Probabilités et hasard — Premiers calculs

expérience aléatoire, issue, évènement (rappel du CM2) — Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prévoir lequel va sortir : lancer un dé, lancer une pièce, tirer une boule sans regarder, faire tourner une roue. Chaque résultat possible est une issue. Un évènement est ce qu'on attend, par exemple « obtenir un nombre pair » ; les issues qui le réalisent sont les issues favorables.

équiprobabilité — Quand toutes les issues ont la même chance de se réaliser, on parle d'équiprobabilité. C'est le cas avec un dé ou une pièce équilibrés, des boules identiques au toucher et bien mélangées, une roue partagée en secteurs de même taille.

Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. « $a$ chances sur $b$ » devient le nombre $\frac{a}{b}$, qui se lit « $a$ sur $b$ ». On peut l'écrire en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage.

Calculer une probabilité

1. Vérifier que les issues ont toutes la même chance : dé équilibré, boules identiques, secteurs égaux.
2. Compter toutes les issues : ce nombre va en bas de la fraction.
3. Compter les issues favorables : ce nombre va en haut.
4. Écrire la fraction, la simplifier si possible, puis la donner en écriture décimale ou en pourcentage si on le demande.

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

1. Les 6 faces ont la même chance : il y a 6 issues.
2. Les issues favorables sont 2, 4 et 6 : il y en a 3. « 3 chances sur 6 » s'écrit :$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5=50\%$

la probabilité d'obtenir un nombre pair est $\frac{1}{2}$, soit $0,5$ ou $50\%$.

On tire au hasard une boule dans l'urne de la figure (3 rouges, 5 bleues, 2 vertes). Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? une boule qui n'est pas verte ?

1. Il y a 10 boules, donc 10 issues : une par boule.
2. 3 boules sont rouges :$\frac{3}{10}=0,3=30\%$
3. Pas verte, c'est rouge ou bleue : $3+5=8$ boules.$\frac{8}{10}=0,8=80\%$

rouge : $\frac{3}{10}$, soit $30\%$ ; pas verte : $\frac{8}{10}$, soit $80\%$.

On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir un pile et un face ?

1. Comme au CM2, un arbre recense les issues : PP, PF, FP, FF. Ces 4 issues ont la même chance.
2. Un pile et un face : PF et FP, soit 2 issues favorables.$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5$

la probabilité est $\frac{1}{2}$, et non $\frac{1}{3}$ : « deux piles », « deux faces » et « un de chaque » n'ont pas la même chance.

Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 : le nombre d'issues favorables ne peut pas dépasser le nombre total d'issues. Un évènement impossible a pour probabilité 0 ; un évènement certain a pour probabilité 1. En pourcentage, une probabilité va de 0 % à 100 %.

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir 7 ? d'obtenir un nombre plus petit que 7 ?

1. Aucune face ne porte 7 : 0 issue favorable sur 6.$\frac{0}{6}=0$
2. Les 6 faces portent un nombre plus petit que 7 :$\frac{6}{6}=1$

obtenir 7 est impossible (probabilité 0) ; obtenir moins de 7 est certain (probabilité 1).

Comparer deux probabilités

1. Calculer chaque probabilité sous forme de fraction.
2. Les écrire de la même façon : même dénominateur, écriture décimale ou pourcentage.
3. La plus grande désigne l'évènement qui a le plus de chances de se réaliser.

Sac A : 2 billes gagnantes sur 5 billes. Sac B : 3 billes gagnantes sur 10. Dans quel sac vaut-il mieux tirer ?

1. Sac A :$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4$
2. Sac B :$\frac{3}{10}=0,3$
3. $0,4$ est plus grand que $0,3$.

il vaut mieux tirer dans le sac A (40 %), même s'il contient moins de billes gagnantes que le sac B (30 %).

fréquence — On répète une expérience un certain nombre de fois et on compte combien de fois l'évènement s'est produit. La fréquence de l'évènement est le quotient de ce nombre par le nombre d'essais. Comme une probabilité, c'est un nombre entre 0 et 1, en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. Mais la probabilité se calcule avant de jouer ; la fréquence s'observe après.

La fréquence change d'une série d'essais à l'autre : c'est le hasard. Sur peu d'essais, elle peut être loin de la probabilité sans que rien ne soit anormal. Quand le nombre d'essais devient grand, la fréquence se rapproche, en général, de la probabilité. Sur la figure, 200 lancers d'une pièce : 9 piles sur les 10 premiers ($0,9$), puis 96 sur 200 ($0,48$).

Comparer des résultats à une probabilité

1. Calculer la probabilité de l'évènement.
2. Calculer la fréquence observée : nombre de fois où l'évènement s'est produit, divisé par le nombre d'essais.
3. Écrire les deux nombres de la même façon, en écriture décimale ou en pourcentage, et les comparer.
4. Conclure avec prudence : un écart sur peu d'essais est normal ; un grand écart sur beaucoup d'essais fait douter que les issues aient la même chance (dé truqué, boules mal mélangées).

Zoé lance 50 fois un dé et obtient 9 fois le 6. Compare la fréquence du 6 à sa probabilité.

1. Avec un dé équilibré, la probabilité d'obtenir 6 est $\frac{1}{6}$ :$\frac{1}{6}\approx 0,17$
2. Fréquence observée du 6 :$\frac{9}{50}=\frac{18}{100}=0,18=18\%$
3. $0,18$ et environ $0,17$ sont très proches.

les résultats de Zoé sont tout à fait compatibles avec un dé équilibré.