Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Taux d'évolution — Coefficient multiplicateur et pourcentages

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Un prix, une population, un effectif changent : on peut dire de combien (on soustrait) ou par combien (on divise). En seconde, c'est la lecture multiplicative qui commande tout, parce qu'elle s'enchaîne : augmenter de $t %$ , c'est multiplier par $1 + \frac{t}{100}$  ; des évolutions successives se composent en multipliant les coefficients, et l'on revient en arrière en divisant. Devant chaque pourcentage, une question reste à poser : exprime-t-il une proportion ou une évolution ?

Proportions et pourcentages de pourcentages

Définition — proportion :

Partie, tout ou proportion : que cherche-t-on ?

Exemple

Dans un lycée, les 84 élèves de l'option cinéma représentent 7 % de l'effectif. Combien le lycée compte-t-il d'élèves ? Combien sont demi-pensionnaires, si 45 % le sont ?

Résultat :

Propriété

10.

Exemple

Dans ce lycée de 1 200 élèves, 40 % sont en seconde et 15 % des élèves de seconde font du latin. Quelle proportion des élèves du lycée sont des latinistes de seconde ? Combien sont-ils ?

Résultat :

Piège

Calculer $0, 15 \times 1200 = 180$ latinistes.

souligner le « de » ou le « parmi » qui suit chaque pourcentage, et appliquer le pourcentage à cet ensemble-là.

Piège

« 30 % des filles et 20 % des garçons sont internes, donc 50 % des élèves le sont. »

revenir aux effectifs : nombre d'internes, divisé par l'effectif de la classe.

Évolution d'une grandeur

Définition — variation absolue, coefficient multiplicateur, taux d'évolution :

Propriété

Règle

18.

Exploiter la relation entre deux valeurs et leur taux

Exemple

Le prix d'un abonnement passe de 80 € à 92 €. Donner la variation absolue, le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution.

Résultat :

Exemple

Après une baisse de 30 %, un manteau coûte 84 €. Quel était son prix avant la baisse ?

Résultat :

Piège

Retrouver le prix initial en ajoutant 30 % de 84 € : $84 + 25, 20 = 109, 20$ €.

pour remonter à $V_{1}$ , diviser $V_{2}$ par le coefficient, puis contrôler en multipliant.

Piège

Calculer le taux de 80 € à 92 € par $12 \div 92 \approx 13 %$ .

écrire « coefficient = après ÷ avant » avant tout calcul.

Un pourcentage est soit une proportion (une partie rapportée à un tout : « 15 % des élèves »), soit une évolution (un changement rapporté à la valeur de départ : « les prix ont augmenté de 15 % »). Quand la grandeur qui évolue est elle-même un pourcentage, les deux se mêlent : un taux de réussite qui passe de 60 % à 75 % gagne 15 points, mais augmente de 25 %, car $\frac{75 - 60}{60} = 0, 25$ .

Évolutions successives, évolution réciproque

Propriété

32.

Composer ou inverser des évolutions

Exemple

Un prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Quelle est l'évolution globale ? Quel taux annulerait une hausse de 25 % ?

Résultat :

Piège

« +10 % puis −10 %, le prix n'a pas changé. » « La réciproque d'une hausse de 25 % est une baisse de 25 %. »

passer aux coefficients avant toute opération, et tester sur une valeur de départ de 100.

Ai-je nommé l'ensemble de référence de chaque pourcentage ?
Ce pourcentage est-il une proportion ou une évolution ?
Ai-je traduit chaque taux en coefficient multiplicateur, signe compris ?
Mon taux est-il rapporté à la valeur initiale ?
Évolutions successives : ai-je multiplié les coefficients ? Réciproque : ai-je pris l'inverse ?
Mon résultat est-il vraisemblable : une partie plus petite que le tout, une hausse qui fait monter ?

Corrigé · à détacher

Taux d'évolution — Coefficient multiplicateur et pourcentages

1. Soit $E$ un ensemble de référence d'effectif $n_{E}$ non nul, et $A$ une partie de $E$ d'effectif $n_{A}$ . La proportion de $A$ dans $E$ est le quotient $p = \frac{n _{A}}{n _{E}}$  ; c'est un nombre compris entre 0 et 1. Il s'écrit indifféremment sous forme fractionnaire, décimale ou de pourcentage : $\frac{3}{20} = 0, 15 = 15 %$ .
2. $p = \frac{n _{A}}{n _{E}} n_{A} = p \times n_{E} n_{E} = \frac{n _{A}}{p} (p \neq = 0)$
3. Nommer l'ensemble de référence : c'est celui qui suit « de » ou « parmi » dans la phrase du pourcentage.
4. Partie inconnue : multiplier le tout par la proportion. Tout inconnu : diviser la partie par la proportion. Proportion inconnue : diviser la partie par le tout, puis convertir.
5. Contrôler la vraisemblance : la partie est plus petite que le tout, et la proportion est entre 0 et 1.
6. La partie et la proportion sont connues : on divise.
7. Le tout est maintenant connu : on multiplie.
8. Le lycée compte 1 200 élèves, dont 540 demi-pensionnaires.
9. Pourcentage de pourcentage. Si $A \subset B \subset E$ , avec $n_{B} \neq = 0$ , la proportion de $A$ dans $E$ est le produit de la proportion de $A$ dans $B$ par la proportion de $B$ dans $E$ . Démonstration : $\frac{n _{A}}{n _{E}} = \frac{n _{A}}{n _{B}} \times \frac{n _{B}}{n _{E}}$ , puisque $n_{B}$ se simplifie.
10. Le même lycée : 40 % des élèves sont en seconde, et 15 % des élèves de seconde font du latin. À gauche, les aires ; à droite, les effectifs.
11. Les latinistes de seconde forment une partie des secondes, elles-mêmes partie du lycée : on multiplie les proportions.
12. On applique cette proportion à l'effectif du lycée.
13. 6 % des élèves du lycée, soit 72 élèves.
14. Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{1}$ à une valeur finale $V_{2}$ , toutes deux strictement positives. La variation absolue (variation additive) est $V_{2} - V_{1}$  ; elle s'exprime dans l'unité de la grandeur. Le coefficient multiplicateur (variation multiplicative) est $c = \frac{V _{2}}{V _{1}}$ . La variation relative, ou taux d'évolution, est $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}}$ . Ces deux derniers sont sans unité, et $t$ s'écrit le plus souvent en pourcentage.
15. $V_{2} - V_{1} c = \frac{V _{2}}{V _{1}} t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}}$
16. $c = 1 + t$ , donc $V_{2} = (1 + t) \times V_{1}$ . Démonstration : $t = \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{1}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} - \frac{V _{1}}{V _{1}} = c - 1$ . Il y a hausse si et seulement si $t > 0$ , c'est-à-dire $c > 1$ , et baisse si et seulement si $t < 0$ , c'est-à-dire $0 < c < 1$ . Comme $V_{2} > 0$ , on a $c > 0$ , donc $t > - 1$  : une baisse ne dépasse jamais 100 %, alors qu'une hausse le peut (doubler, c'est augmenter de 100 %).
17. Augmenter de 5 %, c'est multiplier par 1,05 ; diminuer de 5 %, c'est multiplier par 0,95. Plus généralement, augmenter de $t %$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ , et diminuer de $t %$ à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ .
18. À gauche, un même changement lu de deux façons. À droite, le coefficient dit à lui seul s'il y a hausse ou baisse : tout se joue par rapport à 1.
19. Repérer $V_{1}$ et $V_{2}$  : l'avant et l'après. L'ordre compte, car tout se rapporte à $V_{1}$ .
20. Traduire le taux en coefficient : $c = 1 + t$ , avec $t$ négatif pour une baisse.
21. Valeur finale cherchée : multiplier $V_{1}$ par $c$ . Valeur initiale cherchée : diviser $V_{2}$ par $c$ . Taux cherché : calculer $c = \frac{V _{2}}{V _{1}}$ , puis $t = c - 1$ .
22. Contrôler le sens : une hausse doit donner $c > 1$ et une valeur qui monte.
23. La variation absolue, en euros.
24. Le coefficient multiplicateur.
25. Le taux, à partir du coefficient : c'est aussi $12 \div 80$ .
26. +12 €, coefficient 1,15, hausse de 15 %.
27. Le coefficient d'une baisse de 30 %.
28. La valeur initiale est inconnue : on divise par le coefficient.
29. Le manteau coûtait 120 €.
30. Si une grandeur subit successivement deux évolutions de coefficients multiplicateurs $c_{1}$ puis $c_{2}$ , le coefficient global est le produit $c_{1} \times c_{2}$ , et le taux global vaut $c_{1} \times c_{2} - 1$ . Démonstration : $V_{2} = c_{1} V_{1}$ et $V_{3} = c_{2} V_{2}$ , donc $V_{3} = (c_{1} c_{2}) V_{1}$ . Le résultat s'étend à un nombre quelconque d'évolutions, dans n'importe quel ordre : $n$ hausses successives de taux $t$ ont pour coefficient global $(1 + t)^{n}$ .
31. L'évolution réciproque de l'évolution de $V_{1}$ à $V_{2}$ est celle qui ramène de $V_{2}$ à $V_{1}$ . Son coefficient multiplicateur est l'inverse $\frac{1}{c}$ , puisque $V_{1} = \frac{1}{c} \times V_{2}$  ; son taux est donc $\frac{1}{1 + t} - 1$ .
32. Une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % ne ramènent pas à 100 : la baisse porte sur 110. Pour annuler une hausse de 25 %, une baisse de 20 % suffit.
33. Traduire chaque taux en coefficient, signe compris : $- 10 %$ donne $0, 90$ .
34. Évolutions successives : multiplier les coefficients. On n'additionne jamais les taux.
35. Évolution réciproque : prendre l'inverse du coefficient.
36. Revenir au taux par $t = c - 1$ , en n'arrondissant qu'à la fin.
37. Évolutions successives : on multiplie les deux coefficients.
38. Évolution réciproque : on inverse le coefficient 1,25.
39. Une baisse globale de 1 % ; une baisse de 20 % annule une hausse de 25 %.