Nuage de points — Ajustement affine et point moyen

tableau croisé d'effectifs — On observe deux caractères sur chaque individu d'une population. Un caractère est qualitatif quand ses valeurs sont des catégories (oui ou non, un mode de transport) ; un caractère quantitatif s'y ramène en regroupant ses valeurs en classes (moins de 3 h, 3 h ou plus). Le tableau croisé d'effectifs compte, dans chaque case, les individus qui ont à la fois la catégorie de la ligne et celle de la colonne. La dernière ligne et la dernière colonne, les marges, donnent les totaux.

Enquête fictive auprès de 400 lycéens : sur les 250 qui pratiquent un sport en club, 160 passent moins de 3 h par jour devant un écran ; sur les 150 autres, 45. Les sportifs passent-ils moins de temps devant les écrans ?

1. Chaque ligne s'additionne : $250-160=90$ sportifs et $150-45=105$ non-sportifs passent 3 h ou plus. Marge du bas : $160+45=205$ et $90+105=195$. Contrôle du total :$205+195=400$
2. Les groupes n'ont pas la même taille : on compare des proportions. Parmi les sportifs :$\frac{160}{250}=0,64$et parmi les non-sportifs, $\frac{45}{150}=0,3$.

64 % des sportifs passent moins de 3 h par jour devant un écran, contre 30 % des non-sportifs : dans cette enquête, les sportifs passent nettement moins de temps devant les écrans.

Comparer deux groupes dans un tableau croisé

1. Repérer les groupes à comparer : ce sont des lignes, ou des colonnes, du tableau.
2. Pour chaque groupe, diviser l'effectif de la case par la marge de ce groupe, jamais par l'effectif total.« parmi les sportifs » : on divise par le nombre de sportifs, 250.
3. Comparer les proportions, puis conclure par une phrase sur la situation. Pour les montrer, un diagramme en barres à 100 % ou un diagramme circulaire par groupe ; dans un diagramme circulaire, l'angle d'un secteur vaut fréquence × 360°.

nuage de points — Deux caractères quantitatifs $x$ et $y$, mesurés sur $n$ individus, donnent $n$ couples $(x_1;y_1)$, …, $(x_n;y_n)$. Dans un repère, les points $M_i(x_i;y_i)$ forment le nuage de points de la série. Pour une série chronologique, le temps se place en abscisse.

point moyen — Le point moyen du nuage est le point $G$ dont l'abscisse est la moyenne des $x_i$ et l'ordonnée la moyenne des $y_i$. Il résume le nuage en un seul point, mais il n'est en général pas l'un de ses points.

Population d'une ville, en milliers d'habitants (données fictives), avec $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2000 : $\begin{array}{ccccccc}\text{anneˊe}& 2000& 2004& 2008& 2012& 2016& 2020\\ x& 0& 4& 8& 12& 16& 20\\ y& 42,1& 43,0& 44,5& 45,6& 46,7& 48,1\end{array}$ Calculer les coordonnées du point moyen.

1. Moyenne des abscisses, les six valeurs :$\overline{x}=\frac{0+4+8+12+16+20}{6}=\frac{60}{6}=10$
2. Moyenne des ordonnées :$\overline{y}=\frac{42,1+43,0+44,5+45,6+46,7+48,1}{6}=\frac{270}{6}=45$

$G(10;45)$ : l'année 2010, et une population moyenne de 45 milliers d'habitants sur les six relevés. Aucun point du nuage n'est en $G$.

Avec un tableur

1. Saisir les $x_i$ en A2:A7 et les $y_i$ en B2:B7, sélectionner les deux colonnes et insérer un graphique « nuage de points » (ou « XY »). Vérifier l'origine et les graduations choisies par le logiciel.
2. Dans deux cellules libres, taper =MOYENNE(A2:A7) et =MOYENNE(B2:B7) : ce sont les coordonnées de $G$.

ajustement affine — Quand les points du nuage sont à peu près alignés, on dit que le nuage est allongé, et on peut le remplacer par une droite d'ajustement d'équation $y=ax+b$, qui passe au plus près des points. C'est un modèle : il décrit une tendance, sans en donner la cause, et il ne passe en général exactement par aucun point.

Plusieurs droites d'ajustement existent, qui ne coïncident pas tout à fait ; aucune théorie n'est attendue. Au jugé : à la règle, une droite qui suit le nuage en laissant à peu près autant de points de chaque côté. Droite de Mayer : on range les points par abscisses croissantes, on les partage en deux groupes de même effectif (à un près), et la droite passe par les points moyens $G_1$ et $G_2$ des deux groupes. Moindres carrés : la droite que trace le tableur quand on ajoute au nuage une « courbe de tendance » linéaire, équation affichée. Les droites de Mayer et des moindres carrés passent par le point moyen $G$ (admis) : on fait passer la droite au jugé par $G$, elle aussi. Pour la ville, le tableur affiche $y=0,3014x+41,986$, et $0,3014\times 10+41,986=45$ : elle passe bien par $G(10;45)$, tout près de la droite de Mayer calculée ci-dessous.

Équation de la droite passant par deux points A et B

1. Coefficient directeur : la variation de $y$ divisée par la variation de $x$.$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
2. Ordonnée à l'origine : $A$ est sur la droite, donc $y_A=a{x}_A+b$, d'où $b=y_A-a{x}_A$.
3. Contrôler avec le second point, ou avec $G$ : ses coordonnées doivent vérifier l'équation.

Déterminer la droite de Mayer du nuage de la ville.

1. Groupe 1, les trois premiers points : abscisse moyenne $\frac{0+4+8}{3}=4$, ordonnée moyenne :$\frac{42,1+43,0+44,5}{3}=\frac{129,6}{3}=43,2$
2. Groupe 2, les trois derniers : abscisse moyenne $\frac{12+16+20}{3}=16$, ordonnée moyenne :$\frac{45,6+46,7+48,1}{3}=\frac{140,4}{3}=46,8$
3. Coefficient directeur de $(G_1{G}_2)$, avec $G_1(4;43,2)$ et $G_2(16;46,8)$ :$a=\frac{46,8-43,2}{16-4}=\frac{3,6}{12}=0,3$
4. Ordonnée à l'origine, avec $G_1$ :$b=43,2-0,3\times 4=42$contrôle avec $G(10;45)$ : $0,3\times 10+42=45$, $G$ est bien sur la droite.

La droite de Mayer a pour équation $y=0,3x+42$ : selon ce modèle, la ville gagne environ 0,3 millier d'habitants, soit 300 habitants, par an.

interpolation, extrapolation — Estimer une valeur inconnue à l'aide de la droite d'ajustement, c'est interpoler si la valeur de $x$ est à l'intérieur de l'intervalle des données, et extrapoler si elle est à l'extérieur. Extrapoler suppose que la tendance observée se poursuit : c'est une hypothèse, d'autant plus fragile qu'on s'éloigne des données. Loin d'elles, une droite peut même donner des valeurs absurdes, comme une quantité négative.

Estimer une valeur avec la droite d'ajustement

1. Traduire la question en valeur de $x$, en relisant ce que $x$ représente : ici, le nombre d'années depuis 2000.
2. Remplacer $x$ dans l'équation ; pour une valeur de $y$ donnée, résoudre $ax+b=y$.
3. Conclure dans l'unité de la situation, en précisant interpolation ou extrapolation ; une extrapolation s'énonce au conditionnel.

Avec la droite $y=0,3x+42$, estimer la population de la ville en 2014, puis en 2030.

1. 2014 donne $x=14$, dans l'intervalle $[0;20]$ des données : interpolation.$0,3\times 14+42=46,2$
2. 2030 donne $x=30$, hors de l'intervalle : extrapolation.$0,3\times 30+42=51$

Environ 46 200 habitants en 2014 ; environ 51 000 en 2030, mais c'est une extrapolation : seulement si la tendance se poursuit.