Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Tableaux croisés — Fréquences conditionnelles et marginales

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Un tableau croisé range une population selon deux critères à la fois. Tout le chapitre tient ensuite dans le choix du dénominateur : une fréquence conditionnelle se calcule dans une sous-population, et « parmi les A, 60 % sont B » ne dit pas la même chose que « parmi les B, 60 % sont A ». Toutes les données de cette fiche sont fictives.

Le tableau croisé d'effectifs

Définition — variable qualitative, tableau croisé :

Propriété

Dresser un tableau croisé à partir d'un fichier

Compléter un tableau par les effectifs

Exemple

Une enquête interroge 250 clients d'une enseigne. 90 ont acheté en ligne, les autres en magasin ; 200 se disent satisfaits, dont 55 parmi les acheteurs en ligne. Compléter le tableau croisé « mode d'achat × satisfaction ».

Résultat :

Piège

Trouver les satisfaits en magasin par $250 - 55 = 195$ .

soustraire dans la même ligne ou la même colonne que la case cherchée, et vérifier qu'aucune case ne dépasse sa marge.

Fréquences marginales

Définition — fréquence, fréquence marginale :

Calculer une fréquence marginale

Exemple

Pour les 400 cyclistes du tableau ci-dessus, calculer la fréquence marginale des porteurs de casque, puis celles des trois tranches d'âge.

Résultat :

Piège

Écrire « la fréquence des porteurs de casque est 0,525 % ».

multiplier par 100 pour écrire un pourcentage, et contrôler l'ordre de grandeur : 210 sur 400, c'est un peu plus de la moitié.

Fréquences conditionnelles

Définition — fréquence conditionnelle :

21.

Calculer une fréquence conditionnelle

Exemple

Toujours pour les 400 cyclistes : calculer la fréquence des porteurs de casque parmi les moins de 18 ans, puis la fréquence des moins de 18 ans parmi les porteurs de casque.

Résultat :

28.

La fréquence marginale est comprise entre les fréquences conditionnelles. Les 210 porteurs de casque sont $60 + 72 + 78$  ; divisé par 400, chaque terme est le produit d'une fréquence marginale de tranche par une fréquence conditionnelle, par exemple $\frac{72}{400} = \frac{180}{400} \times \frac{72}{180}$ . D'où $0, 525 = 0, 25 \times 0, 6 + 0, 45 \times 0, 4 + 0, 3 \times 0, 65$  : une moyenne pondérée des fréquences conditionnelles, et non leur moyenne simple. Elle tombe donc entre la plus petite et la plus grande — un contrôle de vraisemblance immédiat.

Piège

De « 60 % des moins de 18 ans portent le casque », conclure que 60 % des porteurs de casque ont moins de 18 ans.

commencer la phrase par « parmi … » : ce groupe fournit le dénominateur.

Piège

Affirmer que les 18 à 40 ans portent plus souvent le casque que les moins de 18 ans, parce que 72 > 60.

comparer des groupes de tailles différentes par leurs fréquences conditionnelles.

Piège

Obtenir la fréquence globale des porteurs de casque par $\frac{60 + 40 + 65}{3} = 55 %$ .

revenir aux effectifs : additionner les numérateurs, additionner les dénominateurs, puis diviser.

Compléter un tableau avec des fréquences conditionnelles

Règle

Compléter un tableau à partir de pourcentages

Exemple

Une entreprise compte 800 salariés, dont 40 % de cadres. Parmi les cadres, 70 % pratiquent le télétravail ; parmi les non-cadres, 25 %. Compléter le tableau croisé, puis calculer la fréquence des cadres parmi les salariés en télétravail.

Résultat :

37.

Piège

Calculer les cadres en télétravail par $0, 7 \times 800 = 560$ .

avant de multiplier, nommer la population qui suit « parmi » et prendre son effectif.

Vers les probabilités conditionnelles. Tirons au sort un salarié, avec équiprobabilité. La probabilité qu'il soit cadre, $P (C) = \frac{Card ( C )}{Card ( Ω )} = \frac{320}{800}$ , est la fréquence marginale ; la probabilité qu'il télétravaille sachant qu'il est cadre, $P_{C} (T) = \frac{Card ( C \cap T )}{Card ( C )} = \frac{224}{320}$ , est la fréquence conditionnelle. La fiche Probabilités prolonge ce lien avec les arbres.

Chaque ligne et chaque colonne ont-elles pour somme leur total, et les marges le total général ?
Pour chaque fréquence, ai-je nommé la population de référence avant de diviser ?
Ai-je distingué « parmi les A, … sont B » de « parmi les B, … sont A » ?
Ai-je comparé des groupes de tailles différentes par des fréquences, et non par des effectifs ?

Corrigé · à détacher

Tableaux croisés — Fréquences conditionnelles et marginales

1. Une variable qualitative associe à chaque individu d'une population une modalité qui n'est pas un nombre. Elle est nominale si ses modalités n'ont pas d'ordre (espèce, mode de transport), ordinale si elles en ont un (tranche d'âge, degré de satisfaction). Le tableau croisé d'effectifs de deux variables qualitatives donne dans chaque case le nombre d'individus qui présentent à la fois une modalité $A$ de la première et une modalité $B$ de la seconde : c'est l'effectif de l'intersection, $Card (A \cap B)$ . La dernière ligne et la dernière colonne, les marges, donnent les totaux ; leur case commune est le total général, l'effectif de toute la population.
2. Une case : deux conditions réunies. Une marge : une seule condition. Le total général : toute la population.
3. Les cases d'une ligne ont pour somme le total de la ligne, celles d'une colonne le total de la colonne ; les totaux des lignes, comme ceux des colonnes, ont pour somme le total général. Ces égalités servent à compléter un tableau, puis à le contrôler.
4. Une ligne par modalité de la première variable, une colonne par modalité de la seconde, plus une ligne et une colonne « Total ».
5. Compter chaque case : les individus qui vérifient la condition de la ligne et celle de la colonne — un filtre, au tableur ou en Python avec deux listes et un test en and.
6. Remplir les marges et contrôler : le total général doit être l'effectif du fichier.
7. Chercher une ligne ou une colonne, marges comprises, où il ne manque qu'une valeur, et la déduire par soustraction ou addition.
8. Recommencer avec la valeur trouvée, puis contrôler : le dernier total, calculé par la ligne et par la colonne, doit concorder.
9. Ligne « en ligne », puis marge des modes d'achat : il n'y manque qu'une valeur. $90 - 55 = 35$ non-satisfaits en ligne, $250 - 90 = 160$ acheteurs en magasin.
10. Colonne « satisfaits », puis ligne « en magasin » : $200 - 55 = 145$ satisfaits et $160 - 145 = 15$ non-satisfaits en magasin.
11. Contrôle : le total des non-satisfaits, par la marge puis par la colonne.
12. En ligne : 55 satisfaits et 35 non satisfaits ; en magasin : 145 et 15 ; au total 200 et 50, pour 250 clients.
13. La fréquence d'une sous-population dans une population est le quotient de son effectif par l'effectif de la population : un nombre entre 0 et 1, qui s'écrit aussi en fraction ou en pourcentage. Dans un tableau croisé, la fréquence marginale d'une modalité est sa fréquence dans toute la population : le numérateur se lit dans une marge, le dénominateur est le total général : $f (A) = \frac{Card ( A )}{effectif total}$ .
14. Diviser l'effectif lu dans la marge par le total général, et écrire le résultat sous la forme demandée : décimale, fraction ou pourcentage.
15. Contrôler : les fréquences marginales des modalités d'une même variable ont pour somme 1.
16. Porteurs de casque : 210 sur 400.
17. Tranches d'âge : $\frac{100}{400} = 0, 25$ , $\frac{180}{400} = 0, 45$ et $\frac{120}{400} = 0, 3$ .
18. 52,5 % des cyclistes portent le casque ; les trois tranches d'âge représentent 25 %, 45 % et 30 % de la population.
19. Soit $A$ une modalité d'une variable, d'effectif non nul, et $B$ une modalité de l'autre. La fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$ — on dit aussi sachant $A$ — est la fréquence de $B$ calculée dans la sous-population $A$ , qui devient la population de référence. On la note ici $f_{A} (B)$ . Les médias la disent avec « parmi », « chez les », « des … » : « 60 % des moins de 18 ans portent le casque ».
20. $f_{A} (B) = \frac{Card ( A \cap B )}{Card ( A )}$
21. La même case, deux dénominateurs : la population de référence est celle qui suit « parmi ».
22. Repérer la population de référence : le groupe qui suit « parmi », « chez les », « sachant que ». Sa marge fournit le dénominateur.
23. Lire au numérateur la case qui réunit les deux conditions.
24. Diviser, arrondir comme demandé, et conclure par une phrase qui commence par « parmi … » : elle oblige à nommer le bon dénominateur.
25. Population de référence : les 100 moins de 18 ans, dont 60 portent le casque.
26. Population de référence : les 210 porteurs de casque, dont 60 ont moins de 18 ans.
27. Parmi les moins de 18 ans, 60 % portent le casque ; parmi les porteurs de casque, environ 28,6 % ont moins de 18 ans.
28. Chaque barre est une population de référence ramenée à 100 % : ses fréquences conditionnelles ont pour somme 1. On compare les groupes par ces fréquences, jamais par leurs effectifs ; la fréquence marginale, 52,5 %, tombe entre 40 % et 65 %.
29. Une fréquence conditionnelle relie trois nombres. Elle donne une partie connaissant le tout — la case, connaissant l'effectif de la sous-population — et, en divisant, le tout connaissant une partie.
30. $Card (A \cap B) = f_{A} (B) \times Card (A) Card (A) = \frac{Card ( A \cap B )}{f _{A} ( B )}$
31. Traduire chaque pourcentage : « 70 % des cadres » s'applique à l'effectif des cadres, « 40 % des salariés » au total général.
32. Calculer les marges connues, puis les cases par $f_{A} (B) \times Card (A)$  ; finir par soustractions et additions, et contrôler les marges.
33. Marges : $0, 4 \times 800 = 320$ cadres et $800 - 320 = 480$ non-cadres. Puis chaque case « télétravail », avec l'effectif de sa sous-population :
34. Le reste par additions et soustractions : $224 + 120 = 344$ en télétravail, $320 - 224 = 96$ et $480 - 120 = 360$ sans.
35. Population de référence : les 344 salariés en télétravail, dont 224 cadres.
36. Parmi les salariés en télétravail, environ 65,1 % sont des cadres — à ne pas confondre avec les 70 % de cadres qui télétravaillent.
37. Les marges d'abord, puis les cases par « pourcentage × effectif de la sous-population », enfin les soustractions.