Fiche à trous · Première · Enseignement scientifique

Modèle linéaire — Suites arithmétiques et fonctions affines

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Un capital placé à intérêts simples, un motif qui gagne quatre carreaux à chaque étape, une température convertie d'une échelle à l'autre : à chaque pas, la grandeur varie de la même quantité. C'est la croissance linéaire, et tout le chapitre tient dans une phrase : on ajoute toujours le même nombre $r$  ; la suite est alors arithmétique, $u (n) = u (0) + n \times r$ , et ses points sont alignés. La fonction affine en est la version continue.

Une suite : une grandeur qui évolue pas à pas

Définition — suite numérique, modes de génération :

Exemple

Pour ces motifs en croix, exprimer $u (n + 1)$ en fonction de $u (n)$ , puis $u (n)$ en fonction de $n$ . Combien de carreaux compte le motif de rang 25 ?

Résultat :

Piège

Confondre $u (n + 1)$ et $u (n) + 1$ .

entre les parenthèses, le rang ; en dehors, la valeur.

Les suites arithmétiques

Définition — suite arithmétique :

Propriété

Reconnaître et justifier une croissance linéaire

Exemple

Un capital de 1 500 € est placé à intérêts simples au taux annuel de 2 % : chaque année, il rapporte 2 % du capital initial, ajoutés au compte. On note $C (n)$ la somme sur le compte au bout de $n$ années. Exprimer $C (n)$ , puis calculer $C (8)$ .

Résultat :

Piège

Calculer les intérêts simples sur la somme de l'année précédente : $1500 \times 1, 02$ , puis $1530 \times 1, 02$ …

se demander : ajoute-t-on une quantité fixe, ou multiplie-t-on par un coefficient fixe ?

Piège

Écrire $u (n) = u (1) + n \times r$ pour une suite qui commence au rang 1.

tester la formule sur le premier terme : elle doit le redonner.

Sens de variation et représentation graphique

Propriété

17.

Représenter les termes d'une suite

Piège

Relier les points par un trait continu, puis lire $u (2, 5)$ .

des croix pour une suite ; un trait continu pour une fonction.

Fonctions affines : la croissance linéaire continue

Propriété

Tracer une droite, lire son équation

Exemple

La droite ci-contre donne la température $F$ en degrés Fahrenheit en fonction de la température $C$ en degrés Celsius. Elle passe par $(0; 32)$ et $(100; 212)$ : la glace fond à 0 °C, soit 32 °F, et l'eau bout à 100 °C, soit 212 °F, sous pression atmosphérique normale. Lire son équation, puis convertir 37 °C.

Résultat :

27.

Piège

Calculer le coefficient directeur à l'envers : $\frac{100 - 0}{212 - 32}$ .

« ce qui monte sur ce qui avance » : les $y$ en haut, les $x$ en bas.

Linéaire n'est pas proportionnel. Avec $p \neq = 0$ , 20 °C font 68 °F, mais 40 °C ne font pas le double : ils font 104 °F. Ce sont les variations qui sont proportionnelles : 20 °C de plus donnent toujours 36 °F de plus.

Résoudre un problème de seuil

Chercher un seuil

Exemple

Avec $C (n) = 1500 + 30 n$ , au bout de combien d'années la somme dépassera-t-elle 2 000 € ?

Résultat :

34.

Piège

Arrondir $n > 16, 67$ à l'entier le plus proche : « 16 ans ».

calculer le terme du rang trouvé et celui du rang précédent.

Piège

De $- 150 n < - 1900$ , conclure $n < \frac{1 900}{150}$ .

devant un négatif, retourner l'inégalité, puis contrôler avec le sens de variation.

Phrase de l'énoncé citée : on ajoute la même quantité ?
Formule explicite testée sur le premier terme ?
Sens de variation justifié par le signe de $r$ ou de $m$  ?
Points isolés ; coefficient directeur $y$ sur $x$  ?
Seuil : plus petit entier, rang précédent vérifié ?

Corrigé · à détacher

Modèle linéaire — Suites arithmétiques et fonctions affines

1. Une suite associe à chaque entier naturel $n$ un nombre $u (n)$ , le terme de rang $n$  ; on écrit aussi $u_{n}$ , et $(u_{n})$ désigne la suite entière. Elle modélise une grandeur qui évolue par étapes (chaque année, chaque motif) : un phénomène discret. Une grandeur qui varie à chaque instant est un phénomène continu, modélisé par une fonction. La suite est définie de façon explicite si $u (n)$ est donné par une formule en $n$ : on calcule directement n'importe quel terme. Elle est définie par récurrence si l'on donne le premier terme et la règle qui donne $u (n + 1)$ à partir de $u (n)$ : pour atteindre $u (10)$ , il faut calculer tous les termes précédents.
2. Le motif de rang $n$ compte $u (n)$ carreaux. D'un rang au suivant, on ajoute un carreau au bout de chacune des quatre branches (en bleu).
3. Récurrence : on ajoute 4 carreaux à chaque rang, donc $u (0) = 1$ et $u (n + 1) = u (n) + 4$ .
4. Formule explicite : le carreau central, plus $n$ carreaux sur chacune des 4 branches, donc $u (n) = 1 + 4 n$ . Contrôle :
5. Sans calculer les 24 motifs intermédiaires :
6. Le motif de rang 25 compte 101 carreaux.
7. Une suite est arithmétique s'il existe un nombre $r$ , appelé raison, tel que, pour tout entier naturel $n$ , $u (n + 1) = u (n) + r$ . On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre : l'écart $u (n + 1) - u (n)$ est constant, égal à $r$ . C'est le modèle d'une croissance linéaire discrète.
8. $u (n + 1) = u (n) + r$
9. Terme de rang $n$ (démontré). Si $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ , alors, pour tout entier naturel $n$ , $u (n) = u (0) + n \times r$ . Démonstration : on additionne les $n$ égalités $u (1) - u (0) = r$ , $u (2) - u (1) = r$ , …, $u (n) - u (n - 1) = r$  ; les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux, il reste $u (n) - u (0) = n \times r$ . De même, entre les rangs $p$ et $n$ il y a $n - p$ pas : $u (n) = u (p) + (n - p) \times r$ . Si la suite commence au rang 1 : $u (n) = u (1) + (n - 1) \times r$ .
10. Dans un énoncé, citer la phrase qui dit que l'on ajoute (ou retire) la même quantité à chaque étape.
11. Pour une formule, calculer $u (n + 1) - u (n)$ avec $n$ quelconque : s'il ne dépend pas de $n$ , la suite est arithmétique de cette raison.
12. Pour une liste de valeurs, calculer les écarts : un seul écart différent prouve que la suite n'est pas arithmétique ; des écarts égaux ne font que le suggérer.
13. Les intérêts portent sur le capital initial : ils sont les mêmes chaque année, en euros :
14. On ajoute 30 € par an : $C (n + 1) = C (n) + 30$ . Suite arithmétique de premier terme $C (0) = 1500$ et de raison 30, donc $C (n) = 1500 + 30 n$ , et
15. $C (n) = 1500 + 30 n$  ; au bout de 8 ans, le compte affiche 1 740 €.
16. Sens de variation (démontré). Une suite arithmétique de raison $r$ est croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ : en effet, $u (n + 1) - u (n) = r$ pour tout $n$ . Représentation. On représente une suite par les points isolés $(n; u (n))$ . Pour une suite arithmétique, ces points sont alignés sur la droite d'équation $y = r x + u (0)$  ; on ne les relie pas, car entre deux rangs entiers la suite n'a pas de valeur. Ci-contre, $u (n) = 2 + 1, 5 n$ monte de $1, 5$ à chaque pas, $v (n) = 10 - 2 n$ descend de 2.
17. Les pointillés montrent l'alignement ; ils ne font pas partie du tracé.
18. Dresser un tableau de valeurs $n$ , $u (n)$ , puis choisir les unités des axes ; un axe peut ne pas partir de 0, à condition de le signaler.
19. Placer les points $(n; u (n))$ par des croix, sans les relier. Alignés, avec des écarts verticaux égaux : la croissance est linéaire.
20. Rappel de seconde. Une fonction affine $f (x) = m x + p$ a pour représentation la droite d'équation réduite $y = m x + p$ : $m$ est le coefficient directeur, $p$ l'ordonnée à l'origine ( $f (0) = p$ ). Elle est croissante si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ , constante si $m = 0$ . Taux d'accroissement (démontré). Pour $a \neq = b$ , $f (b) - f (a) = (mb + p) - (ma + p) = m (b - a)$ , donc $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = m$ : le taux est constant, quand $x$ augmente de 1, $f (x)$ augmente toujours de $m$ . C'est la raison d'une suite arithmétique, en continu : $u (n) = u (0) + r n$ est la fonction affine $x \mapsto r x + u (0)$ prise aux entiers.
21. Tracer $y = m x + p$ : placer $(0; p)$ , puis avancer de 1 et monter de $m$ (descendre si $m < 0$ ) ; relier les deux points.
22. Coefficient directeur de $(A B)$ : $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , déplacement vertical sur déplacement horizontal.
23. Lire l'équation réduite : $p$ là où la droite coupe l'axe des ordonnées, $m$ en divisant la montée par l'avancée.
24. Coefficient directeur :
25. La droite coupe l'axe des ordonnées en 32 : $p = 32$ , d'où $F = 1, 8 C + 32$ , et
26. $F = 1, 8 C + 32$  ; 37 °C correspondent à 98,6 °F.
27. Avancée de 100, montée de 180 : $m = 1, 8$ .
28. Traduire la question par une inéquation : « dépasser 2 000 € » s'écrit $C (n) > 2000$ .
29. Remplacer le terme par son expression et résoudre ; diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
30. Prendre le plus petit entier qui convient, puis vérifier des deux côtés : ce rang franchit le seuil, le précédent non.
31. On résout $1500 + 30 n > 2000$ , soit $30 n > 500$ . On divise par 30, positif, sans changer le sens :
32. Le plus petit entier qui convient est 17. Vérification :
33. La somme dépasse 2 000 € au bout de 17 années.
34. $C (14)$ à $C (18)$  ; l'axe vertical part de 1 900 €.