Programme en vigueur — arrêté du 10 avril 2025, applicable en 6ème depuis la rentrée 2025. Voir le texte
Programme 2025, 6e, Algèbre : utiliser des modèles pré-algébriques (schémas en barres) pour résoudre des problèmes algébriques ; identifier la structure d'un motif évolutif en repérant une régularité.
La règle d'or
Dans un motif qui se répète, on cherche ce qui s'ajoute à chaque étape pour prévoir n'importe quelle étape sans tout dessiner.
L'erreur que tout le monde fait
Partager 50 billes entre deux enfants dont l'un a 10 billes de plus en écrivant 50 ÷ 2 = 25 pour chacun.
Le partage en parts égales ignore l'écart imposé par l'énoncé : les deux conditions ne sont pas vérifiées en même temps.
Retirer d'abord l'écart du total (50 − 10 = 40), partager en barres égales (20 et 20), puis rajouter l'écart (20 et 30) et vérifier les deux conditions.
En algèbre, on raisonne sur des nombres qu'on ne connaît pas encore. Au lieu de calculer tout de suite, on regarde comment les quantités sont liées : « Mia a 8 billes de plus que Léo », « à chaque étape, on ajoute 3 allumettes ». Un schéma en barres ou un motif bien observé montre ces liens ; le calcul vient après, et il devient simple.
1Le schéma en barres
Définition
schéma en barres — Un schéma en barres représente chaque quantité par une barre. Deux quantités égales ont des barres de même longueur ; une quantité plus grande a une barre plus longue. Une accolade regroupe des barres et porte leur total. Un nombre inconnu s'écrit « ? » ou avec un mot : on n'a pas besoin de sa valeur pour le dessiner.
Les deux schémas de base. À gauche, deux parties forment un tout ; à droite, on compare deux quantités : la grande, c'est la petite plus l'écart.
Résoudre un problème avec un schéma en barres
Lire l'énoncé et repérer les quantités : lesquelles sont connues ? laquelle est inconnue ?
Dessiner une barre par quantité, de même longueur pour des quantités égales. Écrire sur le schéma les nombres connus : le total sur une accolade, l'écart sur un morceau de barre.
Raisonner sur le schéma : retirer l'écart du total, partager en barres égales, puis calculer.
Répondre par une phrase, puis vérifier que les nombres trouvés respectent toutes les conditions de l'énoncé.
Exemple
Léo et Mia ont 50 billes à eux deux. Mia a 8 billes de plus que Léo. Combien de billes chacun a-t-il ?
On dessine : une barre pour Léo ; pour Mia, la même barre et un morceau de 8. L'accolade porte 50.
On retire les 8 billes en trop : il reste deux barres égales.50−8=42
On partage en deux barres égales : c'est la part de Léo.42÷2=21
Mia a 8 billes de plus que Léo.21+8=29
Vérification : 21+29=50, et 29−21=8. Les deux conditions sont respectées.
Léo a 21 billes et Mia en a 29.
Le schéma est à l'échelle. Une fois le morceau de 8 retiré, il reste deux barres égales qui valent 42 à elles deux, soit 21 chacune.
Exemple
Sam a 3 fois plus de cartes que Lou. À eux deux, ils ont 48 cartes. Combien de cartes chacun a-t-il ?
« 3 fois plus » : Lou a 1 barre, Sam en a 3 identiques. En tout, il y a 1+3=4 barres égales, qui valent 48 cartes.
Une barre vaut donc :48÷4=12
Sam a 3 barres :3×12=36
Vérification : 12+36=48 et 36=3×12.
Lou a 12 cartes et Sam en a 36.
« 3 fois plus » : trois barres pour Sam, une pour Lou, toutes de la même longueur.
Piège
Partager le total en deux parts égales alors que l'un a plus que l'autre : « 50 ÷ 2 = 25, chacun a 25 billes ».
Pourquoi — avec 25 et 25, Mia n'a pas 8 billes de plus que Léo. L'écart a été oublié.
Ce que ça coûte — le résultat, et toute la suite du problème
Le réflexe — retirer d'abord l'écart du total, ensuite partager en barres égales. Puis vérifier les deux conditions.
Piège
« Sam a 3 fois plus que Lou, ensemble 48 » : calculer 48÷3=16.
Pourquoi — 48, c'est le total des deux enfants : 3 barres pour Sam et 1 pour Lou, soit 4 barres. Avec 16 et 48, le total serait 64.
Ce que ça coûte — les deux réponses, fausses toutes les deux
Le réflexe — compter toutes les barres du schéma avant de diviser.
Piège
Confondre « 8 de plus » et « 8 fois plus ».
Pourquoi — « de plus » ajoute un morceau au bout de la barre ; « fois plus » répète la barre. Ce ne sont pas les mêmes schémas, ni les mêmes calculs.
Ce que ça coûte — le modèle entier, donc tout le problème
Le réflexe — dessiner le schéma avant de choisir une opération.
2Les motifs évolutifs
Définition
motif évolutif — Un motif évolutif est une suite de figures numérotées : l'étape 1, l'étape 2, l'étape 3… Une régularité dit ce qui change d'une étape à la suivante (« on ajoute 3 allumettes »). La structure dit comment est faite n'importe quelle étape (« 1 allumette, plus 3 par carré »).
On ajoute un carré à chaque étape. Il suffit de 3 allumettes de plus (en bleu), car le carré s'appuie sur le côté du précédent.
Trouver la structure d'un motif
Compter les éléments des premières étapes et les ranger dans un tableau.
Repérer la régularité : combien en ajoute-t-on d'une étape à la suivante ? Est-ce toujours le même nombre ?
Démonter une étape : séparer ce qui ne change jamais et ce qui se répète autant de fois que le numéro de l'étape.
Écrire la règle en mots, l'appliquer à une étape lointaine, puis la vérifier sur une étape dessinée.
Une allumette de départ, puis un groupe de 3 par carré. L'étape 10 a 10 carrés, donc 10 groupes.
Exemple
Dans le motif des allumettes, combien faut-il d'allumettes pour l'étape 10 ? À quelle étape utilise-t-on 61 allumettes ?
Régularité : 4, 7, 10, 13 : on ajoute 3 à chaque étape. Structure : 1 allumette de départ, puis 3 allumettes par carré, et l'étape 10 a 10 carrés.1+3×10=31
Vérification sur l'étape 3, dessinée : 1+3×3=10. C'est bien le bon nombre.
Pour 61 allumettes, on enlève l'allumette de départ : il reste les groupes de 3.61−1=60
On cherche combien de groupes de 3 il y a dans 60 : c'est le nombre de carrés, donc le numéro de l'étape.60÷3=20
Vérification : 1+3×20=61.
Il faut 31 allumettes à l'étape 10, et 61 allumettes correspondent à l'étape 20.
La règle s'écrit d'abord en mots : « nombre d'allumettes = 1 + 3 × numéro de l'étape ». On peut abréger « numéro de l'étape » par une lettre, par exemple n : 1+3×n. La lettre remplace seulement un mot ; on apprendra à calculer avec les lettres au cycle 4.
Exemple
Dans le motif des carrés de points, combien y a-t-il de points à l'étape 5 ? à l'étape 10 ?
Structure : l'étape 5 est un carré de 5 lignes de 5 points.5×5=25
Contrôle par la régularité : on ajoute 3, 5, 7, puis 9 points.16+9=25
L'étape 10 est un carré de 10 lignes de 10 points.10×10=100
Il y a 25 points à l'étape 5 et 100 points à l'étape 10.
On ajoute 3, puis 5, puis 7 points (en bleu) : pas toujours le même nombre. La structure, elle, reste simple : un carré.
Piège
« L'étape 2 a 7 allumettes, donc l'étape 10 en a 5×7=35. »
Pourquoi — le motif n'est pas proportionnel : l'allumette de départ n'est comptée qu'une fois, pas cinq fois. La bonne réponse est 31.
Ce que ça coûte — le résultat de l'étape lointaine
Le réflexe — passer par la structure, puis vérifier la règle sur une étape dessinée.
Piège
Oublier ce qui ne change pas : « 3 allumettes par carré, donc 3×10=30 ».
Pourquoi — la première allumette, à gauche, n'appartient à aucun groupe de 3. Sur l'étape 1, la règle donnerait 3 au lieu de 4.
Ce que ça coûte — le résultat, et la règle elle-même
Le réflexe — tester la règle sur l'étape 1 : elle doit redonner le dessin.
Piège
Croire qu'on ajoute toujours le même nombre : « de 1 à 4, on ajoute 3, donc l'étape 3 a 4+3=7 points ».
Pourquoi — la régularité se vérifie sur plusieurs étapes. Ici, on ajoute 3, puis 5 : l'étape 3 a 9 points.
Ce que ça coûte — toutes les étapes suivantes
Le réflexe — calculer les ajouts entre toutes les étapes données avant de conclure.
▢Ai-je dessiné une barre par quantité, de même longueur pour des quantités égales ?
▢Ai-je retiré l'écart avant de partager, et compté toutes les barres avant de diviser ?
▢Ai-je rangé les premières étapes d'un motif dans un tableau, et vérifié la régularité sur plusieurs étapes ?
▢Ai-je démonté une étape pour trouver ce qui ne change pas et ce qui se répète ?
▢Ai-je testé ma règle sur une étape dessinée, et vérifié chaque réponse dans l'énoncé ?
L'essentiel en 6 points
·Un schéma en barres : une barre par quantité, même longueur pour des quantités égales.
·« De plus » : on ajoute un morceau. « Fois plus » : on répète la barre.
·Partage inégal : on retire l'écart, puis on partage en barres égales.
·Un motif : la régularité dit ce qu'on ajoute, la structure dit comment est faite chaque étape.
·Allumettes en carrés : 1 + 3 × numéro de l'étape. Un motif n'est pas forcément proportionnel.
·On vérifie toujours : dans l'énoncé pour un problème, sur une étape dessinée pour un motif.
2
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Fiche PDF — Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre
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a.« Dans un schéma en barres, deux quantités égales sont représentées par deux barres de même longueur. »
b.« Paul et Zoé ont 30 billes à eux deux, et Paul en a 6 de plus que Zoé : chacun en a 15. »
c.« Dans le motif des allumettes du cours (4, 7, 10, …), l'étape 6 compte 19 allumettes. »
d.« Un motif commence par 5 carrés et gagne 3 carrés à chaque étape : l'étape 4 a deux fois plus de carrés que l'étape 2. »
e.« Ana a 3 fois plus d'images que Ben, et ils en ont 40 à eux deux : Ben en a 10. »
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Vrai. C'est la règle du schéma : la longueur d'une barre représente la quantité.
b. Faux. Avec 15 et 15, Paul n'a pas 6 billes de plus. On retire l'écart, puis on partage : Zoé en a 12 et Paul 18.(30−6)÷2=12
c. Vrai. 1 allumette de départ, plus 3 par carré, et l'étape 6 a 6 carrés.1+3×6=19
d. Faux. Les étapes valent 5, 8, 11, 14 : l'étape 4 a 14 carrés, et non 2×8=16.
e. Vrai. Il y a 4 barres égales en tout : 40÷4=10. Ben en a 10 et Ana 30.
2
Le motif en croix
Représenter
a.Les étapes 1, 2 et 3 ont 5, 9 et 13 carrés. Dessine l'étape 4 sur ton quadrillage.
b.Combien de carrés ajoute-t-on d'une étape à la suivante ? Où les place-t-on ?
c.Démonte l'étape 3 : un carré au centre, et des branches. Combien de carrés y a-t-il dans chaque branche ?
d.Combien de carrés faut-il pour l'étape 20 ?
Étapes 1, 2 et 3 : 5, 9 et 13 carrés. Les carrés ajoutés sont en bleu.›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. L'étape 4 est une croix : un carré central et 4 branches de 4 carrés, soit 17 carrés.1+4×4=17
b. On ajoute 4 carrés à chaque étape : un au bout de chaque branche (5, 9, 13, 17).
c. L'étape 3 a 1 carré central et 4 branches de 3 carrés : chaque branche a autant de carrés que le numéro de l'étape.1+4×3=13
d. À l'étape 20, il faut 81 carrés.1+4×20=81
3
Le partage inégal
Modéliser
a.Deux frères se partagent 35 €. L'aîné reçoit 7 € de plus que le cadet. Dessine un schéma en barres de la situation.
b.Combien chacun reçoit-il ? Vérifie ta réponse.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Une barre pour le cadet ; pour l'aîné, la même barre et un morceau de 7 €. Une accolade sur les deux barres porte 35 €.
b. On retire les 7 € de l'aîné : il reste deux barres égales.35−7=28
Une barre, c'est la part du cadet.28÷2=14
L'aîné reçoit 7 € de plus.14+7=21
Vérification : 14+21=35 et 21−14=7. Le cadet reçoit 14 € et l'aîné 21 €.
4
À la ferme
Calculer
a.Dans une ferme, il y a 4 fois plus de poules que de canards. Il y a 85 animaux en tout, poules et canards. Dessine un schéma en barres.
b.Combien y a-t-il de canards ? de poules ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Une barre pour les canards, 4 barres identiques pour les poules. Une accolade sur les 5 barres porte 85.
b. Il y a 1+4=5 barres égales. Une barre vaut :85÷5=17
Les poules occupent 4 barres :4×17=68
Vérification : 17+68=85 et 68=4×17.
Il y a 17 canards et 68 poules.
5
Les triangles d'allumettes
Chercher
a.Les étapes 1, 2 et 3 utilisent 3, 5 et 7 allumettes. Fais un tableau du nombre d'allumettes, de l'étape 1 à l'étape 5.
b.Explique la structure : quelle allumette est à part ? combien d'allumettes ajoute-t-on par triangle ?
c.Combien faut-il d'allumettes pour l'étape 15 ?
d.Avec 41 allumettes, quelle étape peut-on construire, sans qu'il en reste ?
Étapes 1, 2 et 3 : 1, 2 puis 3 triangles en bande.›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. On ajoute 2 allumettes à chaque étape : 3, 5, 7, 9, 11.
b. La première allumette, à gauche, est à part ; chaque triangle ajoute ensuite 2 allumettes. L'étape 3 : 1+2×3=7.
c. L'étape 15 a 15 triangles :1+2×15=31
d. On enlève l'allumette à part, puis on compte les groupes de 2 :(41−1)÷2=20
Vérification : 1+2×20=41. Avec 41 allumettes, on construit l'étape 20.
6
Repère l'erreur, puis corrige
Communiquer
a.Jules : « Nina et Théo ont 64 bonbons à eux deux ; Théo en a 10 de plus que Nina. Je fais 64÷2=32 : Nina en a 32 et Théo 42. »
b.Inès : « Un motif de maisons d'allumettes a 6 allumettes à l'étape 1, et on ajoute 5 allumettes à chaque étape. L'étape 2 en a 11, donc l'étape 4 en a 2×11=22. »
c.Malo : « Un cahier coûte 3 fois plus cher qu'un crayon ; les deux ensemble coûtent 6 €. Le crayon coûte 6÷3=2 €. »
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Jules a partagé sans retirer l'écart : 32+42=74, pas 64. On retire d'abord les 10 bonbons :(64−10)÷2=27
Nina en a 27 et Théo 27+10=37. Vérification : 27+37=64.
b. Inès a cru le motif proportionnel. On ajoute 5 à chaque étape : 6, 11, 16, 21.11+5+5=21
L'étape 4 compte 21 allumettes, pas 22.
c. Malo a oublié la barre du crayon : 3 barres pour le cahier et 1 pour le crayon, soit 4 barres.6÷4=1,5
Le crayon coûte 1,50 € et le cahier 3×1,50=4,50 €. Vérification : 1,50+4,50=6.
7
La location de vélos
Modéliser
a.Pour louer un vélo, on paie 3 € une seule fois pour le casque, puis 4 € par heure. Calcule le prix pour 2 heures, puis pour 5 heures.
b.Écris en mots la règle qui donne le prix, quel que soit le nombre d'heures.
c.Combien coûtent 8 heures de location ?
d.Léna a payé 31 €. Combien d'heures a-t-elle loué le vélo ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Pour 2 heures, en euros :4×2+3=11
Pour 5 heures, en euros :4×5+3=23
b. Prix en euros = 4 × nombre d'heures + 3. Le casque ne se paie qu'une fois : c'est la partie qui ne change pas.
c. Pour 8 heures, en euros :4×8+3=35
d. On enlève le casque : il reste le prix des heures, en euros.31−3=28
On cherche combien de fois 4 € il y a dans 28 € :28÷4=7
Vérification : 4×7+3=31. Léna a loué le vélo pendant 7 heures.
8
Ciseaux et stylos
Raisonner
a.2 paires de ciseaux et 3 stylos coûtent 20 € en tout. Une paire de ciseaux coûte 2,50 € de plus qu'un stylo. Dessine un schéma en barres : une barre « stylo » pour chaque objet, et des morceaux de 2,50 €.
b.Trouve le prix d'un stylo, puis celui d'une paire de ciseaux. Vérifie.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Chaque paire de ciseaux = une barre « stylo » + un morceau de 2,50 €. On dessine donc 5 barres « stylo » (2 pour les ciseaux, 3 pour les stylos) et 2 morceaux de 2,50 €. L'accolade porte 20 €.
b. Les deux morceaux valent, en euros :2×2,50=5
On les retire du total : il reste 5 barres « stylo » égales.20−5=15
Une barre, c'est le prix d'un stylo :15÷5=3
Une paire de ciseaux, en euros :3+2,50=5,50
Vérification : 2×5,50+3×3=11+9=20.
Un stylo coûte 3 € et une paire de ciseaux 5,50 €.
Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte
Traduire l'énoncé par un schéma en barres juste2 ptsPerdu si : Barres de même longueur pour des quantités différentes, ou « 3 fois plus » dessiné comme « 3 de plus »
Résoudre un partage inégal ou un « fois plus » et vérifier2 ptsPerdu si : Diviser le total par 2 sans retirer l'écart, ou par 3 au lieu de 4 ; ne donner qu'une des deux quantités
Poursuivre un motif et repérer sa régularité1 ptPerdu si : Supposer qu'on ajoute toujours le même nombre sans l'avoir vérifié sur plusieurs étapes
Trouver la structure d'un motif et l'appliquer à une étape lointaine2 ptsPerdu si : Multiplier une étape (« étape 10 = 5 × étape 2 ») ou oublier ce qui ne change pas
Retrouver le numéro de l'étape ou la quantité de départ1 ptPerdu si : Diviser sans avoir d'abord retiré la partie fixe (allumette de départ, casque)
4
La méthode
Prolonger un motif
1
Dessiner ou écrire les trois premières étapes et compter les éléments de chacune.
2
Calculer ce qui s'ajoute d'une étape à la suivante.
3
Exprimer l'étape demandée à partir de la première et de ce qui s'ajoute.
4
Vérifier la règle sur une étape déjà dessinée.
5
Se tester
Touches 1 à 4
Les questions spécifiques à ce chapitre arrivent. En attendant, voici des questions de Mathématiques 6ème.
Mathématiques6ème
Question 1
Un coureur a parcouru les 32 d'une distance en 24 minutes. Combien de temps mettra-t-il pour parcourir la même distance à vitesse constante ?
Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.
Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre : c'est en quelle classe ?+
Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 6ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Que faut-il savoir sur Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre ?+
Programme 2025, 6e, Algèbre : utiliser des modèles pré-algébriques (schémas en barres) pour résoudre des problèmes algébriques ; identifier la structure d'un motif évolutif en repérant une régularité. Les notions à maîtriser sont : motif, régularité, suite, schéma en barres, étape, algèbre.
Où télécharger la fiche PDF de Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre ?+
Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 8 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.
Le corrigé de Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre est-il fourni ?+
Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.
Comment réviser Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre efficacement ?+
Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.
Faut-il un compte pour s'entraîner sur Motifs et régularités — Premiers pas en algèbre ?+
Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.
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