Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Médiatrice et triangles — Cercle circonscrit, somme des angles

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Deux maisons, un seul banc à placer à la même distance de chacune : où le poser ? La réponse tient en une droite, la médiatrice. Ce chapitre réunit les deux grands sujets de la géométrie de 6^e, les distances et les angles, autour de deux phrases : un point de la médiatrice de $[A B]$ est à égale distance de $A$ et de $B$  ; dans tout triangle, la somme des trois angles vaut 180°.

La médiatrice d'un segment

Définition — médiatrice d'un segment :

Propriété

Construire la médiatrice au compas

Exemple

$M$ est un point de la médiatrice de $[A B]$ , avec $M A = 4, 5$ cm. Que vaut $M B$  ? Et un point $N$ tel que $N A = 3$ cm et $N B = 3, 5$ cm est-il sur cette médiatrice ?

Résultat :

Piège

Tracer la perpendiculaire à $[A B]$ qui passe par $A$ , ou une droite qui passe par le milieu « à peu près droite », et l'appeler médiatrice.

coder les deux sur la figure : les traits égaux et l'angle droit.

Piège

Changer l'écartement du compas entre la pointe en $A$ et la pointe en $B$ , ou prendre moins de la moitié de $A B$ .

régler le compas une seule fois, assez grand, puis ne plus y toucher.

Piège

Écrire «  $P A = 4$ cm, donc $P$ est sur la médiatrice de $[A B]$  ».

chercher l'égalité complète $P A = P B$ avant de conclure.

La somme des angles d'un triangle

Propriété

13.

Calculer le troisième angle

Exemple

Dans le triangle $A B C$ , $A = 47°$ et $B = 68°$ . Calcule $C$ .

Résultat :

Propriété

19.

Exemple

$A B C$ est isocèle en $A$ avec $A = 40°$ . Calcule $B$ et $C$ . Puis : $E F G$ est rectangle en $G$ avec $E = 28°$  ; calcule $F$ .

Résultat :

Exemple

Construire le triangle $A B C$ tel que $A B = 6$ cm, $A = 50°$ et $C = 70°$ .

Résultat :

Piège

Triangle isocèle en $A$ , $A = 40°$  : écrire «  $B = 180 - 40 = 140°$  ».

nommer le sommet principal, puis diviser par 2 ce qui reste.

Piège

Dans un triangle rectangle, calculer $180 - 35 = 145$ pour le troisième angle.

écrire les trois angles avant de calculer.

Piège

Mesurer au rapporteur un angle demandé « par le calcul », sur une figure à main levée.

calculer avec 180°, puis vérifier que la somme des trois angles fait 180.

Les médiatrices d'un triangle et le cercle circonscrit

Propriété

Définition — cercle circonscrit :

Construire le cercle circonscrit

32.

Exemple

Trois villages $A$ , $B$ et $C$ veulent un château d'eau à la même distance de chacun d'eux. Où le placer ?

Résultat :

Piège

Placer le centre « au milieu » du triangle à vue d'œil, ou prendre comme rayon la distance de $O$ au milieu d'un côté.

deux médiatrices au compas, la troisième en contrôle, puis le compas de $O$ jusqu'à $A$  ; vérifier en $B$ et en $C$ .

Médiatrice : le milieu et l'angle droit, codés ?
Au compas : le même écartement en $A$ et en $B$  ?
Pour justifier qu'un point est sur la médiatrice : l'égalité complète $M A = M B$ est écrite ?
Un angle demandé : calculé avec 180°, la propriété citée, pas mesuré ?
Cercle circonscrit : deux médiatrices, le centre $O$ , le rayon jusqu'à un sommet ?

Corrigé · à détacher

Médiatrice et triangles — Cercle circonscrit, somme des angles

1. La médiatrice du segment $[A B]$ est la droite qui passe par le milieu de $[A B]$ et qui est perpendiculaire à $[A B]$ . Deux conditions, toujours ensemble : le milieu et l'angle droit. On les code sur la figure : petits traits égaux, carré de l'angle droit.
2. $(d)$ est la médiatrice de $[A B]$  : $I$ milieu, angle droit. Le point $M$ de $(d)$ est aussi loin de $A$ que de $B$ .
3. Propriété caractéristique. Si un point est sur la médiatrice de $[A B]$ , alors il est à égale distance de $A$ et de $B$ . Et inversement : si un point est à égale distance de $A$ et de $B$ , alors il est sur la médiatrice de $[A B]$ . Autrement dit, la médiatrice de $[A B]$ est l'ensemble de tous les points situés à la même distance de $A$ et de $B$ . On le voit en pliant la feuille le long de la médiatrice : $A$ vient sur $B$ , donc $[M A]$ vient sur $[M B]$ .
4. Écarter le compas d'une longueur $r$ nettement plus grande que la moitié de $A B$ . Pointe en $A$  : tracer un arc au-dessus et un arc au-dessous de $[A B]$ .
5. Sans changer l'écartement, pointe en $B$  : tracer deux arcs qui coupent les premiers, en $P$ et en $Q$ .
6. Tracer la droite $(P Q)$  : c'est la médiatrice. Pourquoi ? $P A = P B = r$ et $Q A = QB = r$  : $P$ et $Q$ sont à égale distance de $A$ et de $B$ , donc tous deux sur la médiatrice ; et deux points suffisent pour tracer une droite.
7. Le même écartement $r$ des deux côtés : c'est ce qui place $P$ et $Q$ à égale distance de $A$ et de $B$ . Autre méthode, aux instruments : placer le milieu à la règle graduée, puis tracer la perpendiculaire à l'équerre.
8. $M$ est sur la médiatrice de $[A B]$ , donc il est à égale distance de $A$ et de $B$  : $M B = M A = 4, 5$ cm.
9. $N A$ et $N B$ ne sont pas égales : $N$ n'est pas à égale distance de $A$ et de $B$ , donc il n'est pas sur la médiatrice.
10. $M B = 4, 5$ cm, sans mesurer ; $N$ n'est pas sur la médiatrice de $[A B]$ .
11. Dans tout triangle $A B C$ , la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. On note $A$ l'angle du triangle de sommet $A$ , c'est-à-dire $B A C$ . On l'admet en 6^e : on le constate en mesurant les angles au rapporteur, ou en découpant les trois coins d'un triangle de papier et en les plaçant côte à côte. La démonstration viendra en 5^e.
12. $A + B + C = 18 0^{\circ}$
13. Quel que soit le triangle, ses trois coins mis bout à bout forment un angle plat.
14. Écrire la propriété : « dans le triangle $A B C$ , la somme des angles vaut 180° ».
15. Retirer de 180 les deux mesures connues ; conclure par une phrase, avec l'unité, le degré.
16. Dans le triangle $A B C$ , la somme des angles vaut 180°, donc, en degrés :
17. $C = 65°$ . Contrôle : $47 + 68 + 65 = 180$ .
18. Les triangles particuliers. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme 90°, puisque l'angle droit prend déjà 90° sur 180°. Dans un triangle isocèle en $A$ ( $A$ est le sommet principal, $[B C]$ la base), les deux angles à la base $B$ et $C$ ont la même mesure : la médiatrice de la base est un axe de symétrie du triangle. Inversement, un triangle qui a deux angles de même mesure est isocèle. Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.
19. Le codage dit la nature du triangle ; la nature donne des angles sans mesurer.
20. Les deux angles à la base se partagent ce qui reste de 180°, en degrés :
21. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié :
22. Dans $E F G$ , rectangle en $G$ , $E$ et $F$ ont pour somme 90° :
23. $B = C = 70°$  ; $F = 62°$ .
24. On ne peut pas tracer $C$ tant que $C$ n'existe pas. On calcule donc l'autre angle posé sur $[A B]$ , en degrés :
25. On trace $[A B]$ , l'angle de 50° en $A$ et l'angle de 60° en $B$ au rapporteur ; les deux côtés se coupent en $C$ .
26. un triangle avec $B = 60°$  ; au rapporteur, on contrôle $C = 70°$ .
27. Les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes : elles passent par un même point, souvent noté $O$ . On l'admet en 6^e ; on le constate sur chaque figure construite avec soin.
28. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre est le point $O$ où se coupent les médiatrices. En effet, $O$ est sur la médiatrice de $[A B]$ , donc $O A = O B$  ; il est sur celle de $[B C]$ , donc $O B = O C$ . Ainsi $O A = O B = O C$  : le cercle de centre $O$ et de rayon $O A$ passe par $A$ , $B$ et $C$ .
29. Construire au compas la médiatrice de deux côtés, par exemple $[A B]$ et $[B C]$ .
30. Leur point d'intersection est le centre $O$ . Contrôle : la troisième médiatrice passe aussi par $O$ .
31. Pointe du compas en $O$ , écartement jusqu'à un sommet : tracer le cercle. Il doit passer par les trois sommets.
32. À gauche, la construction complète. À droite, un triangle à angle obtus : le centre $O$ n'est pas toujours à l'intérieur du triangle.
33. À égale distance de $A$ et de $B$  : sur la médiatrice de $[A B]$ . À égale distance de $B$ et de $C$  : sur la médiatrice de $[B C]$ .
34. Le point qui est sur les deux est leur intersection $O$ , le centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .
35. au centre $O$ du cercle circonscrit à $A B C$ , et nulle part ailleurs.