Taux d'évolution — Coefficient multiplicateur et pourcentages

proportion — Soit $E$ un ensemble de référence d'effectif $n_E$ non nul, et $A$ une partie de $E$ d'effectif $n_A$. La proportion de $A$ dans $E$ est le quotient $p=\frac{n_A}{n_E}$ ; c'est un nombre compris entre 0 et 1. Il s'écrit indifféremment sous forme fractionnaire, décimale ou de pourcentage : $\frac{3}{20}=0,15=15\%$.

Partie, tout ou proportion : que cherche-t-on ?

1. Nommer l'ensemble de référence : c'est celui qui suit « de » ou « parmi » dans la phrase du pourcentage.
2. Partie inconnue : multiplier le tout par la proportion. Tout inconnu : diviser la partie par la proportion. Proportion inconnue : diviser la partie par le tout, puis convertir.
3. Contrôler la vraisemblance : la partie est plus petite que le tout, et la proportion est entre 0 et 1.

Dans un lycée, les 84 élèves de l'option cinéma représentent 7 % de l'effectif. Combien le lycée compte-t-il d'élèves ? Combien sont demi-pensionnaires, si 45 % le sont ?

1. La partie et la proportion sont connues : on divise.$84÷0,07=1200$
2. Le tout est maintenant connu : on multiplie.$0,45\times 1200=540$contrôle : $0,07\times 1200=84$, on retrouve l'effectif de l'option.

Le lycée compte 1 200 élèves, dont 540 demi-pensionnaires.

Pourcentage de pourcentage. Si $A\subset B\subset E$, avec $n_B\ne 0$, la proportion de $A$ dans $E$ est le produit de la proportion de $A$ dans $B$ par la proportion de $B$ dans $E$. Démonstration : $\frac{n_A}{n_E}=\frac{n_A}{n_B}\times \frac{n_B}{n_E}$, puisque $n_B$ se simplifie.

Dans ce lycée de 1 200 élèves, 40 % sont en seconde et 15 % des élèves de seconde font du latin. Quelle proportion des élèves du lycée sont des latinistes de seconde ? Combien sont-ils ?

1. Les latinistes de seconde forment une partie des secondes, elles-mêmes partie du lycée : on multiplie les proportions.$0,15\times 0,40=0,06$
2. On applique cette proportion à l'effectif du lycée.$0,06\times 1200=72$contrôle en deux temps : $1200\times 0,40=480$ secondes, puis $480\times 0,15=72$.

6 % des élèves du lycée, soit 72 élèves.

variation absolue, coefficient multiplicateur, taux d'évolution — Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_1$ à une valeur finale $V_2$, toutes deux strictement positives. La variation absolue (variation additive) est $V_2-V_1$ ; elle s'exprime dans l'unité de la grandeur. Le coefficient multiplicateur (variation multiplicative) est $c=\frac{V_2}{V_1}$. La variation relative, ou taux d'évolution, est $t=\frac{V_2-V_1}{V_1}$. Ces deux derniers sont sans unité, et $t$ s'écrit le plus souvent en pourcentage.

$c=1+t$, donc $V_2=(1+t)\times V_1$. Démonstration : $t=\frac{V_2-V_1}{V_1}=\frac{V_2}{V_1}-\frac{V_1}{V_1}=c-1$. Il y a hausse si et seulement si $t>0$, c'est-à-dire $c>1$, et baisse si et seulement si $t<0$, c'est-à-dire $0<c<1$. Comme $V_2>0$, on a $c>0$, donc $t>-1$ : une baisse ne dépasse jamais 100 %, alors qu'une hausse le peut (doubler, c'est augmenter de 100 %).

Augmenter de 5 %, c'est multiplier par 1,05 ; diminuer de 5 %, c'est multiplier par 0,95. Plus généralement, augmenter de $t\%$ revient à multiplier par $1+\frac{t}{100}$, et diminuer de $t\%$ à multiplier par $1-\frac{t}{100}$.

Exploiter la relation entre deux valeurs et leur taux

1. Repérer $V_1$ et $V_2$ : l'avant et l'après. L'ordre compte, car tout se rapporte à $V_1$.
2. Traduire le taux en coefficient : $c=1+t$, avec $t$ négatif pour une baisse.
3. Valeur finale cherchée : multiplier $V_1$ par $c$. Valeur initiale cherchée : diviser $V_2$ par $c$. Taux cherché : calculer $c=\frac{V_2}{V_1}$, puis $t=c-1$.
4. Contrôler le sens : une hausse doit donner $c>1$ et une valeur qui monte.

Le prix d'un abonnement passe de 80 € à 92 €. Donner la variation absolue, le coefficient multiplicateur et le taux d'évolution.

1. La variation absolue, en euros.$92-80=12$
2. Le coefficient multiplicateur.$\frac{92}{80}=1,15$
3. Le taux, à partir du coefficient : c'est aussi $12÷80$.$1,15-1=0,15$

+12 €, coefficient 1,15, hausse de 15 %.

Après une baisse de 30 %, un manteau coûte 84 €. Quel était son prix avant la baisse ?

1. Le coefficient d'une baisse de 30 %.$1-0,30=0,70$
2. La valeur initiale est inconnue : on divise par le coefficient.$84÷0,70=120$contrôle : $120\times 0,70=84$.

Le manteau coûtait 120 €.

Si une grandeur subit successivement deux évolutions de coefficients multiplicateurs $c_1$ puis $c_2$, le coefficient global est le produit $c_1\times c_2$, et le taux global vaut $c_1\times c_2-1$. Démonstration : $V_2=c_1{V}_1$ et $V_3=c_2{V}_2$, donc $V_3=(c_1{c}_2)V_1$. Le résultat s'étend à un nombre quelconque d'évolutions, dans n'importe quel ordre : $n$ hausses successives de taux $t$ ont pour coefficient global $(1+t{)}^n$.

L'évolution réciproque de l'évolution de $V_1$ à $V_2$ est celle qui ramène de $V_2$ à $V_1$. Son coefficient multiplicateur est l'inverse $\frac{1}{c}$, puisque $V_1=\frac{1}{c}\times V_2$ ; son taux est donc $\frac{1}{1+t}-1$.

Composer ou inverser des évolutions

1. Traduire chaque taux en coefficient, signe compris : $-10\%$ donne $0,90$.
2. Évolutions successives : multiplier les coefficients. On n'additionne jamais les taux.
3. Évolution réciproque : prendre l'inverse du coefficient.
4. Revenir au taux par $t=c-1$, en n'arrondissant qu'à la fin.

Un prix augmente de 10 %, puis baisse de 10 %. Quelle est l'évolution globale ? Quel taux annulerait une hausse de 25 % ?

1. Évolutions successives : on multiplie les deux coefficients.$1,10\times 0,90=0,99$taux global : $0,99-1=-0,01$.
2. Évolution réciproque : on inverse le coefficient 1,25.$\frac{1}{1,25}=0,8$taux : $0,8-1=-0,2$ ; contrôle : $100\times 1,25\times 0,8=100$.

Une baisse globale de 1 % ; une baisse de 20 % annule une hausse de 25 %.