Fiche à trous · Première · Enseignement scientifique

Nuage de points — Ajustement affine et point moyen

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

On croise maintenant deux caractères : qualitatifs, dans un tableau où l'on compare des proportions ; quantitatifs, par un nuage de points. Et tout le chapitre tient dans une phrase : quand le nuage est allongé, on le remplace par une droite qui passe par le point moyen $G (\overline{x}; \overline{y})$ , et cette droite sert à estimer des valeurs inconnues, avec prudence dès qu'on sort des données.

Croiser deux caractères qualitatifs

Définition — tableau croisé d'effectifs :

Exemple

Enquête fictive auprès de 400 lycéens : sur les 250 qui pratiquent un sport en club, 160 passent moins de 3 h par jour devant un écran ; sur les 150 autres, 45. Les sportifs passent-ils moins de temps devant les écrans ?

Résultat :

Comparer deux groupes dans un tableau croisé

Piège

Comparer les effectifs : « 90 sportifs et 105 non-sportifs passent 3 h ou plus devant un écran, la différence est faible. »

dès que les groupes ont des tailles différentes, passer aux proportions.

Piège

Pour « la proportion de sportifs parmi les élèves à moins de 3 h », calculer $\frac{160}{250} = 64$ %.

le mot « parmi » désigne le groupe de référence ; son effectif est le dénominateur.

Deux caractères quantitatifs : nuage de points et point moyen

Définition — nuage de points :

Définition — point moyen :

Exemple

Population d'une ville, en milliers d'habitants (données fictives), avec $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2000 : $ann \overset{e}{ˊ} e x y 20000 42, 1 20044 43, 0 20088 44, 5 201212 45, 6 201616 46, 7 202020 48, 1$ Calculer les coordonnées du point moyen.

Résultat :

15.

Avec un tableur

Piège

Prendre pour $G$ le milieu du premier et du dernier point : $(10; 45, 1)$ .

additionner toutes les valeurs, et diviser par leur nombre.

Piège

Lire sur la figure de gauche que la population a été « multipliée par près de 4 », le dernier point étant presque quatre fois plus haut que le premier.

avant toute lecture, repérer l'origine du repère et les unités des graduations.

Ajuster le nuage par une droite

Définition — ajustement affine :

19.

Propriété

Équation de la droite passant par deux points A et B

Exemple

Déterminer la droite de Mayer du nuage de la ville.

Résultat :

Piège

Calculer le coefficient directeur à l'envers : $a = \frac{16 - 4}{46 , 8 - 43 , 2} \approx 3, 33$ .

« $y$ en haut » : $a$ est la variation de $y$ divisée par celle de $x$ . Puis contrôler que $G$ vérifie l'équation.

Interpoler, extrapoler

Définition — interpolation, extrapolation :

Estimer une valeur avec la droite d'ajustement

Exemple

Avec la droite $y = 0, 3 x + 42$ , estimer la population de la ville en 2014, puis en 2030.

Résultat :

36.

Piège

Remplacer $x$ par l'année elle-même : $0, 3 \times 2030 + 42 = 651$ milliers d'habitants en 2030.

relire la définition de $x$ avant de remplacer, et confronter le résultat à l'ordre de grandeur des données.

Dans un tableau croisé, ai-je comparé des proportions, en divisant par la marge du groupe désigné par « parmi » ?
Ai-je repéré l'origine et les graduations des axes avant de lire un graphique ?
Mon point moyen utilise-t-il toutes les valeurs ? Mon $a$ est-il la variation de $y$ sur celle de $x$ , et $G$ vérifie-t-il l'équation ?
Ai-je remplacé $x$ par la bonne valeur et dit si j'interpole ou si j'extrapole ?

Corrigé · à détacher

Nuage de points — Ajustement affine et point moyen

1. On observe deux caractères sur chaque individu d'une population. Un caractère est qualitatif quand ses valeurs sont des catégories (oui ou non, un mode de transport) ; un caractère quantitatif s'y ramène en regroupant ses valeurs en classes (moins de 3 h, 3 h ou plus). Le tableau croisé d'effectifs compte, dans chaque case, les individus qui ont à la fois la catégorie de la ligne et celle de la colonne. La dernière ligne et la dernière colonne, les marges, donnent les totaux.
2. Chaque ligne s'additionne : $250 - 160 = 90$ sportifs et $150 - 45 = 105$ non-sportifs passent 3 h ou plus. Marge du bas : $160 + 45 = 205$ et $90 + 105 = 195$ . Contrôle du total :
3. Les groupes n'ont pas la même taille : on compare des proportions. Parmi les sportifs :
4. 64 % des sportifs passent moins de 3 h par jour devant un écran, contre 30 % des non-sportifs : dans cette enquête, les sportifs passent nettement moins de temps devant les écrans.
5. À gauche, le tableau complété et ses marges. À droite, un diagramme en barres à 100 % : une barre par groupe, ce qui rend les deux groupes comparables malgré leurs tailles différentes.
6. Repérer les groupes à comparer : ce sont des lignes, ou des colonnes, du tableau.
7. Pour chaque groupe, diviser l'effectif de la case par la marge de ce groupe, jamais par l'effectif total.
8. Comparer les proportions, puis conclure par une phrase sur la situation. Pour les montrer, un diagramme en barres à 100 % ou un diagramme circulaire par groupe ; dans un diagramme circulaire, l'angle d'un secteur vaut fréquence × 360°.
9. Deux caractères quantitatifs $x$ et $y$ , mesurés sur $n$ individus, donnent $n$ couples $(x_{1}; y_{1})$ , …, $(x_{n}; y_{n})$ . Dans un repère, les points $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ forment le nuage de points de la série. Pour une série chronologique, le temps se place en abscisse.
10. Le point moyen du nuage est le point $G$ dont l'abscisse est la moyenne des $x_{i}$ et l'ordonnée la moyenne des $y_{i}$ . Il résume le nuage en un seul point, mais il n'est en général pas l'un de ses points.
11. $G (\overline{x}; \overline{y}) avec \overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} et \overline{y} = \frac{y _{1} + y _{2} + \dots + y _{n}}{n}$
12. Moyenne des abscisses, les six valeurs :
13. Moyenne des ordonnées :
14. $G (10; 45)$  : l'année 2010, et une population moyenne de 45 milliers d'habitants sur les six relevés. Aucun point du nuage n'est en $G$ .
15. À gauche, le nuage de la ville et son point moyen $G$ , axe vertical gradué à partir de 40. À droite, les mêmes points avec un axe qui part de 0 : la hausse réelle est modeste.
16. Saisir les $x_{i}$ en A2:A7 et les $y_{i}$ en B2:B7, sélectionner les deux colonnes et insérer un graphique « nuage de points » (ou « XY »). Vérifier l'origine et les graduations choisies par le logiciel.
17. Dans deux cellules libres, taper =MOYENNE(A2:A7) et =MOYENNE(B2:B7) : ce sont les coordonnées de $G$ .
18. Quand les points du nuage sont à peu près alignés, on dit que le nuage est allongé, et on peut le remplacer par une droite d'ajustement d'équation $y = a x + b$ , qui passe au plus près des points. C'est un modèle : il décrit une tendance, sans en donner la cause, et il ne passe en général exactement par aucun point.
19. Avant tout calcul, regarder la forme du nuage : seule la première justifie une droite.
20. Plusieurs droites d'ajustement existent, qui ne coïncident pas tout à fait ; aucune théorie n'est attendue. Au jugé : à la règle, une droite qui suit le nuage en laissant à peu près autant de points de chaque côté. Droite de Mayer : on range les points par abscisses croissantes, on les partage en deux groupes de même effectif (à un près), et la droite passe par les points moyens $G_{1}$ et $G_{2}$ des deux groupes. Moindres carrés : la droite que trace le tableur quand on ajoute au nuage une « courbe de tendance » linéaire, équation affichée. Les droites de Mayer et des moindres carrés passent par le point moyen $G$ (admis) : on fait passer la droite au jugé par $G$ , elle aussi. Pour la ville, le tableur affiche $y = 0, 3014 x + 41, 986$ , et $0, 3014 \times 10 + 41, 986 = 45$  : elle passe bien par $G (10; 45)$ , tout près de la droite de Mayer calculée ci-dessous.
21. Coefficient directeur : la variation de $y$ divisée par la variation de $x$ .
22. Ordonnée à l'origine : $A$ est sur la droite, donc $y_{A} = a x_{A} + b$ , d'où $b = y_{A} - a x_{A}$ .
23. Contrôler avec le second point, ou avec $G$  : ses coordonnées doivent vérifier l'équation.
24. Groupe 1, les trois premiers points : abscisse moyenne $\frac{0 + 4 + 8}{3} = 4$ , ordonnée moyenne :
25. Groupe 2, les trois derniers : abscisse moyenne $\frac{12 + 16 + 20}{3} = 16$ , ordonnée moyenne :
26. Coefficient directeur de $(G_{1} G_{2})$ , avec $G_{1} (4; 43, 2)$ et $G_{2} (16; 46, 8)$  :
27. Ordonnée à l'origine, avec $G_{1}$  :
28. La droite de Mayer a pour équation $y = 0, 3 x + 42$  : selon ce modèle, la ville gagne environ 0,3 millier d'habitants, soit 300 habitants, par an.
29. Estimer une valeur inconnue à l'aide de la droite d'ajustement, c'est interpoler si la valeur de $x$ est à l'intérieur de l'intervalle des données, et extrapoler si elle est à l'extérieur. Extrapoler suppose que la tendance observée se poursuit : c'est une hypothèse, d'autant plus fragile qu'on s'éloigne des données. Loin d'elles, une droite peut même donner des valeurs absurdes, comme une quantité négative.
30. Traduire la question en valeur de $x$ , en relisant ce que $x$ représente : ici, le nombre d'années depuis 2000.
31. Remplacer $x$ dans l'équation ; pour une valeur de $y$ donnée, résoudre $a x + b = y$ .
32. Conclure dans l'unité de la situation, en précisant interpolation ou extrapolation ; une extrapolation s'énonce au conditionnel.
33. 2014 donne $x = 14$ , dans l'intervalle $[0; 20]$ des données : interpolation.
34. 2030 donne $x = 30$ , hors de l'intervalle : extrapolation.
35. Environ 46 200 habitants en 2014 ; environ 51 000 en 2030, mais c'est une extrapolation : seulement si la tendance se poursuit.
36. La droite de Mayer passe par $G_{1}$ , $G$ et $G_{2}$ . En trait plein, là où sont les données ; en pointillés, son prolongement, qui n'est plus qu'une hypothèse.

Croiser deux caractères qualitatifs

Deux caractères quantitatifs : nuage de points et point moyen

Ajuster le nuage par une droite

Interpoler, extrapoler

Deux caractères quantitatifs : nuage de points et point moyen