Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Puissances entières relatives et notation scientifique

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

La distance Terre–Soleil vaut 150 000 000 000 mètres, la taille d'un atome 0,0000000001 mètre. Écrire ces nombres en toutes lettres est impraticable, et les comparer à l'œil est impossible. Les puissances de 10 règlent les deux problèmes d'un coup : elles raccourcissent l'écriture et rendent l'ordre de grandeur immédiatement lisible.

Reconnaître en dix secondes

Ce que veut dire un exposant

Définition — puissance :

Règle

Exemple

Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il l'inverse.

Résultat :

Piège

Écrire $1 0^{- 3} = - 1000$ .

lire l'exposant comme un déplacement de la virgule : $+ 3$ la déplace de trois rangs vers la droite, $- 3$ de trois rangs vers la gauche.

Les trois règles de calcul

Règle

Exemple

Les trois règles à l'œuvre, vérifiées par le calcul direct.

Résultat :

Ces règles n'ont de sens qu'entre puissances de même base. $2^{3} \times 5^{2}$ ne se simplifie pas : il n'y a rien à additionner.

La notation scientifique

Définition — notation scientifique :

Exemple

On déplace la virgule jusqu'à n'avoir qu'un seul chiffre non nul devant, et on compte les rangs.

Résultat :

23.

L'ordre de grandeur est la puissance de 10 seule. Il suffit à comparer : $1 0^{11}$ mètres et $1 0^{- 10}$ mètres diffèrent de 21 rangs, ce qu'aucune lecture chiffre à chiffre ne fait apparaître.

24.

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Écrire $2^{3} \times 3^{2} = 6^{5}$ .

regarder la base avant l'exposant. Bases différentes : on calcule chaque puissance séparément, puis on multiplie les résultats.

Piège

Écrire $0, 0045 = 4, 5 \times 1 0^{3}$ .

un seul contrôle, toujours le même : plus petit que 1, exposant négatif ; plus grand que 10, exposant positif.

Piège

Rendre $58, 3 \times 1 0^{5}$ comme notation scientifique.

un seul chiffre avant la virgule, et ce n'est ni 0 ni deux chiffres. Le contrôle se fait après le calcul, jamais avant.

Piège

Écrire $3^{0} = 0$ .

l'exposant compte les facteurs ; zéro facteur laisse le neutre de la multiplication, c'est-à-dire 1.

Piège

Dire que $9 \times 1 0^{4}$ dépasse $2 \times 1 0^{5}$ parce que 9 est plus grand que 2.

comparer les exposants, et n'aller voir les coefficients qu'en cas d'égalité. C'est exactement ce que sert à faire la notation scientifique.

Un exposant négatif inverse ; il ne rend pas le nombre négatif.
$a^{0} = 1$ , jamais 0.
Les trois règles ne valent qu'entre puissances de même base : ai-je regardé la base avant l'exposant ?
Produit → j'additionne, quotient → je soustrais, puissance de puissance → je multiplie.
Notation scientifique : un seul chiffre avant la virgule, et ce n'est pas 0.
Un nombre plus petit que 1 a un exposant négatif ; plus grand que 10, un exposant positif.
Pour comparer : l'exposant d'abord, le coefficient seulement en cas d'égalité.
Après le calcul, mon résultat est-il encore en notation scientifique, ou reste-t-il un rang à déplacer ?

Corrigé · à détacher

Puissances entières relatives et notation scientifique

1. Le signal. Des zéros en file, ou une unité démesurée dans un sens ou dans l'autre — nanomètre, année-lumière, octet, masse d'un atome. Dès que compter les zéros devient pénible, on est dans ce chapitre.
2. La première question à se poser : l'énoncé demande-t-il un calcul (produit, quotient, comparaison) ou une écriture (notation scientifique, ordre de grandeur) ? Le calcul se mène sur les exposants ; l'écriture se contrôle sur le nombre placé devant la puissance.
3. Le contre-signal. Deux bases différentes → aucune des trois règles ne s'applique, on calcule chaque puissance à part. Une somme de puissances → il n'existe aucune règle pour l'addition : on repasse en écriture décimale, ou on met en facteur la plus petite puissance.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Séparer le nombre et la puissance dès la première ligne, les calculer chacun de son côté, les recoller à la fin — puis vérifier que le nombre de devant est bien entre 1 et 10. C'est ce dernier contrôle qui rattrape la moitié des erreurs du chapitre.
5. Pour $n$ entier positif, $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . L'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas : $2^{5}$ vaut 32, et non 10.
6. Deux conventions complètent la définition, et elles ne sont pas arbitraires — elles sont les seules qui prolongent les règles de calcul :
7. $a^{0} = 1 et a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
8. Trois zéros après la virgule
9. L'exposant zéro
10. Et un exemple qui n'est pas une puissance de 10
11. un exposant négatif inverse, il ne change pas le signe
12. Elles se retiennent par ce qu'elles font aux exposants : on additionne pour un produit, on soustrait pour un quotient, on multiplie pour une puissance de puissance.
13. $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
14. Produit : les exposants s'ajoutent
15. Quotient : ils se soustraient
16. Puissance de puissance : ils se multiplient
17. Et cela vaut pour toute base, pas seulement 10
18. les règles portent sur les exposants, jamais sur la base
19. Tout nombre s'écrit sous la forme $a \times 1 0^{n}$ , où $n$ est un entier relatif et où $a$ est compris entre 1 et 10 — 10 exclu. Cette contrainte sur $a$ est ce qui rend l'écriture unique, donc comparable d'un nombre à l'autre.
20. Un grand nombre : la virgule recule de 4 rangs
21. Un petit nombre : elle avance de 4 rangs
22. le signe de l'exposant dit si le nombre est grand ou petit
23. Le signe de l'exposant dit dans quel sens la virgule se déplace.
24. Chaque graduation vaut un facteur 10 : d'un bout à l'autre, 21 rangs.