Fiche à trous · Première · Enseignement scientifique

Arbres pondérés — Probabilités conditionnelles et indépendance

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Un test peut détecter 95 % des malades et, pourtant, la plupart des personnes dont le test est positif peuvent ne pas être malades. Tout tient dans une phrase : $P_{A} (B)$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ , se calcule parmi les seuls cas où $A$ est réalisé — ce n'est ni $P (A \cap B)$ , ni $P_{B} (A)$ . Tableau croisé et arbre pondéré servent à ne pas les confondre, puis à étudier l'indépendance et la répétition d'une expérience.

Probabilité conditionnelle et tableau croisé

Définition — évènements, contraire, intersection (rappels) :

Définition — probabilité conditionnelle :

Propriété

Lire une probabilité dans un tableau croisé

Exemple

Sur 10 000 personnes, 2 % ont une maladie ( $M$ ). Un test est positif ( $T$ ) chez 95 % des malades et chez 10 % des non-malades. On en tire le tableau ci-dessus. On choisit une personne au hasard : calculer $P (M \cap T)$ , $P_{M} (T)$ et $P_{T} (M)$ .

Résultat :

Piège

Calculer la probabilité d'être « malade et positif » par $\frac{190}{200}$ .

« et » : effectif total au dénominateur ; « parmi » : effectif de la condition.

L'arbre pondéré

Règle

Définition — faux positif, faux négatif :

18.

Construire et exploiter un arbre pondéré

Exemple

Avec l'arbre ci-dessus, où $P (M) = 0, 02$ , $P_{M} (T) = 0, 95$ et $P_{\overline{M}} (T) = 0, 10$ , calculer $P (T)$ , puis $P_{T} (M)$ .

Résultat :

Piège

Répondre $0, 95$ à la question « le test d'une personne est positif : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? ».

souligner la condition (« sachant », « parmi », « si ») : elle va en indice, en bas du $P$ .

Piège

Écrire $0, 019$ sur la branche qui va de $M$ à $T$ .

vérifier qu'à chaque nœud les branches totalisent 1.

Piège

Multiplier deux chemins, ou additionner le long d'un chemin : $P (T) = 0, 019 \times 0, 098$ .

× le long d'un chemin, + entre les chemins ; une probabilité supérieure à 1 signale toujours une erreur.

Évènements indépendants

Définition — évènements indépendants :

Propriété

Justifier ou utiliser l'indépendance

Exemple

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes : 4 couleurs de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). $A$  : « c'est un cœur » ; $B$  : « c'est un as ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Résultat :

Piège

Dire que deux évènements incompatibles sont indépendants, « puisqu'ils n'ont rien en commun ».

incompatibles : $P (A \cap B) = 0$  ; indépendants : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . Deux notions, deux calculs.

Répéter une épreuve de Bernoulli

Définition — épreuve de Bernoulli, répétition :

Propriété

37.

Calculer avec n épreuves de Bernoulli

Exemple

On joue trois parties de pierre-feuille-ciseaux contre un adversaire qui joue au hasard, sans tenir compte des parties précédentes. Quel que soit notre coup, un seul de ses trois coups nous fait gagner. Probabilité de gagner exactement deux parties ? au moins une ?

Résultat :

Piège

Tirer deux boules sans remise et multiplier comme si les tirages étaient indépendants.

avec remise : mêmes probabilités à chaque tirage ; sans remise : arbre pondéré, avec des probabilités conditionnelles qui changent.

Piège

« Au moins un 6 en trois lancers de dé : $3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ . »

passer par le contraire : $1 - (\frac{5}{6})^{3} = \frac{91}{216} \approx 0, 42$ .

Piège

Après cinq « pile » de suite, parier sur « face » : « il doit finir par sortir ».

dans une répétition indépendante, chaque niveau de l'arbre porte les mêmes probabilités, quel que soit le chemin déjà parcouru.

Modèle et réalité. Une loi de probabilité est une hypothèse du modèle, elle ne se démontre pas : on suppose une pièce équilibrée, par symétrie. Le lien avec la réalité est la loi des grands nombres, ici dans une version simplifiée : quand on répète une expérience un grand nombre de fois, de façon indépendante, la fréquence observée d'un évènement se rapproche de sa probabilité. Une simulation (lancers de pièce, tirages avec remise dans une urne) le montre : la fréquence fluctue, puis se stabilise. Ce calcul des chances est né au XVII^e siècle, dans les lettres de Pascal et Fermat sur le partage équitable des mises d'une partie interrompue : le « problème des partis ».

46.

Ai-je souligné la condition (« sachant », « parmi », « si ») pour choisir entre $P (A \cap B)$ , $P_{A} (B)$ et $P_{B} (A)$  ?
Mon arbre a-t-il des branches de somme 1 à chaque nœud, et des probabilités conditionnelles au second niveau ?
Ai-je justifié l'indépendance par un calcul exact, sans la confondre avec l'incompatibilité ?
Pour une répétition, ai-je dit pourquoi les épreuves sont identiques et indépendantes, et compté tous les chemins ?

Corrigé · à détacher

Arbres pondérés — Probabilités conditionnelles et indépendance

1. Pour deux évènements $A$ et $B$ , l'évènement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand les deux le sont ; le contraire $\overline{A}$ est réalisé quand $A$ ne l'est pas, et $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ . Quand on choisit au hasard un individu dans un effectif de $N$ , les issues sont équiprobables : $P (A)$ est l'effectif de $A$ divisé par $N$ .
2. Soit $A$ et $B$ deux évènements, avec $P (A) \neq = 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est la probabilité que $B$ soit réalisé quand on sait que $A$ l'est. On la note $P_{A} (B)$ et on la définit par la formule ci-dessous. Elle se lit « parmi les $A$ , la part des $B$ » : on ne regarde plus que les cas où $A$ est réalisé.
3. $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$
4. Conséquence (démontrée) : en multipliant les deux membres de la définition par $P (A)$ , on obtient la formule ci-dessous, qui sert à calculer une intersection. Dans un tableau croisé, si l'individu est choisi au hasard, les deux quotients par $N$ se simplifient : $P_{A} (B)$ est l'effectif de $A \cap B$ divisé par l'effectif de $A$ .
5. $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$
6. Traduire la question. « $A$ et $B$ », « à la fois » : c'est $P (A \cap B)$ , on divise par l'effectif total. « Parmi les $A$ », « sachant $A$ », « si $A$ » : c'est $P_{A} (B)$ , on divise par l'effectif de $A$ .
7. Repérer la case de $A \cap B$ , au croisement de la ligne et de la colonne.
8. Diviser par le bon total : celui de toute la population, ou celui de la seule ligne, ou de la seule colonne, de la condition.
9. Le même tableau, deux conditions : la ligne $M$ (200 malades) pour $P_{M} (T)$ , la colonne $T$ (1 170 positifs) pour $P_{T} (M)$ . Le numérateur est le même, 190 ; le dénominateur change tout.
10. On remplit le tableau : $0, 02 \times 10000 = 200$ malades, dont 95 % positifs, et $0, 10 \times 9800 = 980$ non-malades positifs.
11. « $M$ et $T$ » : on divise par l'effectif total.
12. « Sachant $M$ » : on ne garde que la ligne des 200 malades.
13. « Sachant $T$ » : on ne garde que la colonne des 1 170 positifs.
14. $P (M \cap T) = 0, 019$ et $P_{M} (T) = 0, 95$ , mais $P_{T} (M) \approx 0, 16$  : seuls 16 % environ des positifs sont malades.
15. Un arbre pondéré décrit une situation en deux temps. Le premier niveau porte $P (A)$ et $P (\overline{A})$  ; le second, les probabilités conditionnelles $P_{A} (B)$ , $P_{A} (\overline{B})$ , $P_{\overline{A}} (B)$ , $P_{\overline{A}} (\overline{B})$ . Trois règles l'exploitent. 1. Les branches issues d'un même nœud ont des probabilités de somme 1. 2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : c'est $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ . 3. La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $B$ est réalisé par $A \cap B$ ou par $\overline{A} \cap B$ , qui ne peuvent pas se produire ensemble, donc leurs probabilités s'ajoutent.
16. $P (B) = P (A) \times P_{A} (B) + P (\overline{A}) \times P_{\overline{A}} (B)$
17. Pour un test de dépistage, un faux positif est une personne non malade dont le test est positif : c'est l'évènement $\overline{M} \cap T$ . Un faux négatif est une personne malade dont le test est négatif : $M \cap \overline{T}$ .
18. La situation du tableau croisé, en arbre. Les deux chemins rouges mènent à $T$  : $P (T) = 0, 019 + 0, 098 = 0, 117$ .
19. Choisir le premier niveau : l'évènement dont l'énoncé donne la probabilité sans condition (« 2 % de la population est malade »).
20. Traduire chaque « parmi » en probabilité conditionnelle, au second niveau : « 95 % des malades ont un test positif » donne $P_{M} (T) = 0, 95$ . Compléter chaque nœud pour que ses branches totalisent 1.
21. Multiplier le long d'un chemin ; additionner les chemins qui mènent à l'évènement cherché.
22. Pour une probabilité « à l'envers », comme $P_{T} (M)$ quand l'arbre commence par $M$ , revenir à la définition : $P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )}$ .
23. $T$ est au bout de deux chemins, « malade et positif » et « non malade et positif » (les faux positifs). On multiplie le long de chacun, puis on additionne.
24. On revient à la définition ; on retrouve le résultat du tableau croisé.
25. $P (T) = 0, 117$ et $P_{T} (M) \approx 0, 16$  : environ un positif sur six est malade, car les faux positifs, tirés de 98 % de la population, sont environ cinq fois plus nombreux que les vrais.
26. Soit $A$ et $B$ deux évènements, avec $P (B) \neq = 0$ . $A$ et $B$ sont indépendants si $P_{B} (A) = P (A)$  : savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$ .
27. Propriété (démontrée). Si $P (A) \neq = 0$ et $P (B) \neq = 0$ , ces trois égalités sont équivalentes : $P_{B} (A) = P (A)$  ; $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$  ; $P_{A} (B) = P (B)$ . Démonstration : $P_{B} (A) = P (A)$ s'écrit $\frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = P (A)$ , soit, en multipliant par $P (B) \neq = 0$ , l'égalité ci-dessous. Elle ne change pas si l'on échange $A$ et $B$  ; divisée par $P (A) \neq = 0$ , elle donne $P_{A} (B) = P (B)$ . L'indépendance est donc symétrique.
28. $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$
29. Pour justifier, calculer séparément $P (A \cap B)$ et $P (A) \times P (B)$ , en valeurs exactes, puis comparer. Égales : $A$ et $B$ sont indépendants. Différentes : ils ne le sont pas.
30. Ou bien comparer $P_{B} (A)$ à $P (A)$  : c'est la définition, et souvent le calcul le plus parlant.
31. Pour utiliser l'indépendance, quand l'énoncé la donne ou que la situation l'impose (lancers successifs, tirages avec remise), multiplier : $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ . C'est une hypothèse du modèle : on l'écrit.
32. 8 cœurs, 4 as, et un seul as de cœur : $P (A) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ , $P (B) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ et $P (A \cap B) = \frac{1}{32}$ . On compare au produit :
33. $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$  : $A$ et $B$ sont indépendants. Savoir que la carte est un as n'apprend rien sur sa couleur.
34. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$ , de probabilité $p$ , et l'échec $E$ (noté aussi $\overline{S}$ ), de probabilité $1 - p$ . On répète $n$ fois la même épreuve, de façon identique (même $p$ à chaque fois) et indépendante (aucun résultat n'influe sur les autres) : lancers successifs d'une pièce ou d'un dé, tirages avec remise dans une urne.
35. Propriété (admise). Dans l'arbre de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chaque niveau répète les mêmes branches : $p$ vers $S$ , $1 - p$ vers $E$ . Un chemin de $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité le produit ci-dessous, quel que soit l'ordre des succès. Pour « exactement $k$ succès », on compte ces chemins sur l'arbre ( $n \leq 4$ ) et l'on additionne.
36. $p^{k} \times (1 - p)^{n - k}$
37. Trois épreuves identiques et indépendantes, $p = \frac{1}{3}$  : huit chemins, de somme $\frac{27}{27} = 1$ . Les trois chemins à deux succès ont la même probabilité $\frac{2}{27}$ .
38. Identifier l'épreuve, le succès, sa probabilité $p$ et le nombre $n$ de répétitions ; justifier qu'elles sont identiques et indépendantes.
39. Dessiner l'arbre ( $n \leq 4$ , soit au plus 16 chemins) et repérer les chemins qui réalisent l'évènement.
40. Additionner leurs probabilités : tous les chemins à $k$ succès ont la même.
41. Pour « au moins un succès », passer par le contraire, « aucun succès », qui ne compte qu'un chemin : $1 - (1 - p)^{n}$ .
42. Succès : « gagner la partie », $p = \frac{1}{3}$  ; trois épreuves identiques et indépendantes. Deux succès, un échec : trois chemins, $S S E$ , $S E S$ et $E S S$ , chacun de probabilité :
43. On additionne les trois chemins.
44. « Au moins une victoire » est le contraire du seul chemin $E E E$ .
45. deux victoires exactement avec la probabilité $\frac{2}{9} \approx 0, 22$  ; au moins une avec $\frac{19}{27} \approx 0, 70$ .
46. Une simulation de 1 000 lancers d'une pièce équilibrée : la fréquence de « pile » se stabilise autour de $0, 5$ .