Fonction exponentielle — Définition, propriétés et variations

fonction exponentielle — Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f^{\prime }=f$ et $f(0)=1$ ; l'existence et l'unicité sont admises. C'est la fonction exponentielle, notée $\exp$. En chaque point de sa courbe, la pente est égale à l'ordonnée.

Dérivée de $t\mapsto \exp (at)$ (démontrée). Pour tout réel $a$, la fonction $t\mapsto \exp (at)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $t\mapsto a\exp (at)$. Preuve, pour $a\ne 0$ : avec $H=ah$, le taux de variation s'écrit $\frac{\exp (at+ah)-\exp (at)}{h}=a\times \frac{\exp (at+H)-\exp (at)}{H}$, et le dernier quotient tend vers ${\exp }^{\prime }(at)=\exp (at)$ quand $h$, donc $H$, tend vers 0. De même, $x\mapsto \exp (x+b)$ a pour dérivée $x\mapsto \exp (x+b)$.

Relations algébriques (démontrées). Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp (x)\exp (-x)=1$, donc $\exp (x)\ne 0$, et $\exp (x+y)=\exp (x)\exp (y)$. Preuves : $g(x)=\exp (x)\exp (-x)$ a pour dérivée $\exp (x)\exp (-x)-\exp (x)\exp (-x)=0$ ; une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante, donc $g(x)=g(0)=1$. À $y$ fixé, $u(x)=\exp (x+y)\exp (-x)$ a de même une dérivée nulle : $u(x)=u(0)=\exp (y)$, et l'on multiplie par $\exp (x)$.

nombre e et notation exponentielle — On pose $\mathrm{e}=\exp (1)\approx 2,718$. La relation fonctionnelle donne $\exp (n)={\mathrm{e}}^n$ pour tout entier relatif $n$ ; on étend l'écriture à tout réel : ${\mathrm{e}}^x$ désigne $\exp (x)$. Les relations démontrées deviennent les règles des puissances.

Transformer une expression

1. Tout écrire en puissances de $\mathrm{e}$ : $\frac{1}{{\mathrm{e}}^a}={\mathrm{e}}^{-a}$, $1={\mathrm{e}}^0$, $\mathrm{e}={\mathrm{e}}^1$.
2. Travailler sur les exposants : les ajouter pour un produit, les soustraire pour un quotient, les multiplier par $n$ pour une puissance $n$-ième.
3. Laisser les sommes : ${\mathrm{e}}^a+{\mathrm{e}}^b$ se factorise ou se développe, mais ne se « simplifie » pas.contrôler en $x=0$ : l'expression de départ et le résultat doivent donner la même valeur.

Simplifier $A=\frac{{\mathrm{e}}^{2x+1}\times {\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{x-3}}$ pour tout réel $x$.

1. Exposant du numérateur, un produit : $(2x+1)+(-x)=x+1$. Puis le quotient : $(x+1)-(x-3)=4$.
2. Contrôle en $x=0$ : $\frac{{\mathrm{e}}^1\times {\mathrm{e}}^0}{{\mathrm{e}}^{-3}}$ a pour exposant$1+0-(-3)=4$

$A={\mathrm{e}}^4$, qui ne dépend pas de $x$.

Signe et variations (démontrés). Pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$ : en effet ${\mathrm{e}}^x={\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\right)}^2\ge 0$, et ${\mathrm{e}}^x\ne 0$. Sa dérivée, qui est elle-même, est donc strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b⟺a=b$ et ${\mathrm{e}}^a<{\mathrm{e}}^b⟺a<b$ ; en particulier, ${\mathrm{e}}^x>1⟺x>0$.

Résoudre une équation ou une inéquation

1. Écrire chaque membre comme une seule exponentielle ${\mathrm{e}}^A$ et ${\mathrm{e}}^B$ ; un 1 s'écrit ${\mathrm{e}}^0$.
2. Passer aux exposants : ${\mathrm{e}}^A={\mathrm{e}}^B⟺A=B$ et ${\mathrm{e}}^A<{\mathrm{e}}^B⟺A<B$, dans le même sens, puis résoudre.
3. Pour un produit $(ax+b){\mathrm{e}}^u$, le facteur ${\mathrm{e}}^u$ est strictement positif : le signe est celui de $ax+b$.une équation comme ${\mathrm{e}}^x=3$ se résout en première graphiquement ou à la calculatrice : $x\approx 1,1$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation ${\mathrm{e}}^{x^2}={\mathrm{e}}^{x+2}$, puis l'inéquation ${\mathrm{e}}^{3x-1}\le 1$.

1. L'équation équivaut à $x^2-x-2=0$, soit $(x-2)(x+1)=0$ : $x=2$ ou $x=-1$. Contrôle pour $x=-1$ :$(-1{)}^2=-1+2=1$
2. L'inéquation s'écrit ${\mathrm{e}}^{3x-1}\le {\mathrm{e}}^0$, donc $3x-1\le 0$, soit $x\le \frac{1}{3}$.

Équation : $\mathcal{S}=\{-1;2\}$. Inéquation : $\mathcal{S}=\left]-\infty ;\frac{1}{3}\right]$.

La dérivée de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{at}$ est $t\mapsto a{\mathrm{e}}^{at}$, du signe de $a$. Pour $k>0$, $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ est donc strictement croissante et $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-kt}$ strictement décroissante. Les deux valent 1 en 0, avec une tangente de pente $k$ ou $-k$ : plus $k$ est grand, plus la variation est rapide. Comme ${\mathrm{e}}^{-kt}={\mathrm{e}}^{k\times (-t)}$, leurs courbes sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Tracer la courbe d'une exponentielle de paramètre k

1. Dresser un tableau de valeurs à la calculatrice, à pas régulier : $t=-2$, $-1$, 0, 1, 2…
2. Placer $(0;1)$ et sa tangente, de coefficient directeur $k$ ou $-k$ ; le sens de variation vient du signe de la dérivée.
3. Tracer une courbe régulière, toujours au-dessus de l'axe des abscisses, qui s'en rapproche du côté où la fonction diminue.

Lien avec les suites géométriques. Pour tout réel $a$, la suite $u_n={\mathrm{e}}^{na}$ est géométrique de raison ${\mathrm{e}}^a$, car $u_{n+1}={\mathrm{e}}^{na+a}={\mathrm{e}}^a\times u_n$. Une évolution continue $t\mapsto C_0{\mathrm{e}}^{kt}$ est donc, période après période, une évolution à taux fixe ${\mathrm{e}}^k-1$ : c'est le pont entre le temps discret et le temps continu.

Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle

1. Reconnaître le modèle $f(t)=f(0){\mathrm{e}}^{kt}$ : $k>0$ pour une croissance (capital), $k<0$ pour une décroissance (dilution, radioactivité).
2. Traduire en taux : par unité de temps, la grandeur est multipliée par ${\mathrm{e}}^k$ ; le taux d'évolution est ${\mathrm{e}}^k-1$, en pourcentage.
3. Conclure dans le contexte, avec l'unité et l'arrondi demandés.

Un capital, en euros, vaut $C(t)=2000{\mathrm{e}}^{0,05t}$ au bout de $t$ années. Calculer $C(10)$ et le taux annuel, puis comparer avec un placement à 5 % par an à intérêts composés.

1. $C(10)=2000{\mathrm{e}}^{0,5}$, avec ${\mathrm{e}}^{0,5}\approx 1,648721$ :$2000\times 1,648721\approx 3297,44$
2. $C(t+1)={\mathrm{e}}^{0,05}C(t)$ et ${\mathrm{e}}^{0,05}\approx 1,0513$ : taux annuel d'environ 5,13 %. À 5 % par an, au bout de dix ans :$2000\times 1,05^{10}\approx 3257,79$

$C(10)\approx 3297,44$ € : le modèle continu, à 5,13 % par an environ, rapporte 39,65 € de plus.

Construire l'exponentielle par la méthode d'Euler

1. Partir de $(0;1)$ et choisir un pas $h>0$. L'approximation affine $f(x+h)\approx f(x)+h{f}^{\prime }(x)$ donne, puisque $f^{\prime }=f$, $f(x+h)\approx (1+h)f(x)$.
2. Répéter : $y_0=1$ et $y_{k+1}=(1+h)y_k$. La suite est géométrique : $y_k=(1+h{)}^k$ approche ${\mathrm{e}}^{kh}$.
3. Atteindre 1 en $n$ pas, avec $h=\frac{1}{n}$ : ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\approx \mathrm{e}$, d'autant mieux que $n$ est grand.la méthode sous-estime : sur chaque pas, elle garde la pente du début, alors que la pente de la courbe augmente.

Approcher ${\mathrm{e}}^2$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h=0,5$.

1. Quatre pas mènent de 0 à 2, et chacun multiplie par $1+h=1,5$ :$1,5\times 1,5\times 1,5\times 1,5=5,0625$

Euler donne $5,0625$, alors que ${\mathrm{e}}^2\approx 7,39$ : il faut un pas bien plus petit.