Arbres pondérés — Probabilités conditionnelles et indépendance

évènements, contraire, intersection (rappels) — Pour deux évènements $A$ et $B$, l'évènement $A\cap B$ (« $A$ et $B$ ») est réalisé quand les deux le sont ; le contraire $\overline{A}$ est réalisé quand $A$ ne l'est pas, et $P(\overline{A})=1-P(A)$. Quand on choisit au hasard un individu dans un effectif de $N$, les issues sont équiprobables : $P(A)$ est l'effectif de $A$ divisé par $N$.

probabilité conditionnelle — Soit $A$ et $B$ deux évènements, avec $P(A)\ne 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est la probabilité que $B$ soit réalisé quand on sait que $A$ l'est. On la note $P_A(B)$ et on la définit par la formule ci-dessous. Elle se lit « parmi les $A$, la part des $B$ » : on ne regarde plus que les cas où $A$ est réalisé.

Conséquence (démontrée) : en multipliant les deux membres de la définition par $P(A)$, on obtient la formule ci-dessous, qui sert à calculer une intersection. Dans un tableau croisé, si l'individu est choisi au hasard, les deux quotients par $N$ se simplifient : $P_A(B)$ est l'effectif de $A\cap B$ divisé par l'effectif de $A$.

Lire une probabilité dans un tableau croisé

1. Traduire la question. « $A$ et $B$ », « à la fois » : c'est $P(A\cap B)$, on divise par l'effectif total. « Parmi les $A$ », « sachant $A$ », « si $A$ » : c'est $P_A(B)$, on divise par l'effectif de $A$.
2. Repérer la case de $A\cap B$, au croisement de la ligne et de la colonne.
3. Diviser par le bon total : celui de toute la population, ou celui de la seule ligne, ou de la seule colonne, de la condition.

Sur 10 000 personnes, 2 % ont une maladie ($M$). Un test est positif ($T$) chez 95 % des malades et chez 10 % des non-malades. On en tire le tableau ci-dessus. On choisit une personne au hasard : calculer $P(M\cap T)$, $P_M(T)$ et $P_T(M)$.

1. On remplit le tableau : $0,02\times 10000=200$ malades, dont 95 % positifs, et $0,10\times 9800=980$ non-malades positifs.$0,95\times 200=190$
2. « $M$ et $T$ » : on divise par l'effectif total.$P(M\cap T)=\frac{190}{10000}=0,019$
3. « Sachant $M$ » : on ne garde que la ligne des 200 malades.$P_M(T)=\frac{190}{200}=0,95$
4. « Sachant $T$ » : on ne garde que la colonne des 1 170 positifs.$P_T(M)=\frac{190}{1170}\approx 0,162$

$P(M\cap T)=0,019$ et $P_M(T)=0,95$, mais $P_T(M)\approx 0,16$ : seuls 16 % environ des positifs sont malades.

Un arbre pondéré décrit une situation en deux temps. Le premier niveau porte $P(A)$ et $P(\overline{A})$ ; le second, les probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, $P_{\overline{A}}(B)$, $P_{\overline{A}}(\overline{B})$. Trois règles l'exploitent. 1. Les branches issues d'un même nœud ont des probabilités de somme 1. 2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : c'est $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$. 3. La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent : $B$ est réalisé par $A\cap B$ ou par $\overline{A}\cap B$, qui ne peuvent pas se produire ensemble, donc leurs probabilités s'ajoutent.

faux positif, faux négatif — Pour un test de dépistage, un faux positif est une personne non malade dont le test est positif : c'est l'évènement $\overline{M}\cap T$. Un faux négatif est une personne malade dont le test est négatif : $M\cap \overline{T}$.

Construire et exploiter un arbre pondéré

1. Choisir le premier niveau : l'évènement dont l'énoncé donne la probabilité sans condition (« 2 % de la population est malade »).
2. Traduire chaque « parmi » en probabilité conditionnelle, au second niveau : « 95 % des malades ont un test positif » donne $P_M(T)=0,95$. Compléter chaque nœud pour que ses branches totalisent 1.
3. Multiplier le long d'un chemin ; additionner les chemins qui mènent à l'évènement cherché.
4. Pour une probabilité « à l'envers », comme $P_T(M)$ quand l'arbre commence par $M$, revenir à la définition : $P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}$.

Avec l'arbre ci-dessus, où $P(M)=0,02$, $P_M(T)=0,95$ et $P_{\overline{M}}(T)=0,10$, calculer $P(T)$, puis $P_T(M)$.

1. $T$ est au bout de deux chemins, « malade et positif » et « non malade et positif » (les faux positifs). On multiplie le long de chacun, puis on additionne.$P(T)=0,02\times 0,95+0,98\times 0,10=0,019+0,098=0,117$
2. On revient à la définition ; on retrouve le résultat du tableau croisé.$P_T(M)=\frac{0,019}{0,117}\approx 0,162$

$P(T)=0,117$ et $P_T(M)\approx 0,16$ : environ un positif sur six est malade, car les faux positifs, tirés de 98 % de la population, sont environ cinq fois plus nombreux que les vrais.

évènements indépendants — Soit $A$ et $B$ deux évènements, avec $P(B)\ne 0$. $A$ et $B$ sont indépendants si $P_B(A)=P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$.

Propriété (démontrée). Si $P(A)\ne 0$ et $P(B)\ne 0$, ces trois égalités sont équivalentes : $P_B(A)=P(A)$ ; $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ ; $P_A(B)=P(B)$. Démonstration : $P_B(A)=P(A)$ s'écrit $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)$, soit, en multipliant par $P(B)\ne 0$, l'égalité ci-dessous. Elle ne change pas si l'on échange $A$ et $B$ ; divisée par $P(A)\ne 0$, elle donne $P_A(B)=P(B)$. L'indépendance est donc symétrique.

Justifier ou utiliser l'indépendance

1. Pour justifier, calculer séparément $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$, en valeurs exactes, puis comparer. Égales : $A$ et $B$ sont indépendants. Différentes : ils ne le sont pas.
2. Ou bien comparer $P_B(A)$ à $P(A)$ : c'est la définition, et souvent le calcul le plus parlant.
3. Pour utiliser l'indépendance, quand l'énoncé la donne ou que la situation l'impose (lancers successifs, tirages avec remise), multiplier : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. C'est une hypothèse du modèle : on l'écrit.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes : 4 couleurs de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). $A$ : « c'est un cœur » ; $B$ : « c'est un as ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

1. 8 cœurs, 4 as, et un seul as de cœur : $P(A)=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$, $P(B)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$ et $P(A\cap B)=\frac{1}{32}$. On compare au produit :$P(A)\times P(B)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{32}$par la définition : parmi les 4 as, un seul est un cœur, donc $P_B(A)=\frac{1}{4}=P(A)$.

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants. Savoir que la carte est un as n'apprend rien sur sa couleur.

épreuve de Bernoulli, répétition — Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$, de probabilité $p$, et l'échec $E$ (noté aussi $\overline{S}$), de probabilité $1-p$. On répète $n$ fois la même épreuve, de façon identique (même $p$ à chaque fois) et indépendante (aucun résultat n'influe sur les autres) : lancers successifs d'une pièce ou d'un dé, tirages avec remise dans une urne.

Propriété (admise). Dans l'arbre de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chaque niveau répète les mêmes branches : $p$ vers $S$, $1-p$ vers $E$. Un chemin de $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité le produit ci-dessous, quel que soit l'ordre des succès. Pour « exactement $k$ succès », on compte ces chemins sur l'arbre ($n\le 4$) et l'on additionne.

Calculer avec n épreuves de Bernoulli

1. Identifier l'épreuve, le succès, sa probabilité $p$ et le nombre $n$ de répétitions ; justifier qu'elles sont identiques et indépendantes.
2. Dessiner l'arbre ($n\le 4$, soit au plus 16 chemins) et repérer les chemins qui réalisent l'évènement.
3. Additionner leurs probabilités : tous les chemins à $k$ succès ont la même.
4. Pour « au moins un succès », passer par le contraire, « aucun succès », qui ne compte qu'un chemin : $1-(1-p{)}^n$.

On joue trois parties de pierre-feuille-ciseaux contre un adversaire qui joue au hasard, sans tenir compte des parties précédentes. Quel que soit notre coup, un seul de ses trois coups nous fait gagner. Probabilité de gagner exactement deux parties ? au moins une ?

1. Succès : « gagner la partie », $p=\frac{1}{3}$ ; trois épreuves identiques et indépendantes. Deux succès, un échec : trois chemins, $SSE$, $SES$ et $ESS$, chacun de probabilité :${\left(\frac{1}{3}\right)}^2\times \frac{2}{3}=\frac{2}{27}$
2. On additionne les trois chemins.$3\times \frac{2}{27}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}\approx 0,222$
3. « Au moins une victoire » est le contraire du seul chemin $EEE$.$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}\approx 0,704$

deux victoires exactement avec la probabilité $\frac{2}{9}\approx 0,22$ ; au moins une avec $\frac{19}{27}\approx 0,70$.