Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Divisibilité et nombres premiers

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Au brevet, ce chapitre arrive presque toujours déguisé : « le plus grand nombre de sachets identiques », « rendre la fraction irréductible », « peut-on partager sans qu'il en reste ». Le calcul, lui, est toujours le même — décomposer en facteurs premiers, puis diviser. Ce qui sépare une copie à tous les points d'une copie à la moitié, c'est la phrase qui dit pourquoi on calcule ça : « le nombre de sachets divise 144 et divise 180, et on le veut le plus grand possible. » Cette phrase vaut souvent plus que le résultat.

Le vocabulaire, et ce qu'il interdit

Définition — nombre premier :

Définition — décomposition en facteurs premiers :

Règle

Propriété

Décomposer sans tâtonner

La division en escalier

Exemple

Décomposer 504 en produit de facteurs premiers.

Résultat :

Rendre une fraction irréductible

Définition — fraction irréductible :

En une seule division

Exemple

Rendre irréductible la fraction $\frac{210}{294}$ .

Résultat :

Les problèmes de partage

Définition — PGCD :

Deux chemins, et lequel prendre

Exemple

Calculer le PGCD de 96 et 60 par les deux méthodes.

Résultat :

Reconnaître en dix secondes

Exemple

Un professeur dispose de 60 stylos et 96 crayons. Il veut constituer le plus grand nombre possible de lots identiques, en utilisant tout. Combien de lots, et que contient chacun ?

Résultat :

Divisibilité : c'est le reste qui décide

Définition — division euclidienne :

Propriété

Exemple

Un fleuriste a 96 roses et compose des bouquets de 7 roses. Combien de bouquets complets ? Combien de roses restantes ? Combien lui en manque-t-il pour un bouquet de plus ?

Résultat :

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Écrire $504 = 1 \times 2^{3} \times 3^{2} \times 7$ .

Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; 1 n'en a qu'un. Il n'entre jamais dans une décomposition.

Piège

Chercher un multiple commun là où l'énoncé dit « le plus grand nombre de lots ».

Un diviseur commun est plus petit que les nombres, un multiple commun est plus grand. Si la réponse dépasse les données, c'est l'autre notion.

Piège

Répondre « 12 lots » et s'arrêter.

Relire l'énoncé après avoir répondu. « Combien de lots et que contient chaque lot » compte deux réponses.

Piège

S'arrêter à $120 = 2^{3} \times 15$ .

Relire le produit final facteur par facteur. 15 n'est pas premier : $15 = 3 \times 5$ .

Piège

Rendre $\frac{210}{294} = \frac{30}{42}$ comme fraction irréductible.

Diviser par le plus grand diviseur commun, d'un seul coup. La question ne se pose plus.

Avant de rendre

Tous les facteurs de ma décomposition sont-ils premiers ?
Ai-je exclu 1 du produit ?
Ai-je refait le produit pour vérifier ?
L'énoncé dit-il « plus grand » (diviseur) ou « en même temps » (multiple) ?
Ai-je écrit la phrase de modélisation avant le calcul ?
Ai-je répondu à toutes les questions, pas seulement à la première ?
Ma fraction est-elle divisée par le plus grand diviseur commun, en une fois ?
Mes réponses portent-elles leur unité — des lots, des stylos, des centimètres ?

Corrigé · à détacher

Divisibilité et nombres premiers

1. Un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers jusqu'à 31 : $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ , $31$ . 1 n'est pas premier — il n'a qu'un seul diviseur. 2 est le seul premier pair, puisque tout autre nombre pair est divisible par 2.
2. L'écriture d'un entier comme produit de nombres premiers uniquement. On divise par 2 tant que c'est possible, puis par 3, puis par 5, par 7… jusqu'à obtenir 1. Chaque facteur du produit final doit être premier : $120 = 2^{3} \times 15$ n'est pas une décomposition, car 15 n'est pas premier. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près : on la vérifie en refaisant le produit.
3. Les critères de divisibilité, qui évitent de tâtonner. Par 2 : le chiffre des unités est pair. Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3. Par 5 : le nombre finit par 0 ou 5. Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9. Par 10 : le nombre finit par 0.
4. Quand s'arrêter de chercher. Si aucun nombre premier dont le carré est inférieur ou égal à $n$ ne divise $n$ , alors $n$ est premier. Pour tester 97 : on essaie 2, 3, 5, 7 — et on s'arrête, car $1 1^{2} = 121$ dépasse 97.
5. $1 1^{2} = 121 > 97$
6. On épuise 2 avant de passer à 3. Tant que le nombre est pair, on divise par 2 et on recommence.
7. Puis 3, en s'aidant du critère. Somme des chiffres divisible par 3 ? On divise, et on retente le 3 sur le quotient.
8. Puis 5, 7, 11, 13… dans l'ordre. On ne saute jamais un premier : c'est ainsi qu'on oublie un facteur.
9. On s'arrête à 1, et on relit le produit obtenu : chaque facteur doit être premier.
10. On vérifie en refaisant le produit. Cinq secondes, et le correcteur le voit.
11. 504 est pair : on divise par 2, trois fois de suite.
12. 63 est impair, le 2 est épuisé. Somme des chiffres : $6 + 3 = 9$ , divisible par 3.
13. Encore 3 : $2 + 1 = 3$ .
14. 7 est premier : on termine.
15. Vérification, attendue par le barème.
16. $504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7$
17. Une fraction dont le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. C'est ce que le barème demande : « simplifier » ne suffit pas, il faut arriver au bout.
18. Décomposer le numérateur et le dénominateur, l'un sous l'autre.
19. Prendre les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant : leur produit est le plus grand diviseur commun.
20. Diviser une seule fois le haut et le bas par ce nombre. La fraction obtenue est irréductible, sans avoir à le vérifier.
21. Les deux décompositions, écrites l'une sous l'autre.
22. Facteurs communs : 2, 3 et 7 — le 7 apparaît une fois dans 210 et deux fois dans 294, on garde le plus petit exposant.
23. Une seule division, en haut et en bas.
24. 5 et 7 sont premiers et différents : la fraction $\frac{5}{7}$ est irréductible.
25. $\frac{210}{294} = \frac{5}{7}$
26. Le plus grand commun diviseur de deux entiers : le plus grand nombre qui les divise tous les deux. Ce n'est pas l'objet du chapitre, c'est l'outil — celui qui rend une fraction irréductible et celui qui répond aux problèmes de lots identiques.
27. Par décomposition — facteurs communs, plus petit exposant. À préférer quand la question suivante demande une fraction irréductible ou une répartition : la décomposition sert deux fois.
28. Par l'algorithme d'Euclide — on divise le grand par le petit, puis le diviseur par le reste, jusqu'à un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. À préférer sur de grands nombres, où la décomposition se cherche.
29. Dans les deux cas, on écrit la méthode en entier. Un PGCD annoncé sans calcul visible ne rapporte presque rien, même juste.
30. Par décomposition : les facteurs communs sont 2 — au plus petit exposant, $2^{2}$ — et 3.
31. Par Euclide, première division.
32. On recommence avec 60 et 36.
33. Puis avec 36 et 24.
34. Enfin 24 et 12 : le reste est nul, donc le dernier reste non nul est 12.
35. $PGCD (96; 60) = 12$
36. Le signal. « Le plus grand nombre de paquets identiques », « sans qu'il en reste », « tous identiques », « la plus grande longueur possible » : ces formules demandent le plus grand diviseur commun, toujours.
37. Le contre-signal. « Ils se retrouvent au bout de combien de jours », « les deux en même temps », « la plus petite longueur » : ce n'est pas le même calcul. Ces questions cherchent un multiple commun, et se traitent en listant les multiples de chaque nombre jusqu'au premier qu'ils partagent.
38. Le réflexe qui économise l'exercice. Soulignez « plus grand » ou « plus petit » dans l'énoncé. C'est ce mot, et lui seul, qui décide.
39. Le contrôle de vraisemblance. Un diviseur commun est plus petit que les deux nombres. Si votre réponse les dépasse, vous avez changé de notion sans le voir.
40. La phrase de modélisation, celle qui est notée : le nombre de lots divise 60 et divise 96, et on le veut le plus grand possible — c'est leur PGCD, calculé plus haut : 12.
41. Il peut faire 12 lots. Beaucoup de copies s'arrêtent ici et perdent la moitié des points.
42. Ce que contient un lot, c'est la seconde question : deux divisions.
43. Réponse rédigée : 12 lots, contenant chacun 5 stylos et 8 crayons.
44. Vérification : tout est utilisé, il ne reste rien.
45. 12 lots de 5 stylos et 8 crayons
46. Diviser $a$ par $b$ , c'est écrire $a = b \times q + r$ avec un reste $r$ strictement inférieur au diviseur $b$ . Le quotient $q$ et le reste $r$ sont uniques. Si $r$ atteint ou dépasse $b$ , la division n'est pas finie.
47. $b$ divise $a$ si et seulement si le reste est nul. C'est la seule réponse acceptée à « peut-on partager sans qu'il en reste » : un reste, même de 1, suffit à dire non.
48. $a = b \times q + r (0 \leq r < b)$
49. On cherche le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 96.
50. Le reste est ce qui sépare 91 de 96, et il est bien inférieur à 7.
51. 13 bouquets complets et 5 roses restantes. Le reste n'est pas nul : 7 ne divise pas 96.
52. Pour un bouquet de plus, il faut atteindre le multiple suivant.
53. $96 = 7 \times 13 + 5$