 g ; les mesures successives sont indépendantes. On retient la moyenne $M_{n}$ de $n$ mesures. Calculer $σ (M_{9})$ , puis le nombre de mesures qui garantit $σ (M_{n}) ⩽ 0, 1$ g.

Résultat :

Piège

Écrire $σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$ , ou $V (M_{n}) = \frac{V}{n ^{2}}$ .

contrôle : quadrupler $n$ divise l'écart type de la moyenne par 2, pas par 4.

Ai-je cité l'indépendance des épreuves avant d'ajouter des variances ?
Un coefficient sort-il de la variance au carré : $V (- Y) = V (Y)$  ?
Pour $B (n, p)$ : épreuves identiques, indépendantes, à deux issues ?
Pour une moyenne : $σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$ , et non $\frac{σ}{n}$  ?

Corrigé · à détacher

Sommes de variables — Espérance, variance, échantillons

1. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers $Ω$ , et $a$ un réel. La variable $X + Y$ associe à chaque issue $ω$ le nombre $X (ω) + Y (ω)$  ; la variable $a X$ lui associe $a X (ω)$ . Exemple : pour deux dés, $X_{1} + X_{2}$ est la somme des faces ; un gain en euros $G$ devient $100 G$ en centimes.
2. Linéarité de l'espérance (démontrée). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $Ω$ , indépendantes ou non, et pour tout réel $a$ : $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ et $E (a X) = a E (X)$ . Preuve : avec la moyenne pondérée sur les issues, $E (X + Y) = \sum_{ω} P ({ω}) (X (ω) + Y (ω))$ , que l'on sépare en deux sommes : $E (X) + E (Y)$ . De même, $\sum_{ω} P ({ω}) a X (ω) = a E (X)$ . De proche en proche, $E (X_{1} + \dots + X_{n}) = E (X_{1}) + \dots + E (X_{n})$  ; et comme une constante $b$ a pour espérance $b$ , $E (a X + b) = a E (X) + b$ .
3. $E (X + Y) = E (X) + E (Y) E (a X) = a E (X)$
4. Décomposer : écrire $X$ comme une somme de variables plus simples, souvent une par épreuve ou par objet : le résultat de chaque tirage, ou une variable qui vaut 1 si un événement se produit et 0 sinon.
5. Calculer l'espérance de chaque terme, à partir de sa loi, qui est simple.
6. Additionner, par linéarité, sans se préoccuper de l'indépendance.
7. $X_{1}$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, 3, 4}$ . Un numéro $k$ sort au second tirage s'il ne sort pas au premier, puis sort parmi les trois boules restantes :
8. Par linéarité, bien que $X_{1}$ et $X_{2}$ ne soient pas indépendantes :
9. $E (S) = 5$ , sans avoir déterminé la loi de $S$  ; le tableau des douze tirages le confirme.
10. Les 12 tirages ordonnés sont équiprobables ; la diagonale est impossible sans remise.
11. Des variables aléatoires $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes si, pour toutes valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ , $P (X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}) = P (X_{1} = x_{1}) \times \dots \times P (X_{n} = x_{n})$ , la virgule signifiant « et ». Ici, elles proviennent toujours d'une succession d'épreuves indépendantes (lancers, tirages avec remise…), chaque $X_{i}$ ne dépendant que de la $i$ -ième : l'indépendance est une hypothèse du modèle, qu'il suffit de citer.
12. Changement d'échelle (démontré). Pour tous réels $a$ et $b$ , $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ . Preuve : avec $μ = E (X)$ , la linéarité donne $E (a X + b) = a μ + b$ , donc $V (a X + b) = E ((a X + b - a μ - b)^{2}) = E (a^{2} (X - μ)^{2}) = a^{2} V (X)$ . Ajouter une constante décale les valeurs sans les disperser davantage.
13. $V (a X + b) = a^{2} V (X) σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$
14. Additivité de la variance (admise). Plus généralement, si $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes, $V (X_{1} + \dots + X_{n}) = V (X_{1}) + \dots + V (X_{n})$ . Ce sont les variances qui s'ajoutent, pas les écarts types. Sans indépendance, l'additivité tombe : avec $Y = X$ , $V (X + X) = V (2 X) = 4 V (X)$ . Pour un dé, $V (X_{1}) = \frac{91}{6} - 3, 5^{2} = \frac{35}{12}$  ; deux dés ajoutés donnent $V (X_{1} + X_{2}) = \frac{35}{6}$ , un dé doublé $V (2 X_{1}) = \frac{35}{3}$ , pour la même espérance 7.
15. $V (X + Y) = V (X) + V (Y) si X, Y ind \overset{e}{ˊ} pendantes$
16. Même espérance, dispersions différentes ; sous l'axe, de $E - σ$ à $E + σ$ .
17. Écrire $X$ comme une somme $X_{1} + \dots + X_{n}$ , chaque $X_{i}$ ne dépendant que d'une épreuve.
18. Citer le modèle : les épreuves sont indépendantes, donc les $X_{i}$ le sont. Sans cette phrase, l'additivité n'est pas justifiée.
19. Ajouter les variances (un coefficient sort au carré, signe compris), puis prendre la racine à la fin pour l'écart type, jamais terme à terme.
20. Soit $D$ le numéro du dé et $P$ la variable qui vaut 1 pour pile, 0 sinon : $G = D + 4 P$ . On a $E (D) = 3, 5$ , $V (D) = \frac{35}{12}$ , $E (P) = 0, 5$ et $V (P) = E (P^{2}) - 0, 5^{2} = 0, 25$ , car $P^{2} = P$ . Par linéarité :
21. $D$ et $P$ dépendent de deux épreuves indépendantes : elles sont indépendantes, et
22. $E (G) = 5, 5$ points et $σ (G) \approx 2, 63$ points.
23. Loi de Bernoulli (démontrée). Si $Y$ vaut 1 avec la probabilité $p$ et 0 sinon, $E (Y) = p$  ; comme $Y^{2} = Y$ , $E (Y^{2}) = p$ et $V (Y) = p - p^{2} = p (1 - p)$ . Loi binomiale (démontrée). Si $X$ suit $B (n, p)$ , $X$ compte les succès d'un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves. Soit $X_{i}$ la variable qui vaut 1 si la $i$ -ième épreuve est un succès, 0 sinon : chaque $X_{i}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , et $X = X_{1} + \dots + X_{n}$ , car chaque succès ajoute 1. Par linéarité, $E (X) = p + \dots + p = n p$ . Les épreuves étant indépendantes, les $X_{i}$ le sont : par additivité, $V (X) = n \times p (1 - p)$ .
24. $E (X) = n p V (X) = n p (1 - p) σ (X) = n p (1 - p)$
25. Une issue d'un schéma de Bernoulli à 5 épreuves : chaque succès ajoute 1.
26. $X$ suit $B (20; 0, 25)$ : $E (X) = 20 \times 0, 25 = 5$ et
27. Il y a $20 - X$ mauvaises réponses : $N = X - \frac{20 - X}{3} = \frac{4}{3} X - \frac{20}{3}$ . Par linéarité, $E (N) = \frac{4}{3} \times 5 - \frac{20}{3} = 0$ , et $V (N) = (\frac{4}{3})^{2} V (X)$ :
28. $E (N) = 0$ : ce barème annule en moyenne l'effet du hasard ; $σ (N) \approx 2, 58$ points.
29. Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_{1}, \dots, X_{n})$ de variables aléatoires indépendantes et identiques, c'est-à-dire qui suivent toutes cette loi. Il modélise $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience : $n$ lancers d'un dé, $n$ mesures, $n$ clients… Sa somme est $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ , sa moyenne $M_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ .
30. Somme et moyenne d'un échantillon (démontrées). Si la loi a pour espérance $μ$ , pour variance $V$ et pour écart type $σ = V$ , la linéarité donne $E (S_{n}) = n μ$ et l'indépendance $V (S_{n}) = nV$ , d'où $σ (S_{n}) = n σ$ . Puis $M_{n} = \frac{1}{n} S_{n}$ donne $E (M_{n}) = μ$ et $V (M_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \times nV$ . Lecture : la somme se disperse de plus en plus, mais la moyenne se resserre autour de $μ$ . Pour diviser $σ (M_{n})$ par 2, il faut quadrupler $n$ . Attention : $S_{n}$ n'est pas $n X_{1}$ , qui répète un seul résultat et vérifie $σ (n X_{1}) = nσ$ . La fiche « Bienaymé-Tchebychev — Concentration, loi des grands nombres » en tire des probabilités.
31. $E (M_{n}) = μ V (M_{n}) = \frac{V}{n} σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$
32. Moyenne de $n$ lancers d'une pièce (1 pour pile) : quadrupler $n$ divise $σ (M_{n})$ par 2.
33. Reconnaître l'échantillon ( $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience), puis calculer $μ$ , $V$ et $σ$ pour une seule variable.
34. Appliquer les formules : pour la somme, multiplier $μ$ et $V$ par $n$  ; pour la moyenne, garder $μ$ et diviser $V$ par $n$ . Dans les deux cas, l'écart type varie d'un facteur $n$ .
35. Pour une précision visée $ε$ , résoudre $\frac{σ}{n} ⩽ ε$ , soit $n ⩾ \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}$ , et prendre le plus petit entier.
36. $(X_{1}, \dots, X_{9})$ est un échantillon : $E (M_{9}) = μ$ , la moyenne reste centrée sur la masse exacte, et
37. Puis $\frac{0 , 6}{n} ⩽ 0, 1 ⟺ n ⩾ 6 ⟺ n ⩾ 36$ .
38. $σ (M_{9}) = 0, 2$ g ; il faut au moins 36 mesures pour que $σ (M_{n}) ⩽ 0, 1$ g.