Fiche à trous · Première · Enseignement scientifique

Modèle quadratique — Paraboles, sommet et forme factorisée

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Un ballon lancé en l'air, l'arche d'un viaduc, le chiffre d'affaires d'un produit selon son prix : trois grandeurs qui montent puis redescendent, et trois courbes qui sont des paraboles. Une parabole a un axe de symétrie vertical, et son sommet — le point le plus haut ou le plus bas — est sur cet axe, au milieu de deux points de même hauteur. Trouver cet axe sans formule, en déduire le sommet, lire racines et signe sur une forme factorisée : voilà le chapitre.

L'allure d'une parabole

Définition — fonction polynôme de degré 2, parabole :

Propriété

Règle

Associer une parabole à son expression

Exemple

Associer les courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ ci-contre aux fonctions $f (x) = 2 x^{2}$ , $g (x) = - x^{2} + 3$ et $h (x) = 0, 5 x^{2}$ .

Résultat :

12.

Piège

Pour $g (x) = - x^{2} + 3$ , calculer $g (- 2) = 4 + 3 = 7$ .

remplacer $x$ par $(- 2)$ avec ses parenthèses.

Forme factorisée : racines, sommet, signe

Propriété

14.

Résoudre une équation produit nul

Exemple

Pour $f (x) = (x + 1) (x - 3)$ , déterminer les racines, l'axe de symétrie et le sommet de la parabole.

Résultat :

Dresser le tableau de signes d'une forme factorisée

24.

Règle

Piège

Annoncer que les racines de $2 (x + 3) (x - 1)$ sont $3$ et $- 1$ .

remplacer $x$ par la racine trouvée dans l'expression : on doit obtenir 0.

Piège

Écrire que $- 2 (x - 1) (x - 5)$ est positif à l'extérieur des racines, en oubliant le $- 2$ .

regarder $a$ en premier, et vérifier le tableau avec l'orientation de la parabole.

Il n'y a pas toujours de racine : $x^{2} + 1 \geq 1$ ne s'annule jamais. Ici, les racines se lisent sur une forme factorisée, donnée ou obtenue en mettant $x$ en facteur.

Forme développée : l'axe sans formule

Trouver l'axe et le sommet en résolvant f(x) = c

Exemple

Déterminer le sommet de la parabole de $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ , puis le tableau de variation de $f$ .

Résultat :

33.

Règle

35.

Résoudre graphiquement f(x) = k ou f(x) < k

Piège

Prendre $(0; c)$ pour le sommet de la parabole de $x^{2} - 4 x + 1$ , c'est-à-dire $(0; 1)$ .

résoudre $f (x) = c$ : si la seconde solution n'est pas $0$ , le sommet n'est pas sur l'axe des ordonnées.

Piège

Répondre « $f (x) \leq 1$ pour $y$ entre $- 3$ et $1$ ».

projeter les points d'intersection verticalement sur l'axe des abscisses avant de conclure.

Modéliser une situation

Exploiter un modèle quadratique

Exemple

Un artisan vend $q (p) = 200 - 10 p$ objets par mois au prix unitaire de $p$ euros, avec $0 \leq p \leq 20$ . Son chiffre d'affaires est $R (p) = p (200 - 10 p) = - 10 p (p - 20)$ . Quel prix le rend maximal ? Pour quels prix atteint-il au moins 750 € ?

Résultat :

47.

Piège

À la question « quel est le chiffre d'affaires maximal ? », répondre « 10 € ».

relire la question : « pour quel prix ? » appelle l'abscisse, « combien ? » appelle l'ordonnée.

Ai-je lu le signe de $a$ avant tout : tournée vers le haut ou vers le bas ?
Mes racines annulent-elles vraiment chaque facteur, signes compris ?
Ai-je trouvé l'axe au milieu de deux points de même ordonnée : racines, ou solutions de $f (x) = c$  ?
Pour un signe, ai-je intégré le facteur $a$ dans le tableau ?

Corrigé · à détacher

Modèle quadratique — Paraboles, sommet et forme factorisée

1. Une fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , où $a$ , $b$ , $c$ sont des réels et $a \neq = 0$ , est une fonction polynôme de degré 2. Sa courbe représentative est une parabole. Comme $f (0) = c$ , la parabole coupe l'axe des ordonnées au point $(0; c)$ . Son sommet est le point où $f$ atteint son maximum ou son minimum.
2. $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$
3. Cas $x \mapsto a x^{2}$ : sommet $O$ , axe de symétrie l'axe des ordonnées. Démonstration : $f (- x) = a (- x)^{2} = a x^{2} = f (x)$ , donc les points d'abscisses $x$ et $- x$ ont la même ordonnée. Si $0 \leq u < v$ , alors $u^{2} < v^{2}$ (fonction carré, vue en seconde) ; multiplier par $a > 0$ conserve cet ordre, par $a < 0$ l'inverse. Donc si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut (minimum $0$ ) ; si $a < 0$ , vers le bas (maximum $0$ ). Cas $x \mapsto a x^{2} + c$ : ajouter $c$ à chaque ordonnée déplace la courbe verticalement de $c$  ; le sommet devient $(0; c)$ , l'extremum vaut $c$ . Plus $∣ a ∣$ est grand, plus la parabole est resserrée.
4. Le signe de $a$ oriente la parabole, $∣ a ∣$ règle son ouverture, $c$ la fait monter ou descendre.
5. Toute parabole a un axe de symétrie vertical, qui passe par son sommet (propriété admise dans le cas général). Conséquence : deux points distincts d'une parabole qui ont la même ordonnée sont symétriques par rapport à cet axe. L'axe passe donc au milieu de leurs abscisses : si $f (x_{1}) = f (x_{2})$ avec $x_{1} \neq = x_{2}$ , l'axe est la droite d'équation $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ .
6. Orientation : tournée vers le haut, $a > 0$  ; vers le bas, $a < 0$ .
7. Sommet ou intersections : pour $a x^{2} + c$ , le sommet est $(0; c)$  ; pour $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , la courbe coupe l'axe des abscisses en $x_{1}$ et $x_{2}$ .
8. Un point de contrôle pour départager les dernières candidates : on calcule $f (1)$ , ou l'image d'une abscisse lisible, et on vérifie sur la courbe.
9. $C_{3}$ , seule tournée vers le bas, de sommet $(0; 3)$ : c'est $g$ , seule fonction où $a < 0$ .
10. $C_{1}$ et $C_{2}$ ont toutes deux pour sommet $O$ et sont tournées vers le haut. Point de contrôle en $x = 1$ :
11. $C_{1}$ représente $h$ , $C_{2}$ représente $f$ , $C_{3}$ représente $g$ .
12. Même sommet pour $C_{1}$ et $C_{2}$ : c'est le point d'abscisse 1 qui tranche.
13. Une racine de $f$ est un réel $x$ tel que $f (x) = 0$ : l'abscisse d'un point où la parabole coupe l'axe des abscisses. Soit $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ avec $a \neq = 0$ . Les racines de $f$ sont exactement $x_{1}$ et $x_{2}$ . Démonstration : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; $a$ ne l'est pas, donc $f (x) = 0 ⟺ x - x_{1} = 0$ ou $x - x_{2} = 0$ . Si $x_{1} \neq = x_{2}$ , les points $(x_{1}; 0)$ et $(x_{2}; 0)$ ont la même ordonnée : l'axe de symétrie est la droite $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ , et l'ordonnée du sommet est l'image de ce milieu.
14. $f (x) = (x + 1) (x - 3)$ : racines $- 1$ et $3$ , axe au milieu, sommet sur l'axe.
15. Écrire un produit égal à zéro, en factorisant si besoin : $x^{2} - 7 x = 0 ⟺ x (x - 7) = 0$ .
16. Annuler chaque facteur du premier degré, puis conclure par toutes les solutions. Un facteur constant non nul, comme $a$ , ne s'annule jamais.
17. $x + 1 = 0 ⟺ x = - 1$ et $x - 3 = 0 ⟺ x = 3$ : les racines sont $- 1$ et $3$ .
18. L'axe passe au milieu des racines :
19. L'ordonnée du sommet est l'image de 1 :
20. Racines $- 1$ et $3$ , axe $x = 1$ , sommet $S (1; - 4)$  ; comme $a = 1 > 0$ , $- 4$ est le minimum de $f$ .
21. Une ligne par facteur du premier degré : $x - x_{1}$ est négatif avant $x_{1}$ , nul en $x_{1}$ , positif après.
22. Le signe de $a$ : si $a$ est négatif, il faut une ligne de plus, toujours « $-$ ».
23. La ligne du produit : règle des signes, colonne par colonne ; un 0 sous chaque racine.
24. Tableau de signes de $(x + 1) (x - 3)$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
25. Le signe de $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , avec $x_{1} < x_{2}$ : celui de $a$ à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles. Le tableau de signes le démontre : $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ est négatif entre les racines et positif à l'extérieur ; $a$ fait le reste.
26. Lire $c = f (0)$ : le point $(0; c)$ est sur la parabole.
27. Résoudre $f (x) = c$ : $a x^{2} + b x + c = c ⟺ a x^{2} + b x = 0 ⟺ x (a x + b) = 0$ : deux solutions, dont $0$ .
28. Prendre le milieu des deux solutions : c'est l'abscisse de l'axe, donc du sommet ; son image est l'ordonnée du sommet.
29. $f (0) = 1$ . On résout $f (x) = 1$ : $x^{2} - 4 x = 0 ⟺ x (x - 4) = 0 ⟺ x = 0$ ou $x = 4$ .
30. Les points $A (0; 1)$ et $B (4; 1)$ ont la même ordonnée ; l'axe passe au milieu :
31. Ordonnée du sommet, un minimum car $a = 1 > 0$ :
32. Sommet $S (2; - 3)$  ; $f$ est décroissante sur $] - \infty; 2]$ , croissante sur $[2; + \infty [$ .
33. $A$ et $B$ ont la même ordonnée 1 : l'axe $x = 2$ passe à mi-chemin.
34. Variations (admis) : si $a > 0$ , $f$ est décroissante puis croissante, et le sommet donne son minimum ; si $a < 0$ , $f$ est croissante puis décroissante, et le sommet donne son maximum. Le sens change à l'abscisse du sommet.
35. Tableau de variation de $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ : une seule valeur à calculer, $f (2) = - 3$ .
36. Tracer la droite horizontale d'équation $y = k$ .
37. Pour $f (x) = k$ : lire les abscisses des points d'intersection avec la parabole. Il y en a deux, une seule (au sommet) ou aucune.
38. Pour $f (x) < k$ : garder les abscisses des points de la courbe situés sous la droite ; bornes exclues pour $<$ , incluses pour $\leq$ .
39. Sur la figure de $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ : $f (x) \leq 1 ⟺ x \in [0; 4]$  ; $f (x) = - 3 ⟺ x = 2$  ; $f (x) = - 4$ n'a pas de solution, car $- 4$ est sous le minimum.
40. Nommer la variable, son unité, et le domaine de validité du modèle : une demande positive, un temps entre le lancer et la chute, une population sur une durée restreinte.
41. Traduire la question : « maximum », « minimum » → le sommet ; « s'annule », « touche le sol » → les racines ; « au moins $k$ » → l'inéquation $f (x) \geq k$ .
42. Calculer, puis répondre par une phrase avec l'unité : l'abscisse du sommet dit quand ou à quel prix, son ordonnée dit combien.
43. Les racines de $R$ sont 0 et 20 : à 0 €, ou à 20 € (plus aucun acheteur), le chiffre d'affaires est nul. L'axe passe au milieu :
44. Ordonnée du sommet, maximum car $a = - 10 < 0$ :
45. En développant, $R (p) - 750 = - 10 p^{2} + 200 p - 750 = - 10 (p - 5) (p - 15)$ . Comme $a = - 10 < 0$ , cette expression est positive ou nulle entre ses racines 5 et 15.
46. Le chiffre d'affaires est maximal, 1 000 €, pour un prix de 10 € ; il atteint au moins 750 € pour un prix compris entre 5 € et 15 €.
47. Le sommet répond à « combien au plus ? » ; la droite $R = 750$ , à « pour quels prix ? ».