Modèle exponentiel — Suites géométriques, fonctions aˣ

taux d'évolution, coefficient multiplicateur — Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_0>0$ à une valeur finale $V_1$. Son taux d'évolution est $t=\frac{V_1-V_0}{V_0}$, souvent exprimé en pourcentage : $t=0,15$ s'écrit $+15$ %. Alors $V_1=(1+t)\times V_0$ : le nombre $1+t$ est le coefficient multiplicateur, supérieur à 1 pour une hausse, compris entre 0 et 1 pour une baisse.

Calculer de tête avec les coefficients

1. Traduire chaque taux en coefficient : $+5$ % → $\times 1,05$ ; $-20$ % → $\times 0,8$ ; $+100$ % → $\times 2$.
2. Valeur finale : multiplier par le coefficient. Valeur initiale : diviser par le coefficient.
3. Évolutions successives : les coefficients se multiplient (les taux ne s'additionnent pas) ; retirer 1 au produit donne le taux global.
4. Évolution réciproque : le coefficient réciproque est $\frac{1}{1+t}$, le taux réciproque $\frac{1}{1+t}-1$. Une hausse de 25 % s'annule par une baisse de 20 %, et non de 25 %, car $\frac{1}{1,25}=0,8$.

Une action cotée 40 € gagne 25 %, puis 20 %. Quel est le taux d'évolution global ? Quelle baisse la ramènerait ensuite à 40 € ?

1. Les coefficients se multiplient, de tête : $1,25\times 1,2=1,25+0,25$.$1,25\times 1,2=1,5$taux global $+50$ %, et non $+45$ % ; l'action vaut $40\times 1,5=60$ €.
2. Coefficient réciproque, puis taux réciproque.$\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}\approx 0,667$$0,667-1=-0,333$ : une baisse d'environ 33,3 %.

Hausse de 50 % ; une baisse d'environ 33,3 %, et non de 50 %, ramènerait l'action à 40 €.

suite géométrique à termes strictement positifs — Soit $q>0$. Une suite $u$ de premier terme $u(0)>0$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout entier $n$, $u(n+1)=q\times u(n)$ : c'est la définition par récurrence. Tous ses termes sont strictement positifs ; on écrit aussi $u_n$ pour $u(n)$. Une grandeur discrète (relevée d'année en année, d'heure en heure) à taux d'évolution constant $t$ se modélise par une suite géométrique de raison $q=1+t$.

Terme de rang $n$. Pour aller de $u(0)$ à $u(n)$, on multiplie $n$ fois par $q$ : $u(n)=u(0)\times q^n$. Cette relation fonctionnelle donne n'importe quel terme sans calculer les précédents. Si la suite commence à $u(1)$, il n'y a que $n-1$ pas : $u(n)=u(1)\times q^{n-1}$.

Reconnaître et modéliser

1. Repérer un pourcentage constant (« $+3$ % par an », « perd 20 % par heure ») ou un même facteur (« double chaque jour »). Ajouter toujours la même quantité relève d'une suite arithmétique : voir la fiche Modèle linéaire.
2. Sur des valeurs, calculer les quotients $\frac{u(1)}{u(0)}$, $\frac{u(2)}{u(1)}$, $\frac{u(3)}{u(2)}$ : s'ils sont égaux, leur valeur commune est $q$.
3. Écrire $q=1+t$, le premier terme avec son rang, puis $u(n+1)=q\times u(n)$ et $u(n)=u(0)\times q^n$ ; tester pour $n=0$ et $n=1$.

On injecte 80 mg d'une substance dans le sang ; chaque heure, l'organisme en élimine 20 %. On note $u(n)$ la quantité, en mg, au bout de $n$ heures. Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$ et calculer $u(3)$ de tête.

1. Perdre 20 %, c'est garder 80 %. La suite est géométrique de premier terme $u(0)=80$ et de raison :$q=1-0,2=0,8$donc $u(n+1)=0,8\times u(n)$ et $u(n)=80\times 0,8^n$.
2. De tête : $0,8^2=0,64$, puis $0,64\times 0,8=0,512$.$u(3)=80\times 0,8^3=80\times 0,512=40,96$

$u(n)=80\times 0,8^n$ ; au bout de 3 heures, il reste 40,96 mg, à peu près la moitié de la dose.

Sens de variation. Pour tout $n$, $u(n+1)-u(n)=q\times u(n)-u(n)=u(n)\times (q-1)$. Comme $u(n)>0$, cette différence a le signe de $q-1$. Donc : si $q>1$, la suite est strictement croissante ; si $0<q<1$, elle est strictement décroissante ; si $q=1$, elle est constante. La raison suffit, sans calculer aucun terme.

fonction exponentielle de base a — Soit $a>0$. La suite $n\mapsto a^n$ se prolonge à tous les réels positifs : la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=a^x$. Pour $x$ non entier, $a^x$ s'obtient à la calculatrice (touche ^) ; toujours $a^0=1$, $a^1=a$ et $a^x>0$. Elle modélise une grandeur continue à taux d'évolution constant par unité de temps : 1 000 € placés à intérêts composés à 4 % par an valent, au bout de 6 mois, $1000\times 1,04^{0,5}\approx 1019,80$ €.

Propriétés algébriques, admises : ce sont celles des puissances entières, étendues. Pour $a>0$, $b>0$ et $x⩾0$, $y⩾0$ : $a^x\times a^y=a^{x+y}$ ; ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$ ; $a^x\times b^x=(ab{)}^x$ ; et, si $x⩾y$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$. Cas de l'exposant $1/n$ ($n$ entier, $n⩾1$) : ${\left(a^{1/n}\right)}^n=a^{\frac{1}{n}\times n}=a^1=a$, donc $a^{1/n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$ ; en particulier $a^{1/2}=\sqrt{a}$. De tête : $4^{1/2}=2$, $1,21^{1/2}=1,1$, $8^{1/3}=2$.

Variations, admises, comme pour les suites : si $a>1$, la fonction $x\mapsto a^x$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$ ; si $0<a<1$, elle est strictement décroissante ; si $a=1$, elle est constante, égale à 1. Sa courbe passe par $(0;1)$ et $(1;a)$, et relie les points de la suite $n\mapsto a^n$.

Calculer un taux d'évolution moyen

1. Coefficient global $C$ des $n$ évolutions : le produit des coefficients, ou le quotient de la valeur finale par la valeur initiale.
2. Le taux moyen $t_m$ est le taux qui, appliqué $n$ fois, produit le même effet : $(1+t_m{)}^n=C$, donc $t_m=C^{1/n}-1$. Contrôle : $(1+t_m{)}^n$ redonne $C$.

Un logement passe de 200 000 € à 242 000 € en 2 ans. Quel est le taux moyen annuel ? Et pour une valeur qui double en 10 ans ?

1. Coefficient global, de tête : $\frac{242000}{200000}=1,21$. Deux évolutions : exposant $\frac{1}{2}$, c'est-à-dire racine carrée ; de tête, puisque $1,1^2=1,21$ :$1,21^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1,21}=1,1$
2. Doubler en 10 ans : coefficient global 2, sur 10 évolutions, à la calculatrice.$2^{\frac{1}{10}}\approx 1,0718$

$+10$ % par an en moyenne, et non $+10,5$ % ; doubler en 10 ans, c'est environ $+7,18$ % par an.

Résoudre un problème de seuil

1. Écrire l'inégalité : $u(n)>S$ (croissance) ou $u(n)<S$ (décroissance). Calcul : termes de proche en proche, à la calculatrice (mode table) ou au tableur (cellule = précédente $\times q$, recopiée vers le bas). Graphique : premier point qui franchit la droite $y=S$. Programme : tant que le seuil n'est pas franchi, remplacer $u$ par $q\times u$ et $n$ par $n+1$.
2. Conclure par le premier rang qui convient, en citant les deux termes qui l'encadrent : ce rang vérifie l'inégalité, le précédent non.

On reprend $u(n)=80\times 0,8^n$, quantité de substance en mg au bout de $n$ heures. Au bout de combien d'heures reste-t-il moins de 20 mg ?

1. On cherche le premier $n$ tel que $80\times 0,8^n<20$. Table de la calculatrice :$u(6)=80\times 0,8^6\approx 20,97$
2. puis, au rang suivant :$u(7)=80\times 0,8^7\approx 16,78$$u(6)>20$ et $u(7)<20$ ; la suite décroît, donc les termes suivants restent sous 20 (voir la figure de la partie 2).

Il reste moins de 20 mg au bout de 7 heures.

Ordres de grandeur, de tête. $2^{10}=1024\approx 10^3$ : doubler 10 fois, c'est multiplier par environ mille ; 20 fois, par environ un million ; 30 fois, par environ un milliard. Trois doublements multiplient par 8, pas par 3. Après 10 demi-vies, il reste environ un millième de la quantité initiale : $0,5^{10}\approx 0,001$. La rumeur de la figure (×2 par jour) dépasse 1 000 nouveaux informés le jour 10 ($2^9=512$, $2^{10}=1024$), et un milliard le jour 30. Une croissance exponentielle finit par dépasser toute croissance linéaire : elle n'est réaliste que sur une durée limitée.