Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Transformations du plan

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Au brevet, la question n'est presque jamais « construis l'image » : c'est « quelle transformation, et avec quels éléments ». Et c'est là que les points partent. « C'est une rotation » ne vaut rien ; « la rotation de centre $O$ , d'angle 90°, dans le sens des aiguilles d'une montre » vaut tout. Une transformation ne se nomme jamais seule — elle se nomme avec ce qui la définit.

Quatre transformations, et une seule change les tailles

Règle

Propriété

Reconnaître en dix secondes

Quatre questions, dans cet ordre

La symétrie centrale est le cas particulier des deux mondes : c'est à la fois une rotation d'un demi-tour et l'homothétie de rapport $- 1$ . Si vous hésitez entre elle et une rotation, les deux réponses décrivent le même mouvement — mais le barème attend le nom que l'énoncé induit.

L'homothétie : ce qui change, et de combien

Définition — homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :

Propriété

Règle

Exemple

$A B C$ est un triangle et $O$ un point extérieur. Construire l'image de $A B C$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2.

Résultat :

Nommer, et nommer complètement

Règle

Pour une rotation, le sens est obligatoire : 60° dans le sens des aiguilles d'une montre et 60° dans le sens inverse donnent deux images différentes. Un angle sans sens décrit deux figures, donc aucune.

Exemple

Dans un pavage, le motif $M_{2}$ se déduit du motif $M_{1}$ . Les deux ont la même taille. $M_{2}$ est orienté différemment et ne peut pas être amené sur $M_{1}$ en faisant glisser la feuille. Quelle transformation, et avec quels éléments ?

Résultat :

Agrandir : les aires et les volumes ne suivent pas les longueurs

Exemple

Une maquette de bâtiment est une réduction du bâtiment réel au rapport $\frac{1}{50}$ . La façade de la maquette a une aire de 240 cm² et son volume est de 1 800 cm³. Quelles sont l'aire de la façade réelle, en m², et le volume réel, en m³ ?

Résultat :

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Multiplier une aire par $k$ au lieu de $k^{2}$ : écrire $240 \times 50 = 12000$ cm².

Écrire les trois lignes $k$ / $k^{2}$ / $k^{3}$ avant de choisir. Une aire a deux dimensions, un volume en a trois.

Piège

Nommer la transformation sans ses éléments : « c'est une rotation ».

La phrase doit contenir un centre, et un angle, et un sens — ou un axe, ou un vecteur. S'il n'y a qu'un mot, il manque la réponse.

Piège

Oublier le sens d'une rotation : « rotation de centre $O$ et d'angle 90° ».

Deux images différentes existent pour le même angle. Le sens fait partie de la définition, pas du commentaire.

Piège

Placer $A^{'}$ tel que $A A^{'} = k \times A B$ , en prenant un côté au lieu de la distance au centre.

$O A^{'} = k \times O A$ : le centre est dans toutes les mesures, il n'est jamais absent.

Piège

Croire qu'une homothétie déforme : « l'image d'un triangle rectangle n'est plus rectangle ».

Une homothétie conserve les angles et le parallélisme. C'est exactement ce qui la rend utile pour démontrer.

Avant de rendre

Ai-je nommé la transformation ET ses éléments ?
Pour une rotation : le centre, l'angle et le sens ?
Pour une symétrie : ai-je précisé axiale ou centrale ?
Pour une homothétie : le rapport s'applique-t-il aux distances au centre ?
Les tailles ont-elles changé ? Si oui, c'est une homothétie, et rien d'autre.
S'il y a un agrandissement : $k^{2}$ pour les aires, $k^{3}$ pour les volumes ?
Mes conversions d'aires sont-elles en $\times 100$ par rang, celles de volumes en $\times 1000$ ?
Mes traits de construction sont-ils restés sur la figure ?

Corrigé · à détacher

Transformations du plan

1. Ce qu'il faut pour définir chacune. La symétrie axiale : un axe. La symétrie centrale : un centre. La translation : un vecteur — direction, sens, longueur. La rotation : un centre, un angle et un sens. L'homothétie : un centre et un rapport $k$ .
2. Les quatre premières conservent tout : longueurs, angles, aires, parallélisme. Seule l'homothétie agrandit ou réduit — et c'est pour cela qu'elle se traite à part. Même elle conserve les angles et le parallélisme : elle change les tailles, jamais les formes.
3. Le même triangle, transformé quatre fois. Trait plein : la figure de départ. Pointillés : son image. Les rayons issus de $O$ montrent le rôle du centre — et seule l'homothétie change la taille.
4. Les tailles sont-elles différentes ? → homothétie. C'est la seule. Ce test se pose en premier parce qu'il élimine d'un coup les quatre autres.
5. Sinon, la figure a-t-elle tourné ? → rotation.
6. Sinon, est-elle retournée comme dans un miroir ? → symétrie axiale. C'est le test qu'on oublie : dans une symétrie axiale, on ne peut pas superposer les deux figures en faisant glisser la feuille, il faut la retourner.
7. Sinon, a-t-elle simplement glissé ? → translation.
8. Le signal, dans l'énoncé : « image de », « transformée en », « motif répété », ou un dessin de frise, de pavage, de rosace.
9. La transformation qui place l'image $A^{'}$ de chaque point $A$ sur la droite $(O A)$ , à la distance $O A^{'} = ∣ k ∣ \times O A$ . Le rapport s'applique à la distance au centre, pas à la longueur des côtés — que les côtés soient eux aussi multipliés par $∣ k ∣$ en est une conséquence, pas la définition.
10. Un rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$ , les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ . Les angles, eux, ne changent pas.
11. $L \times k ∙ A \times k^{2} ∙ V \times k^{3}$
12. Le signe de $k$ dit de quel côté. $k > 0$ : l'image est du même côté du centre que la figure de départ. $k < 0$ : elle est de l'autre côté, et retournée. $k = - 1$ : c'est exactement la symétrie centrale. $∣ k ∣ > 1$ agrandit, $∣ k ∣ < 1$ réduit.
13. Je trace la demi-droite $[O A)$ . Avec $k$ positif, l'image est du même côté : une demi-droite suffit.
14. Je place $A^{'}$ sur $[O A)$ tel que $O A^{'} = 2 \times O A$ . Le compas reporte la longueur $O A$ une seconde fois à partir de $A$ .
15. Je répète pour $B$ et pour $C$ , puis je trace le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ .
16. Vérification : les côtés sont doublés, par exemple $A^{'} B^{'} = 2 \times A B$ . Et les traits de construction restent sur la figure — ils sont notés.
17. $O A^{'} = 2 \times O A$
18. Une réponse qui ne nomme pas les éléments n'est pas une réponse. « Une rotation » → « la rotation de centre $O$ , d'angle 60°, dans le sens des aiguilles d'une montre ». « Une translation » → « la translation qui transforme $A$ en $B$ ». « Une homothétie » → « l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2,5 ». « Une symétrie » → « la symétrie axiale d'axe $(d)$ » ou « centrale de centre $I$ ».
19. Les deux motifs ont la même taille : ce n'est pas une homothétie. Le premier test élimine la seule transformation qui change les dimensions.
20. $M_{1}$ ne peut pas être amené sur $M_{2}$ par glissement : ce n'est ni une translation, ni une rotation, puisque toutes deux se font sans retourner la feuille.
21. C'est donc une symétrie axiale. Reste à donner l'axe : c'est la médiatrice de $[P P^{'}]$ , où $P^{'}$ est l'image d'un point $P$ du motif.
22. La phrase attendue : « $M_{2}$ est l'image de $M_{1}$ par la symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[P P^{'}]$ . » Nommer sans l'axe vaut la moitié des points.
23. symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[P P^{'}]$
24. Le sens du coefficient. L'énoncé donne $\frac{1}{50}$ pour aller du réel à la maquette ; on fait l'inverse, donc $k = 50$ .
25. On écrit les trois lignes avant de choisir, et on calcule les deux coefficients séparément.
26. L'aire, en multipliant par $k^{2}$ .
27. Le volume, en multipliant par $k^{3}$ .
28. Les conversions d'aires et de volumes ne se font pas par 100. Un rang d'unité vaut $\times 100$ pour une aire, $\times 1000$ pour un volume : $1 m^{2} = 10000 cm^{2}$ et $1 m^{3} = 1000000 cm^{3}$ .
29. Réponse rédigée : la façade réelle mesure 60 m² et le bâtiment 225 m³.
30. $60 m^{2}$ et $225 m^{3}$