Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

En algèbre, on raisonne sur des nombres qu'on ne connaît pas encore. Au lieu de calculer tout de suite, on regarde comment les quantités sont liées : « Mia a 8 billes de plus que Léo », « à chaque étape, on ajoute 3 allumettes ». Un schéma en barres ou un motif bien observé montre ces liens ; le calcul vient après, et il devient simple.

Le schéma en barres

Définition — schéma en barres :

Résoudre un problème avec un schéma en barres

Exemple

Léo et Mia ont 50 billes à eux deux. Mia a 8 billes de plus que Léo. Combien de billes chacun a-t-il ?

Résultat :

13.

Exemple

Sam a 3 fois plus de cartes que Lou. À eux deux, ils ont 48 cartes. Combien de cartes chacun a-t-il ?

Résultat :

19.

Piège

Partager le total en deux parts égales alors que l'un a plus que l'autre : « 50 ÷ 2 = 25, chacun a 25 billes ».

retirer d'abord l'écart du total, ensuite partager en barres égales. Puis vérifier les deux conditions.

Piège

« Sam a 3 fois plus que Lou, ensemble 48 » : calculer $48 \div 3 = 16$ .

compter toutes les barres du schéma avant de diviser.

Piège

Confondre « 8 de plus » et « 8 fois plus ».

dessiner le schéma avant de choisir une opération.

Les motifs évolutifs

Définition — motif évolutif :

21.

Trouver la structure d'un motif

26.

Exemple

Dans le motif des allumettes, combien faut-il d'allumettes pour l'étape 10 ? À quelle étape utilise-t-on 61 allumettes ?

Résultat :

La règle s'écrit d'abord en mots : « nombre d'allumettes = 1 + 3 × numéro de l'étape ». On peut abréger « numéro de l'étape » par une lettre, par exemple $n$  : $1 + 3 \times n$ . La lettre remplace seulement un mot ; on apprendra à calculer avec les lettres au cycle 4.

Exemple

Dans le motif des carrés de points, combien y a-t-il de points à l'étape 5 ? à l'étape 10 ?

Résultat :

37.

Piège

« L'étape 2 a 7 allumettes, donc l'étape 10 en a $5 \times 7 = 35$ . »

passer par la structure, puis vérifier la règle sur une étape dessinée.

Piège

Oublier ce qui ne change pas : « 3 allumettes par carré, donc $3 \times 10 = 30$ ».

tester la règle sur l'étape 1 : elle doit redonner le dessin.

Piège

Croire qu'on ajoute toujours le même nombre : « de 1 à 4, on ajoute 3, donc l'étape 3 a $4 + 3 = 7$ points ».

calculer les ajouts entre toutes les étapes données avant de conclure.

Ai-je dessiné une barre par quantité, de même longueur pour des quantités égales ?
Ai-je retiré l'écart avant de partager, et compté toutes les barres avant de diviser ?
Ai-je rangé les premières étapes d'un motif dans un tableau, et vérifié la régularité sur plusieurs étapes ?
Ai-je démonté une étape pour trouver ce qui ne change pas et ce qui se répète ?
Ai-je testé ma règle sur une étape dessinée, et vérifié chaque réponse dans l'énoncé ?

Corrigé · à détacher

Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre

1. Un schéma en barres représente chaque quantité par une barre. Deux quantités égales ont des barres de même longueur ; une quantité plus grande a une barre plus longue. Une accolade regroupe des barres et porte leur total. Un nombre inconnu s'écrit « ? » ou avec un mot : on n'a pas besoin de sa valeur pour le dessiner.
2. Les deux schémas de base. À gauche, deux parties forment un tout ; à droite, on compare deux quantités : la grande, c'est la petite plus l'écart.
3. Lire l'énoncé et repérer les quantités : lesquelles sont connues ? laquelle est inconnue ?
4. Dessiner une barre par quantité, de même longueur pour des quantités égales. Écrire sur le schéma les nombres connus : le total sur une accolade, l'écart sur un morceau de barre.
5. Raisonner sur le schéma : retirer l'écart du total, partager en barres égales, puis calculer.
6. Répondre par une phrase, puis vérifier que les nombres trouvés respectent toutes les conditions de l'énoncé.
7. On dessine : une barre pour Léo ; pour Mia, la même barre et un morceau de 8. L'accolade porte 50.
8. On retire les 8 billes en trop : il reste deux barres égales.
9. On partage en deux barres égales : c'est la part de Léo.
10. Mia a 8 billes de plus que Léo.
11. Vérification : $21 + 29 = 50$ , et $29 - 21 = 8$ . Les deux conditions sont respectées.
12. Léo a 21 billes et Mia en a 29.
13. Le schéma est à l'échelle. Une fois le morceau de 8 retiré, il reste deux barres égales qui valent 42 à elles deux, soit 21 chacune.
14. « 3 fois plus » : Lou a 1 barre, Sam en a 3 identiques. En tout, il y a $1 + 3 = 4$ barres égales, qui valent 48 cartes.
15. Une barre vaut donc :
16. Sam a 3 barres :
17. Vérification : $12 + 36 = 48$ et $36 = 3 \times 12$ .
18. Lou a 12 cartes et Sam en a 36.
19. « 3 fois plus » : trois barres pour Sam, une pour Lou, toutes de la même longueur.
20. Un motif évolutif est une suite de figures numérotées : l'étape 1, l'étape 2, l'étape 3… Une régularité dit ce qui change d'une étape à la suivante (« on ajoute 3 allumettes »). La structure dit comment est faite n'importe quelle étape (« 1 allumette, plus 3 par carré »).
21. On ajoute un carré à chaque étape. Il suffit de 3 allumettes de plus (en bleu), car le carré s'appuie sur le côté du précédent.
22. Compter les éléments des premières étapes et les ranger dans un tableau.
23. Repérer la régularité : combien en ajoute-t-on d'une étape à la suivante ? Est-ce toujours le même nombre ?
24. Démonter une étape : séparer ce qui ne change jamais et ce qui se répète autant de fois que le numéro de l'étape.
25. Écrire la règle en mots, l'appliquer à une étape lointaine, puis la vérifier sur une étape dessinée.
26. Une allumette de départ, puis un groupe de 3 par carré. L'étape 10 a 10 carrés, donc 10 groupes.
27. Régularité : 4, 7, 10, 13 : on ajoute 3 à chaque étape. Structure : 1 allumette de départ, puis 3 allumettes par carré, et l'étape 10 a 10 carrés.
28. Vérification sur l'étape 3, dessinée : $1 + 3 \times 3 = 10$ . C'est bien le bon nombre.
29. Pour 61 allumettes, on enlève l'allumette de départ : il reste les groupes de 3.
30. On cherche combien de groupes de 3 il y a dans 60 : c'est le nombre de carrés, donc le numéro de l'étape.
31. Vérification : $1 + 3 \times 20 = 61$ .
32. Il faut 31 allumettes à l'étape 10, et 61 allumettes correspondent à l'étape 20.
33. Structure : l'étape 5 est un carré de 5 lignes de 5 points.
34. Contrôle par la régularité : on ajoute 3, 5, 7, puis 9 points.
35. L'étape 10 est un carré de 10 lignes de 10 points.
36. Il y a 25 points à l'étape 5 et 100 points à l'étape 10.
37. On ajoute 3, puis 5, puis 7 points (en bleu) : pas toujours le même nombre. La structure, elle, reste simple : un carré.