Fiche à trous · Première · Mathématiques

Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle

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En seconde, une droite s'écrivait $a x + b y + c = 0$ et se lisait par un vecteur directeur. En première, le produit scalaire ajoute un second regard, celui de l'orthogonalité : dans un repère orthonormé, une droite est l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot n = 0$ , un cercle l'ensemble des points $M$ tels que $Ω M^{2} = r^{2}$ — chaque condition géométrique devient une équation. Le projeté orthogonal d'un point sur une droite s'obtient alors par un système.

Vecteur normal et équation de droite

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Pour $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ , et $u$ , $v$ sont orthogonaux si et seulement si $x x^{'} + y y^{'} = 0$ (fiche Produit scalaire). Rappel de seconde : la droite d'équation $a x + b y + c = 0$ est dirigée par $u (- b; a)$ .

Définition — vecteur normal à une droite :

Propriété

Équation d'une droite donnée par un point et un vecteur normal

Exemple

On donne $A (1; 2)$ et $B (5; 4)$ . Déterminer une équation de la médiatrice $Δ$ du segment $[A B]$ .

Résultat :

Règle

Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Définition — projeté orthogonal :

Propriété

Calculer les coordonnées du projeté orthogonal

Exemple

Soit $d : x + 2 y - 4 = 0$ et $M (6; 4)$ . Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ , puis la distance de $M$ à $d$ .

Résultat :

23.

Piège

Pour la droite $y = 3 x + 2$ , annoncer le vecteur normal $n (3; 1)$ .

tout passer à gauche, puis vérifier $n \cdot u = 0$ .

Piège

Avec $n (2; 5)$ , écrire $- 5 x + 2 y + c = 0$ , par réflexe de seconde.

normal : $(a; b)$ tel quel ; directeur : $(- b; a)$ .

Piège

À la deuxième étape, écrire $M H \cdot n = 0$ avec le vecteur normal.

$M H$ est colinéaire à $n$ , donc orthogonal à $u$  : utiliser $u$ .

Équation d'un cercle

Propriété

Exemple

Le cercle $C$ a pour centre $Ω (1; 2)$ et passe par $A (4; 6)$ . Écrire son équation, puis déterminer ses points d'intersection avec la droite $δ$ d'équation $x = 4$ .

Résultat :

30.

Reconnaître une équation de cercle

Exemple

Reconnaître l'ensemble $E$ des points $M (x; y)$ tels que $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ .

Résultat :

Piège

Lire le centre de $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 16$ comme le point $(3; 1)$ .

au centre, chaque parenthèse doit s'annuler.

Piège

Donner le rayon 16 pour le cercle $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 16$ .

un rayon, c'est la racine du second membre.

Piège

Conclure « c'est un cercle » pour $x^{2} + y^{2} + 4 x + 5 = 0$ sans finir le calcul.

finir les carrés, puis regarder le signe de $k$ .

Étudier une configuration avec un repère

Traduire une figure en calculs

41.

Exemple

$A B C D$ est un carré de côté 2, $I$ est le milieu de $[A B]$ et $J$ celui de $[B C]$ . Démontrer que $(D I)$ et $(A J)$ sont perpendiculaires, puis calculer les coordonnées de leur point d'intersection $K$ .

Résultat :

Ai-je écrit l'équation sous la forme $a x + b y + c = 0$ avant de lire un vecteur normal ?
Pour un projeté, ai-je écrit $H \in d$ et $M H \cdot u = 0$ , puis contrôlé ?
Pour un cercle, ai-je discuté le signe de $k$ et pris $r = k$  ?

Corrigé · à détacher

Géométrie repérée — Vecteur normal, projeté et cercle

1. Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . Tout vecteur non nul qui lui est colinéaire est encore normal à $d$ .
2. Propriété (démontrée). Soit $A$ un point et $n (a; b)$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur normal $n$ est l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot n = 0$  ; elle a une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ . Réciproquement, le vecteur $n (a; b)$ est normal à la droite d'équation $a x + b y + c = 0$ . Preuve. $M$ est sur $d$ si et seulement si $A M$ est colinéaire à un vecteur directeur de $d$ , c'est-à-dire orthogonal à $n$ . Avec $A (x_{A}; y_{A})$ et $M (x; y)$ , $A M \cdot n = a (x - x_{A}) + b (y - y_{A})$ , nul si et seulement si $a x + b y + c = 0$ , où $c = - a x_{A} - b y_{A}$ . Dans l'autre sens, $u (- b; a)$ dirige la droite et $n \cdot u = - ab + ba = 0$ .
3. $M \in d ⟺ A M \cdot n = 0 ⟺ a x + b y + c = 0$
4. À gauche, $A M$ suit $d$ et $n$ lui est perpendiculaire ; à droite, la médiatrice de l'exemple.
5. Recopier les coordonnées de $n (a; b)$ devant $x$ et $y$  : l'équation s'écrit $a x + b y + c = 0$ .
6. Trouver $c$ en écrivant que les coordonnées du point $A$ vérifient l'équation.
7. Contrôler : $A$ vérifie l'équation obtenue. Autre voie : développer $A M \cdot n = 0$ avec $M (x; y)$ .
8. $Δ$ passe par le milieu $I$ de $[A B]$ et est perpendiculaire à $(A B)$  : $A B$ lui est normal. Abscisse de $I$ , puis ordonnée :
9. $A B (5 - 1; 4 - 2)$ , soit $A B (4; 2)$  : $Δ$ a une équation $4 x + 2 y + c = 0$ .
10. $I (3; 3)$ est sur $Δ$ , donc $4 \times 3 + 2 \times 3 + c = 0$  :
11. $Δ : 2 x + y - 9 = 0$
12. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, parallèles si et seulement s'ils sont colinéaires. Ainsi $x + 2 y - 4 = 0$ et $2 x - y + 1 = 0$ sont perpendiculaires : $1 \times 2 + 2 \times (- 1) = 0$ .
13. Soit $d$ une droite et $M$ un point. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que la droite $(M H)$ soit perpendiculaire à $d$  ; si $M$ est sur $d$ , alors $H = M$ . La longueur $M H$ est la distance du point $M$ à la droite $d$ .
14. Propriété (démontrée). Le projeté $H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$  : pour tout point $P$ de $d$ , $M P \geq M H$ , avec égalité seulement si $P = H$ . Preuve. $M P = M H + H P$ , et $M H \cdot H P = 0$ car $H P$ dirige $d$ ou est nul. En développant le carré scalaire, $M P^{2} = M H^{2} + H P^{2} \geq M H^{2}$ , avec égalité si et seulement si $H P = 0$ .
15. Un vecteur directeur de $d : a x + b y + c = 0$  : $u (- b; a)$ .
16. Deux conditions sur $H (x; y)$  : $H \in d$ , soit $a x + b y + c = 0$  ; et $M H \cdot u = 0$ .
17. Résoudre le système, en général par substitution.
18. Contrôler : $H$ vérifie l'équation de $d$ , et $M H \cdot u = 0$ . La distance de $M$ à $d$ est $M H$ .
19. $u (- 2; 1)$ dirige $d$ . Pour $H (x; y)$ , $M H (x - 6; y - 4)$ et $M H \cdot u = - 2 (x - 6) + (y - 4) = 0$ , soit $y = 2 x - 8$ .
20. On reporte dans l'équation de $d$  : $x + 2 (2 x - 8) - 4 = 0$ , soit $5 x - 20 = 0$ , donc $x = 4$ , puis :
21. $M H (- 2; - 4)$ , d'où la distance, qui vaut aussi $25$  :
22. $H (4; 0)$ , et la distance de $M$ à $d$ vaut $25$
23. Le projeté $H$ est au pied de la perpendiculaire à $d$ issue de $M$  ; tout autre point de $d$ est plus loin de $M$ .
24. Propriété (démontrée). Le cercle $C$ de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$  : un point $M (x; y)$ est sur $C$ si et seulement si ses coordonnées la vérifient. Preuve. $M \in C ⟺ Ω M = r ⟺ Ω M^{2} = r^{2}$ , car $Ω M$ et $r$ sont positifs ; et, le repère étant orthonormé, $Ω M^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ . (Descartes, XVII^e siècle.)
25. $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
26. Le rayon est $Ω A$  :
27. D'où $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ , de rayon 5. Sur $δ$ , on remplace $x$ par 4 : $9 + (y - 2)^{2} = 25$ , donc :
28. $y - 2 = 4$ ou $y - 2 = - 4$ , soit $y = 6$ ou $y = - 2$ .
29. $C : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$  ; $δ$ le coupe en $A (4; 6)$ et $A^{'} (4; - 2)$
30. À gauche, l'exemple ci-dessus ; à droite, le cercle reconnu dans l'exemple suivant.
31. Se ramener à $x^{2} + y^{2} + p x + q y + s = 0$ , en divisant si besoin par le coefficient commun de $x^{2}$ et de $y^{2}$ .
32. Faire apparaître deux carrés : $x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - \frac{p ^{2}}{4}$ , de même en $y$ , puis isoler : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = k$ .
33. Conclure selon le signe de $k$  : si $k > 0$ , cercle de centre $Ω (a; b)$ et de rayon $k$  ; si $k = 0$ , le seul point $Ω$  ; si $k < 0$ , aucun point.
34. $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ et $y^{2} + 2 y = (y + 1)^{2} - 1$ .
35. L'équation devient $(x - 3)^{2} - 9 + (y + 1)^{2} - 1 + 6 = 0$ , d'où le second membre :
36. $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ , avec $4 > 0$  : le rayon vaut $4 = 2$ .
37. $E$ est le cercle de centre $Ω^{'} (3; - 1)$ et de rayon 2
38. Choisir un repère orthonormé : origine en un sommet, axes le long de deux côtés perpendiculaires.
39. Traduire chaque donnée : milieu → coordonnées moyennes ; perpendiculaire → vecteur normal ou produit scalaire nul ; distance → $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$  ; cercle → équation.
40. Calculer, puis conclure sur la figure par une phrase.
41. $A B C D$ carré de côté 2, $I$ et $J$ milieux de $[A B]$ et $[B C]$ .
42. Repère orthonormé d'origine $A$ , d'axes $(A B)$ et $(A D)$ , d'unité la moitié du côté : $D (0; 2)$ , $I (1; 0)$ , $J (2; 1)$ , d'où $D I (1; - 2)$ et $A J (2; 1)$ , de produit scalaire nul :
43. $(A J) : x - 2 y = 0$ (vecteur normal $D I$ ) et $(D I) : 2 x + y - 2 = 0$ (vecteur normal $A J$ ). Avec $x = 2 y$  : $5 y - 2 = 0$ , d'où $y = \frac{2}{5}$ , $x = \frac{4}{5}$  ; $K$ est le projeté de $D$ sur $(A J)$ .
44. $(D I) ⊥ (A J)$ , et $K (\frac{4}{5}; \frac{2}{5})$