Fiche à trous · Première · Mathématiques

Produit scalaire — Projection, cosinus et coordonnées

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Deux vecteurs, un nombre : le produit scalaire dit si $u$ « va dans le sens » de $v$ , à contresens, ou ni l'un ni l'autre. Il se calcule de quatre façons — projection, cosinus, coordonnées, normes — et il démontre une perpendicularité, mesure un angle, calcule une longueur. Tout repose sur une équivalence : $u \cdot v = 0$ si et seulement si $u$ et $v$ sont orthogonaux.

Définition, projection et orthogonalité

Définition — produit scalaire :

Propriété

Calculer par projection

Exemple

$A B C$ est équilatéral de côté 6 et $H$ est le milieu de $[A B]$ . Calculer $A B \cdot A C$ de deux façons.

Résultat :

Piège

Écrire $A B \cdot B C = 6 \times 6 \times cos 60° = 18$ dans ce triangle.

ramener les vecteurs à une origine commune avant de lire un angle.

Piège

Projeter, puis écrire $A B \times A H$ sans regarder les sens.

dessiner $H$ , puis dire « même sens » ou « sens contraires » avant de multiplier.

Piège

Conclure de $u \cdot v = 0$ que $u = 0$ ou $v = 0$ .

lire « produit nul » comme « orthogonaux », et conclure en géométrie.

Règles de calcul, coordonnées et normes

Propriété

15.

Choisir sa méthode de calcul

Exemple

Repère orthonormé : $A (0; 1)$ , $B (2; 2)$ , $C (1; 4)$ . $(A B)$ et $(A C)$ sont-elles perpendiculaires ? Mesurer $B A C$ .

Résultat :

Piège

Calculer $x y^{'} - x^{'} y$ pour tester l'orthogonalité.

abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée, et un plus.

Piège

Trouver $B A C \approx 0, 785$ et l'annoncer en degrés.

régler le mode degré avant $arccos$  ; cosinus positif, angle aigu.

Piège

Écrire $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2}$ .

développer comme $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

Al-Kashi et l'expression MA · MB

Règle

26.

Exemple

$A B = 5$ , $A C = 8$ , $A = 60°$ . Calculer $B C$ , contrôler $A B \cdot A C$ avec les normes, mesurer $B$ .

Résultat :

Propriété

34.

Ensemble des points M tels que MA · MB = k

Exemple

$A B = 6$ . Ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = 16$  ?

Résultat :

Piège

Dans Al-Kashi, prendre un angle qui ne fait pas face au côté calculé.

nommer l'angle, puis son côté opposé, puis les deux côtés qui l'encadrent.

Piège

Trouver $M I^{2} = 25$ et annoncer un rayon de 25.

finir par « $M I = \dots$ », puis nommer centre et rayon.

Piège

Répondre « le cercle de diamètre $[A B]$ privé de $A$ et $B$ ».

tester $M = A$ et $M = B$ dans l'égalité.

Le XIX^e siècle a vu naître ensemble le produit scalaire et le travail d'une force en physique : $W = F \cdot A B$ . Vecteur normal à une droite, projeté d'un point sur une droite et équation de cercle en repère orthonormé : voir la fiche « Géométrie repérée ».

Calculer un produit scalaire par projection, en comparant les sens.
Le calculer avec un cosinus, des coordonnées ou des normes, selon les données.
Démontrer une orthogonalité, puis conclure en géométrie.
Mesurer un angle par son cosinus, calculatrice en degrés.
Appliquer et démontrer la formule d'Al-Kashi.
Transformer $M A \cdot M B$ et déterminer un ensemble de points.

Corrigé · à détacher

Produit scalaire — Projection, cosinus et coordonnées

1. Soit $u = A B$ et $v = A C$ deux vecteurs non nuls. Leur produit scalaire est le nombre réel $u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos B A C$ , où $B A C$ est l'angle géométrique, entre 0° et 180°. Si l'un des vecteurs est nul, $u \cdot v = 0$ . Le carré scalaire vaut $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ , car $cos 0° = 1$  ; ainsi $A B \cdot A B = A B^{2}$ .
2. $A B \cdot A C = A B \times A C \times cos B A C$
3. Projection (démontrée). Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ , alors $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ : il vaut $A B \times A H$ si $H$ est sur la demi-droite $[A B)$ , et $- A B \times A H$ sinon. Preuve : si $B A C$ est aigu, le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ et $A H = A C cos B A C$  ; s'il est obtus, $A H = A C cos (180° - B A C) = - A C cos B A C$  ; s'il est droit, $H = A$ et tout est nul.
4. À gauche, $A H$ a le sens de $A B$ : produit positif. À droite, sens contraires : produit négatif. Seule l'ombre de $C$ sur $(A B)$ compte.
5. Orthogonalité (démontrée). Deux vecteurs sont orthogonaux si l'un est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires. Alors $u \cdot v = 0$ si et seulement si $u$ et $v$ sont orthogonaux : pour des vecteurs non nuls, $∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \neq = 0$ , donc le produit est nul exactement quand $cos B A C = 0$ , soit un angle de 90°. De même, le signe du produit est celui du cosinus : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus.
6. Écrire les deux vecteurs avec la même origine, au besoin à l'aide d'un vecteur égal ou opposé.
7. Projeter orthogonalement l'extrémité du second sur la droite qui porte le premier : c'est $H$ .
8. Comparer les sens de $A B$ et $A H$ : même sens, $A B \times A H$  ; sens contraires, $- A B \times A H$ .
9. Avec le cosinus, l'angle en $A$ mesurant 60° :
10. Avec la projection : la hauteur issue de $C$ est aussi médiane, donc $H$ est le projeté de $C$ sur $(A B)$ , et $A H$ a le sens de $A B$ .
11. $A B \cdot A C = 18$ : les deux méthodes concordent.
12. Symétrie et bilinéarité (admises). $u \cdot v = v \cdot u$ , $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ et $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ : on développe comme un produit de sommes. Développements (démontrés) : $(u + v) \cdot (u + v) = u \cdot u + 2 u \cdot v + v \cdot v$ , d'où les identités ci-dessous, et le calcul avec les seules normes : $u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2})$ .
13. $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2} ∥ u - v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} - 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$
14. En base orthonormée (démontrée). Si $(i, j)$ est orthonormée, $i \cdot i = j \cdot j = 1$ et $i \cdot j = 0$ . Pour $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ , développer $(x i + y j) \cdot (x^{'} i + y^{'} j)$ donne $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}$ . Donc $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$  ; $u ⊥ v$ si et seulement si $x x^{'} + y y^{'} = 0$  ; et $x = u \cdot i$ , $y = u \cdot j$ : les coordonnées sont des produits scalaires avec les vecteurs de la base.
15. $x = u \cdot i$ , $y = u \cdot j$  ; ici $u \cdot v = 0$ .
16. Des angles droits, un projeté facile à placer : la projection.
17. Un repère orthonormé : $x x^{'} + y y^{'}$ , avec $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
18. Deux longueurs et l'angle qu'elles forment : le cosinus.
19. Seulement des longueurs : les normes, ou Al-Kashi (partie 3).
20. $A B (2; 1)$ et $A C (1; 3)$ :
21. Les normes :
22. Le cosinus :
23. Les droites ne sont pas perpendiculaires, et $B A C = 45°$ .
24. Formule d'Al-Kashi. Dans un triangle $A B C$ , avec $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Démonstration : $B C = A C - A B$ , donc $B C^{2} = ∥ A C - A B ∥^{2} = A C^{2} - 2 A C \cdot A B + A B^{2}$ , et $A C \cdot A B = b c cos A$ . Si $A = 90°$ , on retrouve Pythagore.
25. $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
26. Le côté $a$ fait face à l'angle $A$ , que les côtés $b$ et $c$ encadrent.
27. Al-Kashi en $A$ :
28. Normes, avec $B C = A C - A B$ :
29. Al-Kashi en $B$ , angle compris entre $B A = 5$ et $B C = 7$ , face à $A C = 8$ :
30. $B C = 7$ , $A B \cdot A C = 20$ et $B \approx 81, 8°$ .
31. Transformation (démontrée). Soit $I$ le milieu de $[A B]$ . $M A = M I + I A$ et $M B = M I + I B = M I - I A$ , donc $M A \cdot M B = M I^{2} - I A^{2}$ , avec $I A = \frac{A B}{2}$ .
32. $M A \cdot M B = M I^{2} - \frac{A B ^{2}}{4}$
33. Théorème (démontré). L'ensemble des points $M$ tels que $M A \cdot M B = 0$ est le cercle de diamètre $[A B]$ . Preuve : $M A \cdot M B = 0 ⟺ M I^{2} = \frac{A B ^{2}}{4} ⟺ M I = \frac{A B}{2}$ , car une distance est positive. $A$ et $B$ en font partie ; en tout autre point $M$ du cercle, $A M B$ est rectangle en $M$ .
34. Produit nul sur le cercle, négatif dans le disque, positif au-dehors.
35. Transformer : $M I^{2} = k + \frac{A B ^{2}}{4}$ .
36. Si ce nombre est positif : cercle de centre $I$ , de rayon sa racine carrée ; nul : le point $I$  ; négatif : ensemble vide.
37. $I A = 3$ , donc $M I^{2} - 9 = 16$ :
38. Le cercle de centre $I$ et de rayon 5.