Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Mesurer des angles — Rapporteur et bissectrice

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Un angle, c'est l'ouverture entre deux demi-droites qui partent du même point : la longueur des traits ne compte pas. On le mesure en degrés avec un rapporteur, qui porte deux graduations en sens contraires. Tout le chapitre tient dans un geste : centre du rapporteur sur le sommet, zéro sur un côté, et l'on suit la graduation qui part de ce zéro.

Les angles : notations et vocabulaire

Définition — angle :

Règle

Reconnaître un angle sans le mesurer

Définition — adjacents, opposés par le sommet, supplémentaires :

Exemple

Les droites $(A C)$ et $(B D)$ se coupent en $O$ , et $A O B = 38°$ . Calculer $B O C$ , puis $C O D$ .

Résultat :

Piège

Écrire $O A B$ pour parler de l'angle de sommet $O$ .

repérer d'abord le sommet, l'écrire au milieu, puis un point de chaque côté.

Piège

Penser que l'angle aux côtés les plus longs est le plus grand.

comparer les ouvertures, pas les traits ; prolonger les côtés si besoin.

Piège

Écrire que deux angles sont supplémentaires « parce qu'ils sont adjacents », ou adjacents « parce qu'ils sont supplémentaires ».

pour « supplémentaires », faire l'addition ; pour « adjacents », vérifier sommet, côté commun et position de part et d'autre.

Le rapporteur : mesurer et construire

Définition — rapporteur :

Mesurer un angle

19.

Exemple

Sur le rapporteur de droite, le côté $[O x)$ part vers la gauche. Mesurer $x O y$ .

Résultat :

Construire un angle de mesure donnée

27.

Piège

Lire 130° pour un angle aigu de 50° : le nombre vient de l'autre graduation.

poser le doigt sur le 0 du côté, suivre ses nombres, puis vérifier avec l'estimation : aigu, moins de 90 ; obtus, plus de 90.

Piège

Poser le bord du rapporteur le long du côté, ou son centre à côté du sommet.

centre d'abord, sur le sommet ; puis faire tourner l'instrument autour de ce point jusqu'à ce que la ligne du zéro passe par le côté.

Piège

Pour construire $A B C$ , poser le centre du rapporteur en $A$ .

souligner la lettre du milieu avant de prendre le rapporteur.

La bissectrice d'un angle

Définition — bissectrice :

29.

Tracer la bissectrice

Exemple

Au coin d'un cadre, deux baguettes forment un angle droit, et le joint suit sa bissectrice. Quel angle le joint forme-t-il avec chaque baguette ?

Résultat :

Piège

Au compas, pointer en $A$ et $B$ pris à des distances différentes de $O$ , par exemple aux bouts des côtés tracés.

placer $A$ et $B$ avec un seul arc de centre $O$ , sans toucher à l'écartement.

Piège

Sachant que $[O z)$ est la bissectrice et que $x O z = 38°$ , écrire $x O y = 19°$ .

se demander qui est la moitié de qui : l'angle entier est toujours le plus grand.

La lettre du sommet est-elle au milieu de la notation ?
Ai-je estimé l'angle (aigu, droit, obtus) avant de le mesurer ou de le construire ?
Centre sur le sommet, ligne du zéro sur un côté, lecture depuis le 0 de ce côté ?
Bissectrice : deux angles de même mesure, codés de la même marque ? Au compas, $O A = O B$  ?

Corrigé · à détacher

Mesurer des angles — Rapporteur et bissectrice

1. Deux demi-droites $[O x)$ et $[O y)$ de même origine $O$ forment un angle. Le point $O$ est son sommet ; les deux demi-droites sont ses côtés. On le note $x O y$ , ou $A O B$ si $A$ est sur un côté et $B$ sur l'autre : la lettre du sommet est toujours au milieu, sous le chapeau. $A O B$ et $B O A$ désignent le même angle. Les deux côtés partagent le plan en deux parties ; sauf mention contraire, $x O y$ désigne la plus petite, l'angle saillant.
2. Le sommet, les côtés, la notation ; dans le triangle, $A B C$ est l'angle de sommet $B$ . Des côtés plus longs ne changent pas l'angle.
3. Un angle se mesure en degrés (°) : l'angle droit mesure 90°, et partagé en 90 angles égaux il donne l'angle de 1°. On écrit $A O B = 50°$  ; deux angles de même mesure se codent par la même marque. Selon sa mesure, un angle est nul (0° : côtés confondus), aigu (plus de 0° et moins de 90°), droit (90°), obtus (plus de 90° et moins de 180°), plat (180° : côtés dans le prolongement l'un de l'autre) ou plein (360° : un tour complet).
4. Les six angles à connaître. Le petit carré code l'angle droit.
5. Repérer le sommet : c'est le point d'où partent les deux côtés, la lettre du milieu dans la notation.
6. Le comparer au coin de l'équerre : plus fermé, il est aigu ; plus ouvert, obtus ; exactement le coin, droit. Côtés alignés de part et d'autre du sommet : plat.
7. Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun, et s'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre : deux droites qui se coupent en forment deux paires. Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures vaut 180° : c'est le cas de deux angles adjacents qui forment un angle plat.
8. Adjacents : une question de position. Supplémentaires : une question de somme. Opposés par le sommet : même marque, même mesure.
9. $A$ , $O$ , $C$ sont alignés : $A O C$ est plat. Les angles adjacents $A O B$ et $B O C$ le forment, donc ils sont supplémentaires. En degrés :
10. $B$ , $O$ , $D$ sont alignés : $B O C$ et $C O D$ forment l'angle plat $B O D$ . En degrés :
11. $A O B$ et $C O D$ sont opposés par le sommet : tous deux valent 180° moins $B O C$ , donc ils sont égaux. C'est vrai pour toute paire d'angles opposés par le sommet : ils ont la même mesure.
12. $B O C = 142°$ et $C O D = 38°$ , la même mesure que $A O B$ .
13. Le rapporteur est un demi-disque gradué de 0° à 180°. Son centre est marqué sur la ligne du zéro, qui joint 0 et 180 et n'est pas toujours le bord. Il porte deux graduations en sens contraires, l'une à partir du 0 de droite, l'autre à partir du 0 de gauche : devant chaque trait, deux nombres de somme 180, comme 50 et 130.
14. Estimer d'abord : l'angle est-il aigu, droit ou obtus ?
15. Poser le centre du rapporteur exactement sur le sommet.
16. Faire passer la ligne du zéro par un côté. Si l'autre côté est trop court pour atteindre les graduations, le prolonger à la règle.
17. Partir du 0 qui est sur ce côté et suivre cette graduation jusqu'à l'autre côté : lire le nombre.
18. Contrôler avec l'estimation : un angle aigu mesure moins de 90°, un angle obtus plus de 90°.
19. Devant le côté $[O y)$ , deux nombres. Le bon est sur la graduation dont le 0 est sur $[O x)$ (entouré en vert).
20. Estimation : l'angle est plus ouvert que le coin de l'équerre, il est obtus.
21. $[O x)$ passe par le 0 de gauche, celui de la graduation extérieure. En la suivant, $[O y)$ passe devant 125 (l'autre graduation donne 55) : plus de 90°, c'est cohérent.
22. $x O y = 125°$ , un angle obtus.
23. Tracer un premier côté, par exemple $[O x)$ , à partir du sommet $O$ .
24. Poser le centre du rapporteur sur $O$ et la ligne du zéro sur $[O x)$ .
25. Partir du 0 qui est sur $[O x)$ , suivre cette graduation jusqu'à la mesure voulue et marquer un point $A$ en face.
26. Retirer le rapporteur, tracer $[O A)$ , coder l'angle et écrire sa mesure. Contrôler : aigu ou obtus, comme prévu ? L'angle peut se construire d'un côté ou de l'autre de $[O x)$ .
27. Construire $x O A = 35°$  : le point se marque en face du 35, sur la graduation qui part du 0 de $[O x)$ .
28. La bissectrice d'un angle saillant $x O y$ est la demi-droite $[O z)$ qui le partage en deux angles adjacents de même mesure. Chacun mesure donc la moitié de l'angle : $x O z = z O y = x O y \div 2$ .
29. 70° = 35° + 35°, même marque. Au compas, $O A = O B$  ; sinon, la demi-droite tracée s'écarte de la bissectrice (en pointillés).
30. Au rapporteur : mesurer l'angle, prendre la moitié de sa mesure, puis construire cet angle à partir de $[O x)$ , vers $[O y)$ .
31. Au compas : un arc de centre $O$ coupe $[O x)$ en $A$ et $[O y)$ en $B$ , avec le même écartement : $O A = O B$ .
32. Deux arcs de même rayon, assez grand, de centres $A$ et $B$ , se coupent en $C$ à l'intérieur de l'angle. La demi-droite $[O C)$ est la bissectrice.
33. La bissectrice partage l'angle droit en deux angles de même mesure. En degrés :
34. chaque baguette est coupée à 45° : c'est la « coupe d'onglet ».