Modèle linéaire — Suites arithmétiques et fonctions affines

suite numérique, modes de génération — Une suite associe à chaque entier naturel $n$ un nombre $u(n)$, le terme de rang $n$ ; on écrit aussi $u_n$, et $(u_n)$ désigne la suite entière. Elle modélise une grandeur qui évolue par étapes (chaque année, chaque motif) : un phénomène discret. Une grandeur qui varie à chaque instant est un phénomène continu, modélisé par une fonction. La suite est définie de façon explicite si $u(n)$ est donné par une formule en $n$ : on calcule directement n'importe quel terme. Elle est définie par récurrence si l'on donne le premier terme et la règle qui donne $u(n+1)$ à partir de $u(n)$ : pour atteindre $u(10)$, il faut calculer tous les termes précédents.

Pour ces motifs en croix, exprimer $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$, puis $u(n)$ en fonction de $n$. Combien de carreaux compte le motif de rang 25 ?

1. Récurrence : on ajoute 4 carreaux à chaque rang, donc $u(0)=1$ et $u(n+1)=u(n)+4$.$u(1)=1+4=5$
2. Formule explicite : le carreau central, plus $n$ carreaux sur chacune des 4 branches, donc $u(n)=1+4n$. Contrôle :$u(3)=1+4\times 3=13$
3. Sans calculer les 24 motifs intermédiaires :$u(25)=1+4\times 25=101$

Le motif de rang 25 compte 101 carreaux.

suite arithmétique — Une suite est arithmétique s'il existe un nombre $r$, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)=u(n)+r$. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre : l'écart $u(n+1)-u(n)$ est constant, égal à $r$. C'est le modèle d'une croissance linéaire discrète.

Terme de rang $n$ (démontré). Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u(n)=u(0)+n\times r$. Démonstration : on additionne les $n$ égalités $u(1)-u(0)=r$, $u(2)-u(1)=r$, …, $u(n)-u(n-1)=r$ ; les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux, il reste $u(n)-u(0)=n\times r$. De même, entre les rangs $p$ et $n$ il y a $n-p$ pas : $u(n)=u(p)+(n-p)\times r$. Si la suite commence au rang 1 : $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$.

Reconnaître et justifier une croissance linéaire

1. Dans un énoncé, citer la phrase qui dit que l'on ajoute (ou retire) la même quantité à chaque étape.
2. Pour une formule, calculer $u(n+1)-u(n)$ avec $n$ quelconque : s'il ne dépend pas de $n$, la suite est arithmétique de cette raison.$u(n)=7-2n$ donne $u(n+1)-u(n)=7-2(n+1)-(7-2n)=-2$. Toute suite $u(n)=a+b\times n$ est arithmétique de raison $b$.
3. Pour une liste de valeurs, calculer les écarts : un seul écart différent prouve que la suite n'est pas arithmétique ; des écarts égaux ne font que le suggérer.

Un capital de 1 500 € est placé à intérêts simples au taux annuel de 2 % : chaque année, il rapporte 2 % du capital initial, ajoutés au compte. On note $C(n)$ la somme sur le compte au bout de $n$ années. Exprimer $C(n)$, puis calculer $C(8)$.

1. Les intérêts portent sur le capital initial : ils sont les mêmes chaque année, en euros :$1500\times \frac{2}{100}=30$
2. On ajoute 30 € par an : $C(n+1)=C(n)+30$. Suite arithmétique de premier terme $C(0)=1500$ et de raison 30, donc $C(n)=1500+30n$, et$C(8)=1500+30\times 8=1740$

$C(n)=1500+30n$ ; au bout de 8 ans, le compte affiche 1 740 €.

Sens de variation (démontré). Une suite arithmétique de raison $r$ est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$, constante si $r=0$ : en effet, $u(n+1)-u(n)=r$ pour tout $n$. Représentation. On représente une suite par les points isolés $(n;u(n))$. Pour une suite arithmétique, ces points sont alignés sur la droite d'équation $y=rx+u(0)$ ; on ne les relie pas, car entre deux rangs entiers la suite n'a pas de valeur. Ci-contre, $u(n)=2+1,5n$ monte de $1,5$ à chaque pas, $v(n)=10-2n$ descend de 2.

Représenter les termes d'une suite

1. Dresser un tableau de valeurs $n$, $u(n)$, puis choisir les unités des axes ; un axe peut ne pas partir de 0, à condition de le signaler.
2. Placer les points $(n;u(n))$ par des croix, sans les relier. Alignés, avec des écarts verticaux égaux : la croissance est linéaire.

Rappel de seconde. Une fonction affine $f(x)=mx+p$ a pour représentation la droite d'équation réduite $y=mx+p$ : $m$ est le coefficient directeur, $p$ l'ordonnée à l'origine ($f(0)=p$). Elle est croissante si $m>0$, décroissante si $m<0$, constante si $m=0$. Taux d'accroissement (démontré). Pour $a\ne b$, $f(b)-f(a)=(mb+p)-(ma+p)=m(b-a)$, donc $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m$ : le taux est constant, quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente toujours de $m$. C'est la raison d'une suite arithmétique, en continu : $u(n)=u(0)+rn$ est la fonction affine $x\mapsto rx+u(0)$ prise aux entiers.

Tracer une droite, lire son équation

1. Tracer $y=mx+p$ : placer $(0;p)$, puis avancer de 1 et monter de $m$ (descendre si $m<0$) ; relier les deux points.
2. Coefficient directeur de $(AB)$ : $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, déplacement vertical sur déplacement horizontal.
3. Lire l'équation réduite : $p$ là où la droite coupe l'axe des ordonnées, $m$ en divisant la montée par l'avancée.

La droite ci-contre donne la température $F$ en degrés Fahrenheit en fonction de la température $C$ en degrés Celsius. Elle passe par $(0;32)$ et $(100;212)$ : la glace fond à 0 °C, soit 32 °F, et l'eau bout à 100 °C, soit 212 °F, sous pression atmosphérique normale. Lire son équation, puis convertir 37 °C.

1. Coefficient directeur :$m=\frac{212-32}{100-0}=\frac{180}{100}=1,8$
2. La droite coupe l'axe des ordonnées en 32 : $p=32$, d'où $F=1,8C+32$, et$1,8\times 37+32=98,6$

$F=1,8C+32$ ; 37 °C correspondent à 98,6 °F.

Chercher un seuil

1. Traduire la question par une inéquation : « dépasser 2 000 € » s'écrit $C(n)>2000$.
2. Remplacer le terme par son expression et résoudre ; diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
3. Prendre le plus petit entier qui convient, puis vérifier des deux côtés : ce rang franchit le seuil, le précédent non.sans inéquation, on calcule les termes de proche en proche, à la calculatrice ou au tableur.

Avec $C(n)=1500+30n$, au bout de combien d'années la somme dépassera-t-elle 2 000 € ?

1. On résout $1500+30n>2000$, soit $30n>500$. On divise par 30, positif, sans changer le sens :$\frac{500}{30}\approx 16,67$donc $n>16,67$.
2. Le plus petit entier qui convient est 17. Vérification :$C(16)=1500+30\times 16=1980$et $C(17)=1500+30\times 17=2010$ : $1980<2000<2010$.

La somme dépasse 2 000 € au bout de 17 années.