Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Puissances entières relatives et notation scientifique

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

La distance Terre–Soleil vaut 150 000 000 000 mètres, la taille d'un atome 0,0000000001 mètre. Écrire ces nombres en toutes lettres est impraticable, et les comparer à l'œil est impossible. Les puissances de 10 règlent les deux problèmes d'un coup : elles raccourcissent l'écriture et rendent l'ordre de grandeur immédiatement lisible.

Ce que veut dire un exposant

Définition — puissance :

Règle

Exemple

Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : il l'inverse.

Résultat :

Piège

Écrire $1 0^{- 3} = - 1000$ .

lire l'exposant comme un déplacement de la virgule : $+ 3$ la déplace de trois rangs vers la droite, $- 3$ de trois rangs vers la gauche.

Les trois règles de calcul

Règle

Exemple

Les trois règles à l'œuvre, vérifiées par le calcul direct.

Résultat :

Ces règles n'ont de sens qu'entre puissances de même base. $2^{3} \times 5^{2}$ ne se simplifie pas : il n'y a rien à additionner.

La notation scientifique

Définition — notation scientifique :

Exemple

On déplace la virgule jusqu'à n'avoir qu'un seul chiffre non nul devant, et on compte les rangs.

Résultat :

19.

L'ordre de grandeur est la puissance de 10 seule. Il suffit à comparer : $1 0^{11}$ mètres et $1 0^{- 10}$ mètres diffèrent de 21 rangs, ce qu'aucune lecture chiffre à chiffre ne fait apparaître.

20.

Corrigé · à détacher

Puissances entières relatives et notation scientifique

1. Pour $n$ entier positif, $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ . L'exposant compte les facteurs, il ne multiplie pas : $2^{5}$ vaut 32, et non 10.
2. Deux conventions complètent la définition, et elles ne sont pas arbitraires — elles sont les seules qui prolongent les règles de calcul :
3. $a^{0} = 1 et a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
4. Trois zéros après la virgule
5. L'exposant zéro
6. Et un exemple qui n'est pas une puissance de 10
7. un exposant négatif inverse, il ne change pas le signe
8. Elles se retiennent par ce qu'elles font aux exposants : on additionne pour un produit, on soustrait pour un quotient, on multiplie pour une puissance de puissance.
9. $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
10. Produit : les exposants s'ajoutent
11. Quotient : ils se soustraient
12. Puissance de puissance : ils se multiplient
13. Et cela vaut pour toute base, pas seulement 10
14. les règles portent sur les exposants, jamais sur la base
15. Tout nombre s'écrit sous la forme $a \times 1 0^{n}$ , où $n$ est un entier relatif et où $a$ est compris entre 1 et 10 — 10 exclu. Cette contrainte sur $a$ est ce qui rend l'écriture unique, donc comparable d'un nombre à l'autre.
16. Un grand nombre : la virgule recule de 4 rangs
17. Un petit nombre : elle avance de 4 rangs
18. le signe de l'exposant dit si le nombre est grand ou petit
19. Le signe de l'exposant dit dans quel sens la virgule se déplace.
20. Chaque graduation vaut un facteur 10 : d'un bout à l'autre, 21 rangs.