Fiche à trous · 6ème · Mathématiques

Probabilités et hasard — Premiers calculs

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Au CM2, tu disais « 3 chances sur 10 ». En 6^e, ce résultat devient un nombre : la fraction $\frac{3}{10}$ , ou $0, 3$ , ou $30 %$ . Tout le chapitre tient en une règle : quand toutes les issues ont la même chance, la probabilité d'un évènement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues ; c'est toujours un nombre entre 0 et 1.

De « 3 chances sur 10 » à un nombre

Définition — expérience aléatoire, issue, évènement (rappel du CM2) :

Définition — équiprobabilité :

Règle

Calculer une probabilité

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Résultat :

Exemple

On tire au hasard une boule dans l'urne de la figure (3 rouges, 5 bleues, 2 vertes). Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? une boule qui n'est pas verte ?

Résultat :

Changer d'écriture. On cherche une fraction égale de dénominateur 10 ou 100 : $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0, 4 = 40 %$ . Ou bien on divise : $\frac{5}{8}$ , c'est $5 \div 8 = 0, 625$ , soit $62, 5 %$ . Certaines probabilités, comme $\frac{1}{6}$ ou $\frac{1}{3}$ , n'ont pas d'écriture décimale : on les laisse en fraction, ou on donne une valeur approchée ( $\frac{1}{6}$ vaut environ $0, 17$ , soit environ $17 %$ ).

Exemple

On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir un pile et un face ?

Résultat :

21.

Piège

Urne de 1 boule rouge et 3 bleues : « deux couleurs, donc une chance sur deux d'avoir la rouge ».

compter les objets (boules, faces, secteurs égaux), jamais les couleurs ou les noms : ici $\frac{1}{4}$ .

Piège

Écrire la fraction à l'envers : $\frac{10}{3}$ pour « 3 chances sur 10 ».

favorables en haut, toutes les issues en bas ; puis vérifier que le résultat est entre 0 et 1.

Piège

Écrire $\frac{3}{10} = 3, 10$ , ou $\frac{1}{4} = 0, 4$ .

passer par une fraction de dénominateur 10 ou 100, ou diviser le haut par le bas.

Une probabilité est un nombre entre 0 et 1

Propriété

24.

Exemple

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ? d'obtenir un nombre plus petit que 7 ?

Résultat :

Comparer deux probabilités

Exemple

Sac A : 2 billes gagnantes sur 5 billes. Sac B : 3 billes gagnantes sur 10. Dans quel sac vaut-il mieux tirer ?

Résultat :

Piège

« Le sac B a 3 billes gagnantes, le sac A seulement 2 : B est meilleur. »

toujours diviser par le total avant de comparer.

Piège

« La probabilité est $0, 01$ : ça n'arrivera jamais. »

seule la probabilité 0 veut dire « impossible ».

Répéter l'expérience : fréquence et probabilité

Définition — fréquence :

Propriété

38.

Comparer des résultats à une probabilité

Exemple

Zoé lance 50 fois un dé et obtient 9 fois le 6. Compare la fréquence du 6 à sa probabilité.

Résultat :

Piège

« Sur 10 lancers, j'ai eu 7 piles : la probabilité d'obtenir pile est $0, 7$ . »

« fréquence » pour ce qu'on a observé, « probabilité » pour ce qu'on a calculé.

Piège

« Après cinq piles de suite, face est en retard : elle a plus de chances de sortir. »

chaque lancer repart de zéro.

Piège

« Sur 20 lancers, j'ai eu 13 piles au lieu de 10 : la pièce est truquée. »

ne soupçonner un trucage qu'après un grand nombre d'essais.

Les issues ont-elles toutes la même chance ?
Ai-je compté les objets (boules, faces, secteurs égaux), pas les couleurs ?
Favorables en haut, toutes les issues en bas ?
Résultat entre 0 et 1, ou entre 0 % et 100 % ?
Fréquence observée ou probabilité calculée ?
Peu d'essais : pas de conclusion hâtive ?

Corrigé · à détacher

Probabilités et hasard — Premiers calculs

1. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prévoir lequel va sortir : lancer un dé, lancer une pièce, tirer une boule sans regarder, faire tourner une roue. Chaque résultat possible est une issue. Un évènement est ce qu'on attend, par exemple « obtenir un nombre pair » ; les issues qui le réalisent sont les issues favorables.
2. Quatre expériences et leurs issues. Dans l'urne : 3 boules rouges (R), 5 bleues (B) et 2 vertes (V), soit 10 issues, une par boule, et non 3, une par couleur.
3. Quand toutes les issues ont la même chance de se réaliser, on parle d'équiprobabilité. C'est le cas avec un dé ou une pièce équilibrés, des boules identiques au toucher et bien mélangées, une roue partagée en secteurs de même taille.
4. À droite, trois couleurs, mais pas trois chances égales : le bleu couvre 2 quarts sur 4.
5. Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. « $a$ chances sur $b$ » devient le nombre $\frac{a}{b}$ , qui se lit « $a$ sur $b$ ». On peut l'écrire en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage.
6. $probabilit \overset{e}{ˊ} = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre total d’issues}$
7. Vérifier que les issues ont toutes la même chance : dé équilibré, boules identiques, secteurs égaux.
8. Compter toutes les issues : ce nombre va en bas de la fraction.
9. Compter les issues favorables : ce nombre va en haut.
10. Écrire la fraction, la simplifier si possible, puis la donner en écriture décimale ou en pourcentage si on le demande.
11. Les 6 faces ont la même chance : il y a 6 issues.
12. Les issues favorables sont 2, 4 et 6 : il y en a 3. « 3 chances sur 6 » s'écrit :
13. la probabilité d'obtenir un nombre pair est $\frac{1}{2}$ , soit $0, 5$ ou $50 %$ .
14. Il y a 10 boules, donc 10 issues : une par boule.
15. 3 boules sont rouges :
16. Pas verte, c'est rouge ou bleue : $3 + 5 = 8$ boules.
17. rouge : $\frac{3}{10}$ , soit $30 %$  ; pas verte : $\frac{8}{10}$ , soit $80 %$ .
18. Comme au CM2, un arbre recense les issues : PP, PF, FP, FF. Ces 4 issues ont la même chance.
19. Un pile et un face : PF et FP, soit 2 issues favorables.
20. la probabilité est $\frac{1}{2}$ , et non $\frac{1}{3}$ : « deux piles », « deux faces » et « un de chaque » n'ont pas la même chance.
21. P pour pile, F pour face. En bleu, les 2 issues favorables sur 4.
22. Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 : le nombre d'issues favorables ne peut pas dépasser le nombre total d'issues. Un évènement impossible a pour probabilité 0 ; un évènement certain a pour probabilité 1. En pourcentage, une probabilité va de 0 % à 100 %.
23. $0 \leq probabilit \overset{e}{ˊ} \leq 1$
24. Les mots du CM1 trouvent leur place sur l'échelle : moins de $\frac{1}{2}$ , c'est peu probable ; plus de $\frac{1}{2}$ , c'est probable.
25. Aucune face ne porte 7 : 0 issue favorable sur 6.
26. Les 6 faces portent un nombre plus petit que 7 :
27. obtenir 7 est impossible (probabilité 0) ; obtenir moins de 7 est certain (probabilité 1).
28. Calculer chaque probabilité sous forme de fraction.
29. Les écrire de la même façon : même dénominateur, écriture décimale ou pourcentage.
30. La plus grande désigne l'évènement qui a le plus de chances de se réaliser.
31. Sac A :
32. Sac B :
33. $0, 4$ est plus grand que $0, 3$ .
34. il vaut mieux tirer dans le sac A (40 %), même s'il contient moins de billes gagnantes que le sac B (30 %).
35. On répète une expérience un certain nombre de fois et on compte combien de fois l'évènement s'est produit. La fréquence de l'évènement est le quotient de ce nombre par le nombre d'essais. Comme une probabilité, c'est un nombre entre 0 et 1, en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. Mais la probabilité se calcule avant de jouer ; la fréquence s'observe après.
36. $fr \overset{e}{ˊ} quence = \frac{nombre de fois o u ˋ l’ e ˊ v e ˋ nement s’est produit}{nombre d’essais}$
37. La fréquence change d'une série d'essais à l'autre : c'est le hasard. Sur peu d'essais, elle peut être loin de la probabilité sans que rien ne soit anormal. Quand le nombre d'essais devient grand, la fréquence se rapproche, en général, de la probabilité. Sur la figure, 200 lancers d'une pièce : 9 piles sur les 10 premiers ( $0, 9$ ), puis 96 sur 200 ( $0, 48$ ).
38. Fréquence de pile après chaque lancer, sur une série de 200 lancers tirée au hasard par ordinateur.
39. Calculer la probabilité de l'évènement.
40. Calculer la fréquence observée : nombre de fois où l'évènement s'est produit, divisé par le nombre d'essais.
41. Écrire les deux nombres de la même façon, en écriture décimale ou en pourcentage, et les comparer.
42. Conclure avec prudence : un écart sur peu d'essais est normal ; un grand écart sur beaucoup d'essais fait douter que les issues aient la même chance (dé truqué, boules mal mélangées).
43. Avec un dé équilibré, la probabilité d'obtenir 6 est $\frac{1}{6}$ :
44. Fréquence observée du 6 :
45. $0, 18$ et environ $0, 17$ sont très proches.
46. les résultats de Zoé sont tout à fait compatibles avec un dé équilibré.