Tableaux croisés — Fréquences conditionnelles et marginales

variable qualitative, tableau croisé — Une variable qualitative associe à chaque individu d'une population une modalité qui n'est pas un nombre. Elle est nominale si ses modalités n'ont pas d'ordre (espèce, mode de transport), ordinale si elles en ont un (tranche d'âge, degré de satisfaction). Le tableau croisé d'effectifs de deux variables qualitatives donne dans chaque case le nombre d'individus qui présentent à la fois une modalité $A$ de la première et une modalité $B$ de la seconde : c'est l'effectif de l'intersection, $\text{Card}(A\cap B)$. La dernière ligne et la dernière colonne, les marges, donnent les totaux ; leur case commune est le total général, l'effectif de toute la population.

Les cases d'une ligne ont pour somme le total de la ligne, celles d'une colonne le total de la colonne ; les totaux des lignes, comme ceux des colonnes, ont pour somme le total général. Ces égalités servent à compléter un tableau, puis à le contrôler.

Dresser un tableau croisé à partir d'un fichier

1. Une ligne par modalité de la première variable, une colonne par modalité de la seconde, plus une ligne et une colonne « Total ».
2. Compter chaque case : les individus qui vérifient la condition de la ligne et celle de la colonne — un filtre, au tableur ou en Python avec deux listes et un test en and.
3. Remplir les marges et contrôler : le total général doit être l'effectif du fichier.

Compléter un tableau par les effectifs

1. Chercher une ligne ou une colonne, marges comprises, où il ne manque qu'une valeur, et la déduire par soustraction ou addition.
2. Recommencer avec la valeur trouvée, puis contrôler : le dernier total, calculé par la ligne et par la colonne, doit concorder.

Une enquête interroge 250 clients d'une enseigne. 90 ont acheté en ligne, les autres en magasin ; 200 se disent satisfaits, dont 55 parmi les acheteurs en ligne. Compléter le tableau croisé « mode d'achat × satisfaction ».

1. Ligne « en ligne », puis marge des modes d'achat : il n'y manque qu'une valeur. $90-55=35$ non-satisfaits en ligne, $250-90=160$ acheteurs en magasin.
2. Colonne « satisfaits », puis ligne « en magasin » : $200-55=145$ satisfaits et $160-145=15$ non-satisfaits en magasin.
3. Contrôle : le total des non-satisfaits, par la marge puis par la colonne.$250-200=50=35+15$

En ligne : 55 satisfaits et 35 non satisfaits ; en magasin : 145 et 15 ; au total 200 et 50, pour 250 clients.

fréquence, fréquence marginale — La fréquence d'une sous-population dans une population est le quotient de son effectif par l'effectif de la population : un nombre entre 0 et 1, qui s'écrit aussi en fraction ou en pourcentage. Dans un tableau croisé, la fréquence marginale d'une modalité est sa fréquence dans toute la population : le numérateur se lit dans une marge, le dénominateur est le total général : $f(A)=\frac{\text{Card}(A)}{\text{effectif total}}$.

Calculer une fréquence marginale

1. Diviser l'effectif lu dans la marge par le total général, et écrire le résultat sous la forme demandée : décimale, fraction ou pourcentage.
2. Contrôler : les fréquences marginales des modalités d'une même variable ont pour somme 1.

Pour les 400 cyclistes du tableau ci-dessus, calculer la fréquence marginale des porteurs de casque, puis celles des trois tranches d'âge.

1. Porteurs de casque : 210 sur 400.$\frac{210}{400}=0,525$soit 52,5 %.
2. Tranches d'âge : $\frac{100}{400}=0,25$, $\frac{180}{400}=0,45$ et $\frac{120}{400}=0,3$.$0,25+0,45+0,3=1$

52,5 % des cyclistes portent le casque ; les trois tranches d'âge représentent 25 %, 45 % et 30 % de la population.

fréquence conditionnelle — Soit $A$ une modalité d'une variable, d'effectif non nul, et $B$ une modalité de l'autre. La fréquence conditionnelle de $B$ parmi $A$ — on dit aussi sachant $A$ — est la fréquence de $B$ calculée dans la sous-population $A$, qui devient la population de référence. On la note ici $f_A(B)$. Les médias la disent avec « parmi », « chez les », « des … » : « 60 % des moins de 18 ans portent le casque ».

Calculer une fréquence conditionnelle

1. Repérer la population de référence : le groupe qui suit « parmi », « chez les », « sachant que ». Sa marge fournit le dénominateur.
2. Lire au numérateur la case qui réunit les deux conditions.
3. Diviser, arrondir comme demandé, et conclure par une phrase qui commence par « parmi … » : elle oblige à nommer le bon dénominateur.

Toujours pour les 400 cyclistes : calculer la fréquence des porteurs de casque parmi les moins de 18 ans, puis la fréquence des moins de 18 ans parmi les porteurs de casque.

1. Population de référence : les 100 moins de 18 ans, dont 60 portent le casque.$\frac{60}{100}=0,6$
2. Population de référence : les 210 porteurs de casque, dont 60 ont moins de 18 ans.$\frac{60}{210}\approx 0,286$

Parmi les moins de 18 ans, 60 % portent le casque ; parmi les porteurs de casque, environ 28,6 % ont moins de 18 ans.

Une fréquence conditionnelle relie trois nombres. Elle donne une partie connaissant le tout — la case, connaissant l'effectif de la sous-population — et, en divisant, le tout connaissant une partie.

Compléter un tableau à partir de pourcentages

1. Traduire chaque pourcentage : « 70 % des cadres » s'applique à l'effectif des cadres, « 40 % des salariés » au total général.
2. Calculer les marges connues, puis les cases par $f_A(B)\times \text{Card}(A)$ ; finir par soustractions et additions, et contrôler les marges.

Une entreprise compte 800 salariés, dont 40 % de cadres. Parmi les cadres, 70 % pratiquent le télétravail ; parmi les non-cadres, 25 %. Compléter le tableau croisé, puis calculer la fréquence des cadres parmi les salariés en télétravail.

1. Marges : $0,4\times 800=320$ cadres et $800-320=480$ non-cadres. Puis chaque case « télétravail », avec l'effectif de sa sous-population :$0,7\times 320=224$et $0,25\times 480=120$.
2. Le reste par additions et soustractions : $224+120=344$ en télétravail, $320-224=96$ et $480-120=360$ sans.$344+96+360=800$contrôle par le total général.
3. Population de référence : les 344 salariés en télétravail, dont 224 cadres.$\frac{224}{344}\approx 0,651$

Parmi les salariés en télétravail, environ 65,1 % sont des cadres — à ne pas confondre avec les 70 % de cadres qui télétravaillent.