Fiche à trous · Première · Enseignement scientifique

Modèle exponentiel — Suites géométriques, fonctions aˣ

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Un capital placé à 3 % par an, un médicament dont l'organisme élimine 20 % chaque heure, une rumeur que chacun répète à trois personnes : à chaque étape, la grandeur est multipliée par le même nombre. Un taux d'évolution constant $t$ donne une suite géométrique de raison $q = 1 + t$  : $u (n) = u (0) \times q^{n}$ . La fonction $x \mapsto a^{x}$ prolonge ce modèle entre deux entiers : elle donne la valeur au bout de six mois, ou d'une fraction de demi-vie.

Évolutions en pourcentage : les automatismes

Définition — taux d'évolution, coefficient multiplicateur :

Calculer de tête avec les coefficients

Exemple

Une action cotée 40 € gagne 25 %, puis 20 %. Quel est le taux d'évolution global ? Quelle baisse la ramènerait ensuite à 40 € ?

Résultat :

De tête, sans calculatrice (automatismes, épreuve anticipée) : traduire un taux en coefficient ; les produits simples comme $1, 1^{2} = 1, 21$ , $0, 9^{2} = 0, 81$ , $1, 2^{2} = 1, 44$ , $2^{10} = 1024$  ; les réciproques usuels ( $\times 1, 25$ et $\times 0, 8$ , $\times 2$ et $\times 0, 5$ ). À la calculatrice, quand elle est permise : une puissance comme $1, 0 3^{10}$ , un exposant non entier comme $1, 0 4^{0, 5}$ .

Piège

Une hausse de 20 % puis une hausse de 30 % : « $+ 50$ % ».

passer par les coefficients ; ne jamais additionner des pourcentages successifs.

Suites géométriques : le même coefficient à chaque pas

Définition — suite géométrique à termes strictement positifs :

Propriété

Reconnaître et modéliser

Exemple

On injecte 80 mg d'une substance dans le sang ; chaque heure, l'organisme en élimine 20 %. On note $u (n)$ la quantité, en mg, au bout de $n$ heures. Exprimer $u (n)$ en fonction de $n$ et calculer $u (3)$ de tête.

Résultat :

Propriété

19.

Piège

« La substance perd 20 % par heure », donc $q = 0, 2$ .

$q = 1 + t$ avec $t = - 0, 2$ , donc $q = 0, 8$  ; contrôler $u (1)$ avec l'énoncé.

Piège

Pour 2 000 € placés à 3 % d'intérêts composés : « $C (n) = 2000 + 60 n$ ».

un pourcentage de la valeur actuelle : on multiplie ; un même montant : on ajoute.

Piège

Écrire $u (n) = u (1) \times q^{n}$ pour une suite qui commence à $u (1)$ .

tester la formule au premier rang : pour $n = 1$ , elle doit redonner $u (1)$ .

Les fonctions exponentielles : la puissance entre deux entiers

Définition — fonction exponentielle de base a :

Propriété

23.

Calculer un taux d'évolution moyen

Exemple

Un logement passe de 200 000 € à 242 000 € en 2 ans. Quel est le taux moyen annuel ? Et pour une valeur qui double en 10 ans ?

Résultat :

Piège

Taux moyen d'une hausse de 21 % en deux ans : « $21 \div 2 = 10, 5$ % par an ».

$t_{m} = C^{1/ n} - 1$ , puis contrôler que $(1 + t_{m})^{n} = C$ .

Piège

Calculer $1, 2 1^{1/2}$ comme $1, 21 \div 2 = 0, 605$ .

$a^{1/2} = a$  ; vérifier en élevant au carré.

Piège

« La valeur double en 10 ans, donc elle augmente de 50 % en 5 ans. »

une fraction de la durée se traite par un exposant fractionnaire, jamais par proportionnalité.

Seuils et ordres de grandeur

Résoudre un problème de seuil

Exemple

On reprend $u (n) = 80 \times 0, 8^{n}$ , quantité de substance en mg au bout de $n$ heures. Au bout de combien d'heures reste-t-il moins de 20 mg ?

Résultat :

Règle

Piège

Répondre « 6 heures » parce que $u (6) \approx 20, 97$ est le terme le plus proche de 20.

écrire les deux termes qui encadrent le seuil et vérifier l'inégalité pour chacun.

J'enchaîne de tête évolutions successives et réciproques, par les coefficients.
J'écris récurrence et terme de rang $n$ , et je justifie le sens de variation par $q$ .
Je calcule $a^{x}$ , $a^{1/ n}$ et un taux moyen $C^{1/ n} - 1$ .
Je résous un seuil (calcul, graphique, outil numérique) et je discute le modèle.

Corrigé · à détacher

Modèle exponentiel — Suites géométriques, fonctions aˣ

1. Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_{0} > 0$ à une valeur finale $V_{1}$ . Son taux d'évolution est $t = \frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}}$ , souvent exprimé en pourcentage : $t = 0, 15$ s'écrit $+ 15$ %. Alors $V_{1} = (1 + t) \times V_{0}$  : le nombre $1 + t$ est le coefficient multiplicateur, supérieur à 1 pour une hausse, compris entre 0 et 1 pour une baisse.
2. Traduire chaque taux en coefficient : $+ 5$ % → $\times 1, 05$  ; $- 20$ % → $\times 0, 8$  ; $+ 100$ % → $\times 2$ .
3. Valeur finale : multiplier par le coefficient. Valeur initiale : diviser par le coefficient.
4. Évolutions successives : les coefficients se multiplient (les taux ne s'additionnent pas) ; retirer 1 au produit donne le taux global.
5. Évolution réciproque : le coefficient réciproque est $\frac{1}{1 + t}$ , le taux réciproque $\frac{1}{1 + t} - 1$ . Une hausse de 25 % s'annule par une baisse de 20 %, et non de 25 %, car $\frac{1}{1 , 25} = 0, 8$ .
6. On raisonne sur les coefficients : à gauche, deux évolutions qui s'annulent ; à droite, deux évolutions « opposées » qui ne s'annulent pas.
7. Les coefficients se multiplient, de tête : $1, 25 \times 1, 2 = 1, 25 + 0, 25$ .
8. Coefficient réciproque, puis taux réciproque.
9. Hausse de 50 % ; une baisse d'environ 33,3 %, et non de 50 %, ramènerait l'action à 40 €.
10. Soit $q > 0$ . Une suite $u$ de premier terme $u (0) > 0$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout entier $n$ , $u (n + 1) = q \times u (n)$  : c'est la définition par récurrence. Tous ses termes sont strictement positifs ; on écrit aussi $u_{n}$ pour $u (n)$ . Une grandeur discrète (relevée d'année en année, d'heure en heure) à taux d'évolution constant $t$ se modélise par une suite géométrique de raison $q = 1 + t$ .
11. Terme de rang $n$ . Pour aller de $u (0)$ à $u (n)$ , on multiplie $n$ fois par $q$  : $u (n) = u (0) \times q^{n}$ . Cette relation fonctionnelle donne n'importe quel terme sans calculer les précédents. Si la suite commence à $u (1)$ , il n'y a que $n - 1$ pas : $u (n) = u (1) \times q^{n - 1}$ .
12. Repérer un pourcentage constant (« $+ 3$ % par an », « perd 20 % par heure ») ou un même facteur (« double chaque jour »). Ajouter toujours la même quantité relève d'une suite arithmétique : voir la fiche Modèle linéaire.
13. Sur des valeurs, calculer les quotients $\frac{u ( 1 )}{u ( 0 )}$ , $\frac{u ( 2 )}{u ( 1 )}$ , $\frac{u ( 3 )}{u ( 2 )}$  : s'ils sont égaux, leur valeur commune est $q$ .
14. Écrire $q = 1 + t$ , le premier terme avec son rang, puis $u (n + 1) = q \times u (n)$ et $u (n) = u (0) \times q^{n}$  ; tester pour $n = 0$ et $n = 1$ .
15. Perdre 20 %, c'est garder 80 %. La suite est géométrique de premier terme $u (0) = 80$ et de raison :
16. De tête : $0, 8^{2} = 0, 64$ , puis $0, 64 \times 0, 8 = 0, 512$ .
17. $u (n) = 80 \times 0, 8^{n}$  ; au bout de 3 heures, il reste 40,96 mg, à peu près la moitié de la dose.
18. Sens de variation. Pour tout $n$ , $u (n + 1) - u (n) = q \times u (n) - u (n) = u (n) \times (q - 1)$ . Comme $u (n) > 0$ , cette différence a le signe de $q - 1$ . Donc : si $q > 1$ , la suite est strictement croissante ; si $0 < q < 1$ , elle est strictement décroissante ; si $q = 1$ , elle est constante. La raison suffit, sans calculer aucun terme.
19. Une suite se représente par des points isolés, un par entier $n$ , que l'on ne relie pas. À gauche, la rumeur ( $q = 2$ ) ; à droite, la substance de l'exemple ( $q = 0, 8$ ) et le seuil de 20 mg traité en partie 4.
20. Soit $a > 0$ . La suite $n \mapsto a^{n}$ se prolonge à tous les réels positifs : la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = a^{x}$ . Pour $x$ non entier, $a^{x}$ s'obtient à la calculatrice (touche ^) ; toujours $a^{0} = 1$ , $a^{1} = a$ et $a^{x} > 0$ . Elle modélise une grandeur continue à taux d'évolution constant par unité de temps : 1 000 € placés à intérêts composés à 4 % par an valent, au bout de 6 mois, $1000 \times 1, 0 4^{0, 5} \approx 1019, 80$ €.
21. Propriétés algébriques, admises : ce sont celles des puissances entières, étendues. Pour $a > 0$ , $b > 0$ et $x ⩾ 0$ , $y ⩾ 0$  : $a^{x} \times a^{y} = a^{x + y}$  ; $(a^{x})^{y} = a^{x y}$  ; $a^{x} \times b^{x} = (ab)^{x}$  ; et, si $x ⩾ y$ , $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$ . Cas de l'exposant $1/ n$ ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ ) : $(a^{1/ n})^{n} = a^{\frac{1}{n} \times n} = a^{1} = a$ , donc $a^{1/ n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$ -ième vaut $a$  ; en particulier $a^{1/2} = a$ . De tête : $4^{1/2} = 2$ , $1, 2 1^{1/2} = 1, 1$ , $8^{1/3} = 2$ .
22. Variations, admises, comme pour les suites : si $a > 1$ , la fonction $x \mapsto a^{x}$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$  ; si $0 < a < 1$ , elle est strictement décroissante ; si $a = 1$ , elle est constante, égale à 1. Sa courbe passe par $(0; 1)$ et $(1; a)$ , et relie les points de la suite $n \mapsto a^{n}$ .
23. La courbe « complète » le nuage de la suite (points noirs). Le point vert donne la valeur au bout d'une demi-période : $1, 5^{0, 5} \approx 1, 22$ .
24. Coefficient global $C$ des $n$ évolutions : le produit des coefficients, ou le quotient de la valeur finale par la valeur initiale.
25. Le taux moyen $t_{m}$ est le taux qui, appliqué $n$ fois, produit le même effet : $(1 + t_{m})^{n} = C$ , donc $t_{m} = C^{1/ n} - 1$ . Contrôle : $(1 + t_{m})^{n}$ redonne $C$ .
26. Coefficient global, de tête : $\frac{242 000}{200 000} = 1, 21$ . Deux évolutions : exposant $\frac{1}{2}$ , c'est-à-dire racine carrée ; de tête, puisque $1, 1^{2} = 1, 21$  :
27. Doubler en 10 ans : coefficient global 2, sur 10 évolutions, à la calculatrice.
28. $+ 10$ % par an en moyenne, et non $+ 10, 5$ % ; doubler en 10 ans, c'est environ $+ 7, 18$ % par an.
29. Écrire l'inégalité : $u (n) > S$ (croissance) ou $u (n) < S$ (décroissance). Calcul : termes de proche en proche, à la calculatrice (mode table) ou au tableur (cellule = précédente $\times q$ , recopiée vers le bas). Graphique : premier point qui franchit la droite $y = S$ . Programme : tant que le seuil n'est pas franchi, remplacer $u$ par $q \times u$ et $n$ par $n + 1$ .
30. Conclure par le premier rang qui convient, en citant les deux termes qui l'encadrent : ce rang vérifie l'inégalité, le précédent non.
31. On cherche le premier $n$ tel que $80 \times 0, 8^{n} < 20$ . Table de la calculatrice :
32. puis, au rang suivant :
33. Il reste moins de 20 mg au bout de 7 heures.
34. Ordres de grandeur, de tête. $2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}$  : doubler 10 fois, c'est multiplier par environ mille ; 20 fois, par environ un million ; 30 fois, par environ un milliard. Trois doublements multiplient par 8, pas par 3. Après 10 demi-vies, il reste environ un millième de la quantité initiale : $0, 5^{10} \approx 0, 001$ . La rumeur de la figure (×2 par jour) dépasse 1 000 nouveaux informés le jour 10 ( $2^{9} = 512$ , $2^{10} = 1024$ ), et un milliard le jour 30. Une croissance exponentielle finit par dépasser toute croissance linéaire : elle n'est réaliste que sur une durée limitée.

Évolutions en pourcentage : les automatismes

Suites géométriques : le même coefficient à chaque pas

Les fonctions exponentielles : la puissance entre deux entiers

Seuils et ordres de grandeur

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Suites géométriques : le même coefficient à chaque pas

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