Fiche à trous · Première · Mathématiques

Fonction exponentielle — Définition, propriétés et variations

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Une fonction égale à sa propre dérivée : c'est ainsi que l'on définit l'exponentielle, et tout le chapitre en découle. La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $R$ telle que $exp^{'} = exp$ et $exp (0) = 1$  ; elle transforme les sommes en produits, $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ , et elle est strictement positive et strictement croissante. Elle décrit en temps continu ce que les suites géométriques décrivent pas à pas : un capital placé, une dilution, une décroissance radioactive.

Définition et relations algébriques

Définition — fonction exponentielle :

Propriété

Pour aller plus loin : l'unicité. Si $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ , la fonction $x \mapsto f (x) exp (- x)$ a une dérivée nulle : elle vaut partout $f (0) = 1$ , d'où $f (x) = \frac{1}{exp ( - x )} = exp (x)$ . Les trois preuves font le même geste : un produit de dérivée nulle est constant.

Définition — nombre e et notation exponentielle :

Transformer une expression

Exemple

Simplifier $A = \frac{e ^{2 x + 1} \times e ^{- x}}{e ^{x - 3}}$ pour tout réel $x$ .

Résultat :

Signe, variations et courbe

Propriété

14.

Résoudre une équation ou une inéquation

Exemple

Résoudre dans $R$ l'équation $e^{x^{2}} = e^{x + 2}$ , puis l'inéquation $e^{3 x - 1} \leq 1$ .

Résultat :

Piège

Écrire $e^{x} + e^{x} = e^{2 x}$ , ou $e^{a} e^{b} = e^{ab}$ .

tester en $x = 0$ : $e^{0} + e^{0} = 2$ , mais $e^{0} = 1$ .

Piège

Croire $e^{- 3}$ négatif, « parce que l'exposant l'est ».

écrire « $e^{\dots} > 0$ » avant tout tableau de signe.

Piège

Dériver $e^{3 t}$ en $e^{3 t}$ , ou en $3 t e^{3 t - 1}$ .

faire passer devant le coefficient de $t$  ; l'exponentielle ne change pas.

Croissance et décroissance exponentielles

Propriété

22.

Tracer la courbe d'une exponentielle de paramètre k

Propriété

27.

Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

Exemple

Un capital, en euros, vaut $C (t) = 2000 e^{0, 05 t}$ au bout de $t$ années. Calculer $C (10)$ et le taux annuel, puis comparer avec un placement à 5 % par an à intérêts composés.

Résultat :

Piège

Lire $N (t) = N_{0} e^{- 0, 1 t}$ comme « une baisse de 10 % par unité de temps ».

calculer $e^{k}$ à la calculatrice, puis le taux $e^{k} - 1$ .

Approcher l'exponentielle : Euler et le nombre e

Construire l'exponentielle par la méthode d'Euler

37.

Exemple

Approcher $e^{2}$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0, 5$ .

Résultat :

40.

Chaque membre est-il écrit comme une seule exponentielle avant de passer aux exposants ?
Ai-je ajouté les exposants d'un produit, sans toucher à une somme $e^{a} + e^{b}$  ?
Ai-je écrit $e^{\dots} > 0$ dans chaque étude de signe ?
Ai-je dérivé $e^{a t}$ en $a e^{a t}$ , facteur $a$ compris ?
Ai-je traduit $e^{k t}$ en taux $e^{k} - 1$ , et non en $k$  ?
Ma courbe passe-t-elle par $(0; 1)$ , sans toucher l'axe des abscisses ?

Corrigé · à détacher

Fonction exponentielle — Définition, propriétés et variations

1. Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$  ; l'existence et l'unicité sont admises. C'est la fonction exponentielle, notée $exp$ . En chaque point de sa courbe, la pente est égale à l'ordonnée.
2. $exp^{'} = exp et exp (0) = 1$
3. Dérivée de $t \mapsto exp (a t)$ (démontrée). Pour tout réel $a$ , la fonction $t \mapsto exp (a t)$ est dérivable sur $R$ , de dérivée $t \mapsto a exp (a t)$ . Preuve, pour $a \neq = 0$ : avec $H = ah$ , le taux de variation s'écrit $\frac{exp ( a t + ah ) - exp ( a t )}{h} = a \times \frac{exp ( a t + H ) - exp ( a t )}{H}$ , et le dernier quotient tend vers $exp^{'} (a t) = exp (a t)$ quand $h$ , donc $H$ , tend vers 0. De même, $x \mapsto exp (x + b)$ a pour dérivée $x \mapsto exp (x + b)$ .
4. Relations algébriques (démontrées). Pour tous réels $x$ et $y$ , $exp (x) exp (- x) = 1$ , donc $exp (x) \neq = 0$ , et $exp (x + y) = exp (x) exp (y)$ . Preuves : $g (x) = exp (x) exp (- x)$ a pour dérivée $exp (x) exp (- x) - exp (x) exp (- x) = 0$  ; une fonction de dérivée nulle sur $R$ est constante, donc $g (x) = g (0) = 1$ . À $y$ fixé, $u (x) = exp (x + y) exp (- x)$ a de même une dérivée nulle : $u (x) = u (0) = exp (y)$ , et l'on multiplie par $exp (x)$ .
5. On pose $e = exp (1) \approx 2, 718$ . La relation fonctionnelle donne $exp (n) = e^{n}$ pour tout entier relatif $n$  ; on étend l'écriture à tout réel : $e^{x}$ désigne $exp (x)$ . Les relations démontrées deviennent les règles des puissances.
6. $e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}} (e^{a})^{n} = e^{na}$
7. Tout écrire en puissances de $e$ : $\frac{1}{e ^{a}} = e^{- a}$ , $1 = e^{0}$ , $e = e^{1}$ .
8. Travailler sur les exposants : les ajouter pour un produit, les soustraire pour un quotient, les multiplier par $n$ pour une puissance $n$ -ième.
9. Laisser les sommes : $e^{a} + e^{b}$ se factorise ou se développe, mais ne se « simplifie » pas.
10. Exposant du numérateur, un produit : $(2 x + 1) + (- x) = x + 1$ . Puis le quotient : $(x + 1) - (x - 3) = 4$ .
11. Contrôle en $x = 0$ : $\frac{e ^{1} \times e ^{0}}{e ^{- 3}}$ a pour exposant
12. $A = e^{4}$ , qui ne dépend pas de $x$ .
13. Signe et variations (démontrés). Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ : en effet $e^{x} = (e^{\frac{x}{2}})^{2} \geq 0$ , et $e^{x} \neq = 0$ . Sa dérivée, qui est elle-même, est donc strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ . Par conséquent, $e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$ et $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$  ; en particulier, $e^{x} > 1 ⟺ x > 0$ .
14. La courbe passe par $(0; 1)$ et $(1; e)$ , au-dessus de l'axe des abscisses. Tangente en 0 : $y = x + 1$ , d'où $e^{h} \approx 1 + h$ près de 0 (fiche « Dérivation »). Tangente en 1 : $y = e x$ , qui passe par l'origine.
15. Écrire chaque membre comme une seule exponentielle $e^{A}$ et $e^{B}$  ; un 1 s'écrit $e^{0}$ .
16. Passer aux exposants : $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ et $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ , dans le même sens, puis résoudre.
17. Pour un produit $(a x + b) e^{u}$ , le facteur $e^{u}$ est strictement positif : le signe est celui de $a x + b$ .
18. L'équation équivaut à $x^{2} - x - 2 = 0$ , soit $(x - 2) (x + 1) = 0$ : $x = 2$ ou $x = - 1$ . Contrôle pour $x = - 1$ :
19. L'inéquation s'écrit $e^{3 x - 1} \leq e^{0}$ , donc $3 x - 1 \leq 0$ , soit $x \leq \frac{1}{3}$ .
20. Équation : $S = {- 1; 2}$ . Inéquation : $S =] - \infty; \frac{1}{3}]$ .
21. La dérivée de $t \mapsto e^{a t}$ est $t \mapsto a e^{a t}$ , du signe de $a$ . Pour $k > 0$ , $t \mapsto e^{k t}$ est donc strictement croissante et $t \mapsto e^{- k t}$ strictement décroissante. Les deux valent 1 en 0, avec une tangente de pente $k$ ou $- k$ : plus $k$ est grand, plus la variation est rapide. Comme $e^{- k t} = e^{k \times (- t)}$ , leurs courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
22. Toutes les courbes passent par $(0; 1)$ et restent au-dessus de l'axe des abscisses. À droite, chaque courbe est la symétrique de celle de même couleur à gauche.
23. Dresser un tableau de valeurs à la calculatrice, à pas régulier : $t = - 2$ , $- 1$ , 0, 1, 2…
24. Placer $(0; 1)$ et sa tangente, de coefficient directeur $k$ ou $- k$  ; le sens de variation vient du signe de la dérivée.
25. Tracer une courbe régulière, toujours au-dessus de l'axe des abscisses, qui s'en rapproche du côté où la fonction diminue.
26. Lien avec les suites géométriques. Pour tout réel $a$ , la suite $u_{n} = e^{na}$ est géométrique de raison $e^{a}$ , car $u_{n + 1} = e^{na + a} = e^{a} \times u_{n}$ . Une évolution continue $t \mapsto C_{0} e^{k t}$ est donc, période après période, une évolution à taux fixe $e^{k} - 1$ : c'est le pont entre le temps discret et le temps continu.
27. $u_{n} = e^{0, 5 n}$ : chaque terme vaut le précédent fois $e^{0, 5} \approx 1, 65$ .
28. Reconnaître le modèle $f (t) = f (0) e^{k t}$ : $k > 0$ pour une croissance (capital), $k < 0$ pour une décroissance (dilution, radioactivité).
29. Traduire en taux : par unité de temps, la grandeur est multipliée par $e^{k}$  ; le taux d'évolution est $e^{k} - 1$ , en pourcentage.
30. Conclure dans le contexte, avec l'unité et l'arrondi demandés.
31. $C (10) = 2000 e^{0, 5}$ , avec $e^{0, 5} \approx 1, 648721$ :
32. $C (t + 1) = e^{0, 05} C (t)$ et $e^{0, 05} \approx 1, 0513$ : taux annuel d'environ 5,13 %. À 5 % par an, au bout de dix ans :
33. $C (10) \approx 3297, 44$ € : le modèle continu, à 5,13 % par an environ, rapporte 39,65 € de plus.
34. Partir de $(0; 1)$ et choisir un pas $h > 0$ . L'approximation affine $f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x)$ donne, puisque $f^{'} = f$ , $f (x + h) \approx (1 + h) f (x)$ .
35. Répéter : $y_{0} = 1$ et $y_{k + 1} = (1 + h) y_{k}$ . La suite est géométrique : $y_{k} = (1 + h)^{k}$ approche $e^{k h}$ .
36. Atteindre 1 en $n$ pas, avec $h = \frac{1}{n}$ : $(1 + \frac{1}{n})^{n} \approx e$ , d'autant mieux que $n$ est grand.
37. Au pas 0,5 : $1, 5^{4} \approx 5, 06$ en 2, au lieu de $e^{2} \approx 7, 39$ .
38. Quatre pas mènent de 0 à 2, et chacun multiplie par $1 + h = 1, 5$ :
39. Euler donne $5, 0625$ , alors que $e^{2} \approx 7, 39$ : il faut un pas bien plus petit.
40. La boucle calcule exactement $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ : $2, 5937$ pour $n = 10$ , $2, 7048$ pour 100, $2, 7169$ pour 1 000, contre $e \approx 2, 7183$ . La convergence est lente.