Modèle quadratique — Paraboles, sommet et forme factorisée

fonction polynôme de degré 2, parabole — Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels et $a\ne 0$, est une fonction polynôme de degré 2. Sa courbe représentative est une parabole. Comme $f(0)=c$, la parabole coupe l'axe des ordonnées au point $(0;c)$. Son sommet est le point où $f$ atteint son maximum ou son minimum.

Cas $x\mapsto a{x}^2$ : sommet $O$, axe de symétrie l'axe des ordonnées. Démonstration : $f(-x)=a(-x{)}^2=a{x}^2=f(x)$, donc les points d'abscisses $x$ et $-x$ ont la même ordonnée. Si $0\le u<v$, alors $u^2<v^2$ (fonction carré, vue en seconde) ; multiplier par $a>0$ conserve cet ordre, par $a<0$ l'inverse. Donc si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut (minimum $0$) ; si $a<0$, vers le bas (maximum $0$). Cas $x\mapsto a{x}^2+c$ : ajouter $c$ à chaque ordonnée déplace la courbe verticalement de $c$ ; le sommet devient $(0;c)$, l'extremum vaut $c$. Plus $|a|$ est grand, plus la parabole est resserrée.

Toute parabole a un axe de symétrie vertical, qui passe par son sommet (propriété admise dans le cas général). Conséquence : deux points distincts d'une parabole qui ont la même ordonnée sont symétriques par rapport à cet axe. L'axe passe donc au milieu de leurs abscisses : si $f(x_1)=f(x_2)$ avec $x_1\ne x_2$, l'axe est la droite d'équation $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Associer une parabole à son expression

1. Orientation : tournée vers le haut, $a>0$ ; vers le bas, $a<0$.
2. Sommet ou intersections : pour $a{x}^2+c$, le sommet est $(0;c)$ ; pour $a(x-x_1)(x-x_2)$, la courbe coupe l'axe des abscisses en $x_1$ et $x_2$.
3. Un point de contrôle pour départager les dernières candidates : on calcule $f(1)$, ou l'image d'une abscisse lisible, et on vérifie sur la courbe.

Associer les courbes $C_1$, $C_2$, $C_3$ ci-contre aux fonctions $f(x)=2x^2$, $g(x)=-x^2+3$ et $h(x)=0,5x^2$.

1. $C_3$, seule tournée vers le bas, de sommet $(0;3)$ : c'est $g$, seule fonction où $a<0$.
2. $C_1$ et $C_2$ ont toutes deux pour sommet $O$ et sont tournées vers le haut. Point de contrôle en $x=1$ :$f(1)=2\times 1^2=2$et $h(1)=0,5$ : la courbe qui passe par $(1;2)$, la plus resserrée, est $C_2$.

$C_1$ représente $h$, $C_2$ représente $f$, $C_3$ représente $g$.

Une racine de $f$ est un réel $x$ tel que $f(x)=0$ : l'abscisse d'un point où la parabole coupe l'axe des abscisses. Soit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne 0$. Les racines de $f$ sont exactement $x_1$ et $x_2$. Démonstration : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; $a$ ne l'est pas, donc $f(x)=0⟺x-x_1=0$ ou $x-x_2=0$. Si $x_1\ne x_2$, les points $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$ ont la même ordonnée : l'axe de symétrie est la droite $x=\frac{x_1+x_2}{2}$, et l'ordonnée du sommet est l'image de ce milieu.

Résoudre une équation produit nul

1. Écrire un produit égal à zéro, en factorisant si besoin : $x^2-7x=0⟺x(x-7)=0$.
2. Annuler chaque facteur du premier degré, puis conclure par toutes les solutions. Un facteur constant non nul, comme $a$, ne s'annule jamais.

Pour $f(x)=(x+1)(x-3)$, déterminer les racines, l'axe de symétrie et le sommet de la parabole.

1. $x+1=0⟺x=-1$ et $x-3=0⟺x=3$ : les racines sont $-1$ et $3$.
2. L'axe passe au milieu des racines :$\frac{-1+3}{2}=1$axe d'équation $x=1$.
3. L'ordonnée du sommet est l'image de 1 :$f(1)=(1+1)\times (1-3)=-4$

Racines $-1$ et $3$, axe $x=1$, sommet $S(1;-4)$ ; comme $a=1>0$, $-4$ est le minimum de $f$.

Dresser le tableau de signes d'une forme factorisée

1. Une ligne par facteur du premier degré : $x-x_1$ est négatif avant $x_1$, nul en $x_1$, positif après.
2. Le signe de $a$ : si $a$ est négatif, il faut une ligne de plus, toujours « $-$ ».
3. La ligne du produit : règle des signes, colonne par colonne ; un 0 sous chaque racine.

Le signe de $a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1<x_2$ : celui de $a$ à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles. Le tableau de signes le démontre : $(x-x_1)(x-x_2)$ est négatif entre les racines et positif à l'extérieur ; $a$ fait le reste.

Trouver l'axe et le sommet en résolvant f(x) = c

1. Lire $c=f(0)$ : le point $(0;c)$ est sur la parabole.
2. Résoudre $f(x)=c$ : $a{x}^2+bx+c=c⟺a{x}^2+bx=0⟺x(ax+b)=0$ : deux solutions, dont $0$.
3. Prendre le milieu des deux solutions : c'est l'abscisse de l'axe, donc du sommet ; son image est l'ordonnée du sommet.

Déterminer le sommet de la parabole de $f(x)=x^2-4x+1$, puis le tableau de variation de $f$.

1. $f(0)=1$. On résout $f(x)=1$ : $x^2-4x=0⟺x(x-4)=0⟺x=0$ ou $x=4$.
2. Les points $A(0;1)$ et $B(4;1)$ ont la même ordonnée ; l'axe passe au milieu :$\frac{0+4}{2}=2$
3. Ordonnée du sommet, un minimum car $a=1>0$ :$f(2)=2^2-4\times 2+1=-3$

Sommet $S(2;-3)$ ; $f$ est décroissante sur $]-\infty ;2]$, croissante sur $[2;+\infty [$.

Variations (admis) : si $a>0$, $f$ est décroissante puis croissante, et le sommet donne son minimum ; si $a<0$, $f$ est croissante puis décroissante, et le sommet donne son maximum. Le sens change à l'abscisse du sommet.

Résoudre graphiquement f(x) = k ou f(x) < k

1. Tracer la droite horizontale d'équation $y=k$.
2. Pour $f(x)=k$ : lire les abscisses des points d'intersection avec la parabole. Il y en a deux, une seule (au sommet) ou aucune.
3. Pour $f(x)<k$ : garder les abscisses des points de la courbe situés sous la droite ; bornes exclues pour $<$, incluses pour $\le$.
4. Sur la figure de $f(x)=x^2-4x+1$ : $f(x)\le 1⟺x\in [0;4]$ ; $f(x)=-3⟺x=2$ ; $f(x)=-4$ n'a pas de solution, car $-4$ est sous le minimum.

Exploiter un modèle quadratique

1. Nommer la variable, son unité, et le domaine de validité du modèle : une demande positive, un temps entre le lancer et la chute, une population sur une durée restreinte.
2. Traduire la question : « maximum », « minimum » → le sommet ; « s'annule », « touche le sol » → les racines ; « au moins $k$ » → l'inéquation $f(x)\ge k$.
3. Calculer, puis répondre par une phrase avec l'unité : l'abscisse du sommet dit quand ou à quel prix, son ordonnée dit combien.

Un artisan vend $q(p)=200-10p$ objets par mois au prix unitaire de $p$ euros, avec $0\le p\le 20$. Son chiffre d'affaires est $R(p)=p(200-10p)=-10p(p-20)$. Quel prix le rend maximal ? Pour quels prix atteint-il au moins 750 € ?

1. Les racines de $R$ sont 0 et 20 : à 0 €, ou à 20 € (plus aucun acheteur), le chiffre d'affaires est nul. L'axe passe au milieu :$\frac{0+20}{2}=10$
2. Ordonnée du sommet, maximum car $a=-10<0$ :$R(10)=-10\times 10\times (10-20)=1000$
3. En développant, $R(p)-750=-10p^2+200p-750=-10(p-5)(p-15)$. Comme $a=-10<0$, cette expression est positive ou nulle entre ses racines 5 et 15.$R(5)=5\times 150=750$

Le chiffre d'affaires est maximal, 1 000 €, pour un prix de 10 € ; il atteint au moins 750 € pour un prix compris entre 5 € et 15 €.