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Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli

Programme en vigueur — arrêtés du 19 juillet 2019, applicable en Terminale depuis la rentrée 2020. Voir le texte

La règle d'or

Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, le nombre de succès suit la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

L'erreur que tout le monde fait

Pour deux tirages sans remise dans une urne de 3 boules rouges sur 5, écrire P(R1 ∩ R2) = 3/5 × 3/5.

Le produit des probabilités ne vaut que pour des épreuves indépendantes ; sans remise, la seconde probabilité est 2/4.

Avant de multiplier, se demander si la première épreuve change les conditions de la seconde.

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Notions à maîtriser

loi binomiale
schéma de Bernoulli
épreuve de Bernoulli
épreuves indépendantes
coefficient binomial
espérance
variance

Réviser

Lancer dix fois une pièce, répondre au hasard à un QCM, vendre plus de billets que de places : chaque fois, on répète la même expérience à deux issues, sans que les essais s'influencent. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , le nombre $X$ de succès suit la loi binomiale $B (n, p)$ : pour tout entier $k$ de 0 à $n$ , $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Le coefficient binomial compte les chemins à $k$ succès, la puissance donne la probabilité de chacun.

1Succession d'épreuves, arbres et indépendance

Définition

succession d'épreuves indépendantes — On réalise successivement $n$ épreuves, d'univers $Ω_{1}, \dots, Ω_{n}$ , sans que le résultat de l'une influe sur les suivantes. Une issue est un $n$ -uplet $(x_{1}, \dots, x_{n})$ du produit cartésien $Ω_{1} \times \dots \times Ω_{n}$ , c'est-à-dire un chemin de l'arbre. Dans ce modèle, la probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses composantes, $P ((x_{1}, \dots, x_{n})) = P (x_{1}) \times \dots \times P (x_{n})$ : dans l'arbre, chaque épreuve porte les mêmes pondérations, quel que soit le chemin suivi.

Propriété

Rappel de première : l'arbre pondéré. Pour des épreuves quelconques, une branche du deuxième niveau porte une probabilité conditionnelle $P_{A} (B)$  ; les branches issues d'un nœud ont pour somme 1. Un chemin a pour probabilité le produit de ses branches, $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . Si $A_{1}, \dots, A_{m}$ partitionnent l'univers, probabilités totales : $P (B) = P (A_{1} \cap B) + \dots + P (A_{m} \cap B)$ . $A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ .

Modéliser une succession d'épreuves

Découper l'expérience en épreuves et décider si elles sont indépendantes : lancers successifs, tirages avec remise… Sans remise, la composition de l'urne change : les pondérations du deuxième niveau sont des probabilités conditionnelles.l'indépendance fait partie du modèle : l'énoncé la donne ou la situation l'impose ; on ne la démontre pas.
Construire l'arbre, multiplier le long d'un chemin, additionner les chemins qui réalisent l'événement (probabilités totales).

Exemple

Une urne contient 3 boules rouges ( $R$ ) et 2 vertes ( $V$ ). On tire deux boules l'une après l'autre. Probabilité d'obtenir deux rouges, puis que la seconde soit rouge, avec et sans remise ?

Avec remise, tirages indépendants : chaque branche $R$ porte $\frac{3}{5}$ , et $P (R_{2}) = \frac{3}{5}$ . $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$
Sans remise, après une rouge il reste 2 rouges sur 4 boules : $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
Probabilités totales, selon la première boule : $P (R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

$\frac{9}{25}$ avec remise, $\frac{3}{10}$ sans remise, où $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{1}{2} \neq = P (R_{2})$ : les tirages ne sont pas indépendants.

Avec remise, les deux niveaux portent les mêmes pondérations. Sans remise, celles du second niveau (en rouge) dépendent du premier tirage. En vert, le chemin « deux rouges ».

Piège

Sans remise, écrire $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5}$ .

Pourquoi — le produit des probabilités des composantes ne vaut que pour des épreuves indépendantes ; ici la seconde pondération est $P_{R_{1}} (R_{2}) = \frac{2}{4}$ .

Ce que ça coûte — le modèle entier, donc toutes les probabilités qui en découlent

Le réflexe — avant de multiplier, se demander si la première épreuve change les conditions de la seconde.

2Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

Définition

épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli — Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues, le succès $S$ et l'échec $\overline{S}$ , avec $P (S) = p$ et $P (\overline{S}) = 1 - p$ . La variable aléatoire $X$ qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Calcul direct : $E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ et, comme $X^{2} = X$ , $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)$ .

Définition

schéma de Bernoulli — Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$ . Son univers est ${S, \overline{S}}^{n}$ , ou ${0, 1}^{n}$ : une issue est un mot de $n$ lettres, un chemin de l'arbre. Par le modèle des épreuves indépendantes, une issue à $k$ succès, donc à $n - k$ échecs, a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , quel que soit l'ordre des lettres.

Schéma de Bernoulli pour $n = 3$ : chaque branche haute porte $p$, chaque branche basse $q = 1 - p$. Les trois issues bleues ont 2 succès et la même probabilité $p^{2}q$.

Reconnaître un schéma de Bernoulli

Nommer l'épreuve répétée et le succès (« obtenir 6 », « la pièce est défectueuse »), puis lire $p$ .
Vérifier les conditions : deux issues ; les mêmes conditions à chaque essai, donc $p$ constant ; des essais indépendants. Un prélèvement dans une très grande population est parfois assimilé à un tirage avec remise : c'est alors l'énoncé qui le dit.
Compter les répétitions : $n$ est fixé à l'avance.« lancer un dé jusqu'à obtenir 6 » n'est pas un schéma de Bernoulli : le nombre d'essais n'est pas fixé.

Exemple

On lance trois fois un dé équilibré ; le succès est « obtenir 6 ». Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux 6.

Schéma de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = \frac{1}{6}$ . Trois chemins ont deux succès, $S S \overline{S}$ , $S \overline{S} S$ et $\overline{S} S S$ , chacun de probabilité $p^{2} (1 - p)$ : $3 \times (\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$

la probabilité d'obtenir exactement deux 6 est $\frac{5}{72} \approx 0, 069$ .

Piège

Donner $(\frac{1}{6})^{2} \times \frac{5}{6}$ comme probabilité d'obtenir deux 6 en trois lancers.

Pourquoi — c'est la probabilité d'un chemin, par exemple $S S \overline{S}$  ; l'événement en compte trois.

Ce que ça coûte — le résultat, faux d'un facteur égal au nombre de chemins

Le réflexe — compter les chemins qui réalisent l'événement : c'est le rôle du coefficient binomial.

3La loi binomiale

Définition

coefficient binomial (rappel) — Pour $0 ⩽ k ⩽ n$ , $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, donc le nombre de mots de $n$ lettres contenant exactement $k$ lettres $S$ , ou de chemins à $k$ succès dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli. On a $(0 n) = (n n) = 1$ , $(1 n) = n$ , $(2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , la symétrie $(n - k n) = (k n)$ et, pour $k ⩽ n - 1$ , la relation de Pascal $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ . Tout est établi dans la fiche « Dénombrement ».

Définition

loi binomiale — Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , la variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $B (n, p)$  ; elle prend les valeurs $0, 1, \dots, n$ . Si $X_{i}$ vaut 1 quand la $i$ -ième épreuve est un succès et 0 sinon, $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ : une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, de même paramètre $p$ . On en déduit $E (X) = n p$ et $V (X) = n p (1 - p)$ : voir la fiche « Sommes de variables aléatoires ».

Propriété

Probabilité de $k$ succès (démontrée). Si $X$ suit $B (n, p)$ , pour tout entier $k$ tel que $0 ⩽ k ⩽ n$ , on a la formule ci-dessous. Démonstration. L'événement ${X = k}$ est formé des issues comportant exactement $k$ succès. Par indépendance, chacune a pour probabilité le produit de $k$ facteurs $p$ et de $n - k$ facteurs $1 - p$ , soit $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Une telle issue est déterminée par les rangs de ses $k$ succès, c'est-à-dire par une partie à $k$ éléments de ${1, \dots, n}$ : il y en a $(k n)$ . On additionne donc $(k n)$ fois la même probabilité.

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Calculer avec une loi binomiale

Justifier le modèle : « on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli de succès … de probabilité $p$  ; $X$ compte les succès, donc suit $B (n, p)$ ».
Calculer $P (X = k)$ par la formule ou la calculatrice (probabilité ponctuelle), et $P (X ⩽ k)$ par la probabilité cumulée, somme des $P (X = i)$ pour $i$ de 0 à $k$ .
Se ramener au cumul : $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$ , $P (k ⩽ X ⩽ k^{'}) = P (X ⩽ k^{'}) - P (X ⩽ k - 1)$  ; au moins un succès : $P (X ⩾ 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .

Exemple

Un QCM compte 10 questions, chacune à quatre propositions dont une seule juste. Un candidat répond au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. Calculer la probabilité qu'il ait exactement 3 bonnes réponses, puis au moins 5.

Chaque question est une épreuve de Bernoulli (succès : « bonne réponse », $p = 0, 25$ ), répétée 10 fois de façon indépendante : $X$ suit $B (10; 0, 25)$ . Avec $(3 10) = 120$ : $P (X = 3) = 120 \times 0, 2 5^{3} \times 0, 7 5^{7} \approx 0, 2503$
« Au moins 5 » est le contraire de « au plus 4 » ; la calculatrice donne $P (X ⩽ 4) \approx 0, 9219$ : $P (X ⩾ 5) = 1 - P (X ⩽ 4) \approx 1 - 0, 9219 = 0, 0781$

$P (X = 3) \approx 0, 25$ et $P (X ⩾ 5) \approx 0, 078$ .

En bleu, $P(X = 3)$ ; en rouge, les bâtons dont la somme est $P(X \geqslant 5)$.

Piège

Calculer $P (X ⩾ 5)$ par $1 - P (X ⩽ 5)$ .

Pourquoi — le contraire de ${X ⩾ 5}$ est ${X ⩽ 4}$ : $X$ ne prend que des valeurs entières, et la valeur 5 appartient à l'événement.

Ce que ça coûte — le résultat, et ceux des seuils qui en dépendent

Le réflexe — écrire l'événement contraire en toutes lettres avant d'utiliser le cumul.

4Seuils, intervalles et algorithmes

Résoudre un problème de seuil ou d'intervalle

Au moins un succès : le plus petit $n$ tel que $1 - (1 - p)^{n} ⩾ s$ vérifie $(1 - p)^{n} ⩽ 1 - s$  ; passer au logarithme népérien, en changeant le sens quand on divise par $ln (1 - p) < 0$ , ou tabuler $(1 - p)^{n}$ . Pour $p = 0, 1$ et $s = 0, 95$ : $0, 9^{n} ⩽ 0, 05 ⟺ n ⩾ \frac{ln 0 , 05}{ln 0 , 9} \approx 28, 4$ , donc $n = 29$ .
Seuil sur $k$ : pour le plus petit $k$ tel que $P (X > k) ⩽ α$ , calculer $P (X ⩽ k)$ pour $k = 0, 1, 2, \dots$ jusqu'à $1 - P (X ⩽ k) ⩽ α$ : $J =] k; n]$ vérifie $P (X \in J) ⩽ α$ .
Intervalle : pour $P (X \in I) ⩾ 1 - α$ , retirer de part et d'autre des valeurs peu probables, puis vérifier $P (a ⩽ X ⩽ b) = P (X ⩽ b) - P (X ⩽ a - 1) ⩾ 1 - α$ : $X$ tombe hors de $I$ avec une probabilité au plus $α$ .

Exemple

On lance 20 fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de « pile ». Déterminer le plus petit intervalle $I$ centré en 10 tel que $P (X \in I) ⩾ 0, 95$ .

$X$ suit $B (20; 0, 5)$ . La calculatrice donne $P (X ⩽ 5) \approx 0, 0207$ , $P (X ⩽ 6) \approx 0, 0577$ , $P (X ⩽ 13) \approx 0, 9423$ et $P (X ⩽ 14) \approx 0, 9793$ . Pour $I = [6; 14]$ : $P (6 ⩽ X ⩽ 14) = P (X ⩽ 14) - P (X ⩽ 5) \approx 0, 9793 - 0, 0207 = 0, 9586$
Pour $[7; 13]$ , plus étroit, $0, 9423 - 0, 0577 = 0, 8846 < 0, 95$ .

$I = [6; 14]$ , avec $P (X \in I) \approx 0, 96$ .

En vert, de 6 à 14 : environ 0,959 ; les deux queues grises : environ 0,041.

`seuil` cumule les $P(X = k)$ jusqu'à $P(X > k) \leqslant \alpha$ ; `echantillon` construit sa liste en compréhension.

Simuler un schéma de Bernoulli en Python

Simuler : bernoulli(p) renvoie 1 si random(), tiré dans $[0; 1 [$ , est inférieur à $p$ , donc avec la probabilité $p$  ; binomiale(n, p) additionne $n$ appels indépendants et simule $B (n, p)$  ; echantillon(N, n, p) renvoie un échantillon de taille $N$ .
La planche de Galton : à chacun des $n$ clous, la bille part à droite avec la probabilité 0,5, indépendamment ; sa case, le nombre de rebonds à droite, suit $B (n; 0, 5)$ , que simule binomiale(n, 0.5).

Le chemin DGDD mène à la case 3 ; $\binom{4}{k}$ chemins sur 16 mènent à la case $k$.

▢Schéma de Bernoulli justifié (succès nommé, $p$ , $n$ répétitions identiques et indépendantes) ; sinon, retour à l'arbre ?
▢Coefficient $(k n)$ devant $p^{k} (1 - p)^{n - k}$  ? Contraire de ${X ⩾ k}$ écrit ${X ⩽ k - 1}$  ?
▢Seuil : sens changé en divisant par $ln (1 - p) < 0$ , entier conclu par excès, phrase en contexte ?

L'essentiel en 5 points

·Épreuves indépendantes : la probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses composantes.
·Bernoulli : $P (X = 1) = p$ , $P (X = 0) = 1 - p$ , $E (X) = p$ , $V (X) = p (1 - p)$ .
·Schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes ; un chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
· $X$ suit $B (n, p)$ : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , pour $0 ⩽ k ⩽ n$ .
· $P (X ⩾ k) = 1 - P (X ⩽ k - 1)$  ; au moins un succès : $1 - (1 - p)^{n}$ .

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Au sommaire du cours

1. Succession d'épreuves, arbres et indépendance
2. Épreuve, loi et schéma de Bernoulli
3. La loi binomiale
4. Seuils, intervalles et algorithmes

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui, donner ses paramètres ; sinon, dire quelle condition manque.

Modéliser

a.On lance 8 fois un dé équilibré ; $X$ est le nombre de 6 obtenus.
b.Une urne contient 4 boules rouges et 6 noires. On tire 20 fois une boule, en la remettant après chaque tirage ; $X$ est le nombre de boules rouges.
c.Dans la même urne, on tire successivement 3 boules sans remise ; $X$ est le nombre de boules rouges.
d.On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir « pile » ; $X$ est le nombre de lancers effectués.
e.Un tireur atteint la cible avec la probabilité 0,7 à chaque tir, indépendamment des autres. Il tire 12 fois ; $X$ est le nombre de tirs manqués.

›Voir le corrigé

a. Oui : 8 épreuves identiques et indépendantes, de succès « obtenir 6 », de probabilité $\frac{1}{6}$  ; $X$ suit $B (8; \frac{1}{6})$ .
b. Oui : avec remise, les 20 tirages sont identiques et indépendants, de succès « rouge », de probabilité $\frac{4}{10}$  ; $X$ suit $B (20; 0, 4)$ .
c. Non : sans remise, les tirages ne sont pas indépendants. Au deuxième tirage, la probabilité de tirer une rouge vaut $\frac{3}{9}$ ou $\frac{4}{9}$ selon le premier.
d. Non : le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance, et $X$ ne compte pas des succès.
e. Oui, en prenant pour succès « manquer la cible », de probabilité : $1 - 0, 7 = 0, 3$ les 12 tirs sont indépendants : $X$ suit $B (12; 0, 3)$ .
Conclusion : seules les situations a, b et e relèvent d'un schéma de Bernoulli, donc d'une loi binomiale.

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;0{,}2)$. Donner les résultats sous forme décimale exacte.

Calculer

a.Calculer $P (X = 0)$ et $P (X = 2)$ .
b.En déduire $P (X ⩾ 1)$ .
c.Calculer $P (X ⩽ 1)$ et $P (1 ⩽ X ⩽ 3)$ .

›Voir le corrigé

a. $P (X = 0) = (0 5) \times 0, 2^{0} \times 0, 8^{5}$ , avec $(0 5) = 1$ : $0, 8^{5} = 0, 32768$
Avec $(2 5) = 10$ : $P (X = 2) = 10 \times 0, 2^{2} \times 0, 8^{3} = 10 \times 0, 04 \times 0, 512 = 0, 2048$
b. ${X ⩾ 1}$ est le contraire de ${X = 0}$ : $1 - 0, 32768 = 0, 67232$
c. $P (X = 1) = 5 \times 0, 2 \times 0, 8^{4} = 0, 4096$ , donc : $P (X ⩽ 1) = 0, 32768 + 0, 4096 = 0, 73728$
$P (X = 3) = 10 \times 0, 2^{3} \times 0, 8^{2} = 0, 0512$ , et : $P (1 ⩽ X ⩽ 3) = 0, 4096 + 0, 2048 + 0, 0512 = 0, 6656$
Conclusion : $P (X = 0) = 0, 32768$ , $P (X = 2) = 0, 2048$ , $P (X ⩾ 1) = 0, 67232$ , $P (X ⩽ 1) = 0, 73728$ et $P (1 ⩽ X ⩽ 3) = 0, 6656$ .

Chaque matin, Léa prend le bus avec la probabilité 0,7, et sinon son vélo. En bus, elle arrive en retard avec la probabilité 0,1 ; à vélo, avec la probabilité 0,05. On note $B$ « Léa prend le bus » et $R$ « Léa est en retard ».

Représenter

a.Représenter la situation par un arbre pondéré.
b.Calculer $P (R)$ .
c.Léa est en retard. Quelle est la probabilité qu'elle ait pris le bus ? Arrondir au centième.
d.On admet que les retards des différents jours sont indépendants. Sur 5 jours, $Y$ est le nombre de retards. Donner la loi de $Y$ , puis la probabilité que Léa soit en retard au moins une fois, arrondie au centième.

›Voir le corrigé

a. Premier niveau : $B$ (0,7) et $\overline{B}$ (0,3). Second niveau : après $B$ , $R$ (0,1) et $\overline{R}$ (0,9) ; après $\overline{B}$ , $R$ (0,05) et $\overline{R}$ (0,95). Les branches issues d'un même nœud ont pour somme 1.
b. Formule des probabilités totales, avec la partition $B$ , $\overline{B}$ : $P (R) = 0, 7 \times 0, 1 + 0, 3 \times 0, 05 = 0, 07 + 0, 015 = 0, 085$
c. On cherche $P_{R} (B) = \frac{P ( B \cap R )}{P ( R )}$ : $\frac{0 , 07}{0 , 085} = \frac{14}{17} \approx 0, 82$
d. Chaque jour est une épreuve de Bernoulli de succès « retard », $p = 0, 085$ , répétée 5 fois de façon indépendante : $Y$ suit $B (5; 0, 085)$ . Au moins un retard : $P (Y ⩾ 1) = 1 - 0, 91 5^{5} \approx 0, 36$
Conclusion : $P (R) = 0, 085$ , $P_{R} (B) \approx 0, 82$ , et Léa a environ 36 % de risque d'être en retard au moins une fois en 5 jours.

Repérer l'erreur. On lance 6 fois une pièce équilibrée ; le nombre $X$ de « pile » suit $\mathcal{B}(6\,;0{,}5)$. Pour chaque affirmation d'un élève, expliquer l'erreur et corriger.

Communiquer

a.« $P (X = 2) = 0, 5^{2} \times 0, 5^{4} = \frac{1}{64}$ . »
b.« $P (X ⩾ 2) = 1 - P (X ⩽ 2)$ . »
c.« $P (X = 3) = \frac{1}{2}$ , puisque 3 est la moitié de 6. »

›Voir le corrigé

a. $0, 5^{2} \times 0, 5^{4}$ est la probabilité d'un chemin à deux « pile ». Il y en a $(2 6) = 15$ : $15 \times 0, 5^{6} = \frac{15}{64}$
b. Le contraire de ${X ⩾ 2}$ est ${X ⩽ 1}$ : l'élève retire à tort la valeur 2. Avec $P (X = 0) = \frac{1}{64}$ et $P (X = 1) = \frac{6}{64}$ : $P (X ⩾ 2) = 1 - \frac{1 + 6}{64} = \frac{57}{64}$
c. Une probabilité ne se lit pas sur le milieu des valeurs. Avec $(3 6) = 20$ : $P (X = 3) = 20 \times 0, 5^{6} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$
Conclusion : $P (X = 2) = \frac{15}{64}$ , $P (X ⩾ 2) = \frac{57}{64}$ et $P (X = 3) = \frac{5}{16} = 0, 3125$ : obtenir exactement 3 « pile » arrive moins d'une fois sur trois.

Deux paris. Pari A : obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois un dé équilibré. Pari B : obtenir au moins un double six en lançant 24 fois deux dés équilibrés. Les lancers sont indépendants.

Chercher

a.Calculer la probabilité de gagner le pari A, arrondie au millième.
b.Même question pour le pari B. Quel pari est le plus avantageux ?
c.Combien de lancers de deux dés faut-il, au minimum, pour que la probabilité d'obtenir au moins un double six dépasse 0,5 ?

›Voir le corrigé

a. Le nombre de 6 suit $B (4; \frac{1}{6})$  ; on gagne s'il vaut au moins 1 : $1 - (\frac{5}{6})^{4} = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0, 518$
b. Deux dés donnent un double six avec la probabilité $\frac{1}{36}$  ; le nombre de doubles six suit $B (24; \frac{1}{36})$ : $1 - (\frac{35}{36})^{24} \approx 0, 491$
Le pari A est gagné plus d'une fois sur deux, le pari B moins d'une fois sur deux : A est plus avantageux.
c. On cherche le plus petit $n$ tel que $(\frac{35}{36})^{n} < 0, 5$ , soit $n ln \frac{35}{36} < ln 0, 5$ . Comme $ln \frac{35}{36} < 0$ , on divise en changeant le sens : $n > \frac{l n 0 , 5}{l n \frac{35}{36}} \approx 24, 6$
Contrôle : $1 - (\frac{35}{36})^{25} \approx 0, 506$ , alors que la valeur pour 24 lancers est 0,491. Conclusion : il faut au moins 25 lancers.

Surréservation. Un avion compte 100 places. Chaque personne ayant acheté un billet se présente à l'embarquement avec la probabilité 0,92, indépendamment des autres. La compagnie vend 105 billets ; $X$ est le nombre de personnes qui se présentent. Valeurs de $P(X \leqslant k)$ arrondies au dix-millième : 0,7440 pour $k = 98$ ; 0,8537 pour 99 ; 0,9294 pour 100 ; 0,9725 pour 101 ; 0,9919 pour 102.

Modéliser

a.Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b.Calculer la probabilité qu'au moins une personne se présente sans pouvoir embarquer.
c.Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P (X > k) ⩽ 0, 05$ . Interpréter.
d.Pour 104 billets vendus, on admet que $P (X > 100) \approx 0, 029$ . La compagnie veut un risque d'au plus 5 % de refuser quelqu'un. Peut-elle vendre 105 billets ? Et 104 ?

›Voir le corrigé

a. Chaque billet donne une épreuve de Bernoulli de succès « la personne se présente », de probabilité 0,92 ; les 105 épreuves sont identiques et indépendantes, et $X$ compte les succès : $X$ suit $B (105; 0, 92)$ .
b. On refuse quelqu'un si plus de 100 personnes se présentent : $P (X > 100) = 1 - P (X ⩽ 100) \approx 1 - 0, 9294 = 0, 0706$
c. $P (X > 100) \approx 0, 0706 > 0, 05$ , tandis que : $P (X > 101) \approx 1 - 0, 9725 = 0, 0275$ $0, 0275 ⩽ 0, 05$ , et pour $k ⩽ 100$ , $P (X > k) ⩾ P (X > 100) > 0, 05$ : le plus petit entier est $k = 101$ , valeur que renvoie seuil(105, 0.92, 0.05).
Interprétation : avec une probabilité d'au moins 0,95, au plus 101 personnes se présentent ; ce seuil dépasse les 100 places.
d. Avec 105 billets, le risque vaut environ $0, 071 > 0, 05$ : c'est non. Avec 104 billets, il vaut environ $0, 029 ⩽ 0, 05$ : c'est possible.
Conclusion : la compagnie peut vendre 104 billets, mais pas 105.

Algorithmique. On reprend les fonctions `bernoulli`, `binomiale` et `echantillon` du cours. Sur une planche de Galton à $n$ rangées de clous, la bille part à droite avec la probabilité 0,5 à chaque clou ; sa case, numérotée de 0 à $n$, est le nombre de rebonds à droite.

Calculer

a.Expliquer pourquoi binomiale(4, 0.5) simule la case d'une bille sur une planche à 4 rangées. Quelle est la loi de cette case ?
b.Calculer la probabilité qu'une bille tombe dans la case 2.
c.On exécute L = echantillon(1000, 4, 0.5), puis L.count(2). Autour de quelle valeur est le résultat ? Pourquoi change-t-il d'une exécution à l'autre ?
d.Écrire une fonction frequences(L, n) qui renvoie la liste des fréquences des cases 0 à $n$ dans la liste L.

›Voir le corrigé

a. Chaque clou est une épreuve de Bernoulli (succès : « droite », probabilité 0,5) et les rebonds sont indépendants. binomiale(4, 0.5) additionne 4 appels de bernoulli(0.5) : elle compte les rebonds à droite. La case suit $B (4; 0, 5)$ .
b. Avec $(2 4) = 6$ chemins : $6 \times 0, 5^{4} = \frac{6}{16} = 0, 375$
c. L.count(2) est le nombre de billes, sur 1 000, tombées en case 2 : il est proche de $1000 \times 0, 375 = 375$ . Chaque exécution tire de nouveaux nombres au hasard : l'échantillon, donc le compte, varie.
d. def frequences(L, n): puis return [L.count(k) / len(L) for k in range(n + 1)]. Pour $n = 4$ , les fréquences sont proches de $\frac{1}{16}$ , $\frac{4}{16}$ , $\frac{6}{16}$ , $\frac{4}{16}$ et $\frac{1}{16}$ .
Conclusion : la case suit $B (4; 0, 5)$  ; la simulation retrouve approximativement ses probabilités, sans jamais les donner exactement.

Optimiser une probabilité. Soit $n \geqslant 2$ un entier. Pour $p \in [0\,;1]$, $X$ suit $\mathcal{B}(n, p)$, et l'on pose $f(p) = P(X = 1)$.

Raisonner

a.Montrer que $f (p) = n p (1 - p)^{n - 1}$ .
b.Montrer que, pour tout $p \in [0; 1]$ , $f^{'} (p) = n (1 - p)^{n - 2} (1 - n p)$ .
c.En déduire la valeur de $p$ pour laquelle la probabilité d'obtenir exactement un succès est maximale, et ce maximum.
d.Application : dans un lot de 10 pièces, chacune est défectueuse avec la probabilité $p$ , indépendamment des autres. Pour quelle valeur de $p$ la probabilité d'avoir exactement une pièce défectueuse est-elle maximale ? Donner ce maximum au millième.

›Voir le corrigé

a. Avec $(1 n) = n$ : $f (p) = n p^{1} (1 - p)^{n - 1} = n p (1 - p)^{n - 1}$ .
b. $f = u \times v$ avec $u (p) = n p$ et $v (p) = (1 - p)^{n - 1}$ , de dérivée $v^{'} (p) = - (n - 1) (1 - p)^{n - 2}$ . Donc $f^{'} (p) = n (1 - p)^{n - 1} - n (n - 1) p (1 - p)^{n - 2}$ .
On factorise par $n (1 - p)^{n - 2}$ : $f^{'} (p) = n (1 - p)^{n - 2} [(1 - p) - (n - 1) p] = n (1 - p)^{n - 2} (1 - n p)$ .
c. Sur $[0; 1 [$ , $n (1 - p)^{n - 2} > 0$ : $f^{'} (p)$ a le signe de $1 - n p$ , positif avant $\frac{1}{n}$ et négatif après. $f$ croît sur $[0; \frac{1}{n}]$ puis décroît sur $[\frac{1}{n}; 1]$ : son maximum, atteint en $p = \frac{1}{n}$ , vaut $(1 - \frac{1}{n})^{n - 1}$ .
d. Ici $n = 10$ : le maximum est atteint pour $p = 0, 1$ , et il vaut : $10 \times 0, 1 \times 0, 9^{9} = 0, 9^{9} \approx 0, 387$
Conclusion : la probabilité d'exactement un succès est maximale pour $p = \frac{1}{n}$  ; pour un lot de 10 pièces, c'est un taux de défaut de 10 %, et elle vaut alors environ 0,387.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Justifier un schéma de Bernoulli et une loi binomiale, paramètres compris4 ptsPerdu si : « $X$ suit une loi binomiale » sans les conditions ; $n$ ou $p$ absents ; une loi binomiale appliquée à des tirages sans remise
Arbre pondéré et formule des probabilités totales3 ptsPerdu si : Des pondérations du second niveau qui ne sont pas conditionnelles ; un chemin oublié dans la somme
Calculer $P(X = k)$4 ptsPerdu si : Le coefficient $\binom{n}{k}$ oublié ; les exposants $k$ et $n - k$ échangés
$P(X \leqslant k)$, $P(X \geqslant k)$, $P(k \leqslant X \leqslant k')$4 ptsPerdu si : $P(X \geqslant k)$ calculé par $1 - P(X \leqslant k)$ ; une borne d'intervalle décalée d'une unité
Résoudre un problème de seuil, de comparaison ou d'optimisation3 ptsPerdu si : L'inégalité non retournée après division par un logarithme négatif ; une conclusion sans entier ou sans phrase
Simuler et lire un algorithme2 ptsPerdu si : Confondre une fréquence simulée et une probabilité ; une boucle qui cumule mal $P(X \leqslant k)$

La méthode

Reconnaître une loi binomiale

1
Identifier une épreuve à deux issues, succès ou échec.
2
Vérifier qu'elle est répétée n fois de façon identique et indépendante.
3
Préciser p, la probabilité du succès.
4
Conclure : X, nombre de succès, suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Se tester

Touches 1 à 4

Les questions spécifiques à ce chapitre arrivent. En attendant, voici des questions de Mathématiques Terminale.

MathématiquesTerminale

Question 1

Un coureur de 400 m effectue un sprint dont la vitesse est modélisée par

v(t) = 8 - 0.5t

m/s où

t

est le temps en secondes. La distance parcourue entre

t=0

s et

t=4

s est donnée par

\int_0^4 v(t) dt

. Quelle est la distance totale parcourue par le coureur pendant cet intervalle ?

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Questions fréquentes

Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Terminale, année du Baccalauréat. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli ?

Programme de spécialité de terminale (2019), sous-thème Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli : univers produit, loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli, loi binomiale, espérance, variance et écart type. Les notions à maîtriser sont : loi binomiale, schéma de Bernoulli, épreuve de Bernoulli, épreuves indépendantes, coefficient binomial, espérance.

Où télécharger la fiche PDF de Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 10 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli peut-il tomber au Baccalauréat ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de Terminale, il entre donc dans le périmètre du Baccalauréat. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Comment réviser Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Notions voisines

Les chapitres qui traitent des mêmes notions, ici ou dans une autre année.

1re

Probabilités — Loi binomiale

1re

Conditionnement — Probabilité conditionnelle, arbres, indépendance

Tle

Sommes de variables — Espérance, variance, échantillons

La calculatrice du lycée, avec mode examen

Au lycée, la calculatrice des examens doit avoir le mode examen. Vérifiez le modèle conseillé par le professeur de mathématiques.

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Pour réviser le bac

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Notions à maîtriser

Réviser

1Succession d'épreuves, arbres et indépendance

Modéliser une succession d'épreuves

2Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

Reconnaître un schéma de Bernoulli

3La loi binomiale

Calculer avec une loi binomiale

4Seuils, intervalles et algorithmes

Résoudre un problème de seuil ou d'intervalle

Simuler un schéma de Bernoulli en Python

Imprimer

Fiche PDF — Loi binomiale — Épreuves indépendantes et Bernoulli

Exercices corrigés

Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui, donner ses paramètres ; sinon, dire quelle condition manque.

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;0{,}2)$. Donner les résultats sous forme décimale exacte.

Chaque matin, Léa prend le bus avec la probabilité 0,7, et sinon son vélo. En bus, elle arrive en retard avec la probabilité 0,1 ; à vélo, avec la probabilité 0,05. On note $B$ « Léa prend le bus » et $R$ « Léa est en retard ».

Repérer l'erreur. On lance 6 fois une pièce équilibrée ; le nombre $X$ de « pile » suit $\mathcal{B}(6\,;0{,}5)$. Pour chaque affirmation d'un élève, expliquer l'erreur et corriger.

Deux paris. Pari A : obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois un dé équilibré. Pari B : obtenir au moins un double six en lançant 24 fois deux dés équilibrés. Les lancers sont indépendants.

Algorithmique. On reprend les fonctions `bernoulli`, `binomiale` et `echantillon` du cours. Sur une planche de Galton à $n$ rangées de clous, la bille part à droite avec la probabilité 0,5 à chaque clou ; sa case, numérotée de 0 à $n$, est le nombre de rebonds à droite.

Optimiser une probabilité. Soit $n \geqslant 2$ un entier. Pour $p \in [0\,;1]$, $X$ suit $\mathcal{B}(n, p)$, et l'on pose $f(p) = P(X = 1)$.

La méthode

Se tester

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Questions fréquentes

Notions voisines

La calculatrice du lycée, avec mode examen

Pour réviser le bac

Dans chaque cas, dire si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Si oui, donner ses paramètres ; sinon, dire quelle condition manque.

Chaque matin, Léa prend le bus avec la probabilité 0,7, et sinon son vélo. En bus, elle arrive en retard avec la probabilité 0,1 ; à vélo, avec la probabilité 0,05. On note $B$ « Léa prend le bus » et $R$ « Léa est en retard ».

Repérer l'erreur. On lance 6 fois une pièce équilibrée ; le nombre $X$ de « pile » suit $\mathcal{B}(6\,;0{,}5)$. Pour chaque affirmation d'un élève, expliquer l'erreur et corriger.

Algorithmique. On reprend les fonctions `bernoulli`, `binomiale` et `echantillon` du cours. Sur une planche de Galton à $n$ rangées de clous, la bille part à droite avec la probabilité 0,5 à chaque clou ; sa case, numérotée de 0 à $n$, est le nombre de rebonds à droite.